高一數(shù)學(xué)必修一常用公式及常用結(jié)論

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考高中數(shù)學(xué)必修一、二常用公式及常用結(jié)論1. 元素與集合的關(guān)系xAxCU A , xCU AxA .2. 包含關(guān)系A(chǔ)BAABBABCUBCUAACUBCUABR3集合 a1, a2 , , an 的子集個數(shù)共有 2n 個；真子集有 2n 1 個；非空子集有 2n 1 個；非空的真子集有 2n 2 個.4. 二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式 f ( x)ax2bx c(a0);(2)頂點(diǎn)式 f ( x)a( xh)2k( a0);(3)零點(diǎn)式 f ( x)a( xx1 )( xx2 )(a0) .5. 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)f ( x)ax2bxc(a0)

2、 在閉區(qū)間p, q 上的最值只能在xb 處及區(qū)2a間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：bp, qb(1) 當(dāng) a>0 時，若 x，則 f x() nim f ( ,) ()f xxamxam2a2axbf ( p), f ( q) ， f (x)minp, q ， f ( x)maxmaxmin2a(f,)p() f q；f ( p), f (q) .(2) 當(dāng)a<0bp, q ， 則 f (x)m i nmi nfp()f, ，q (若 )時 ， 若 xb2ap, q ，則 f ( x)max maxf ( p), f (q) ， f (x)minminf ( p), f (q) .x2

3、a6. 一元二次方程的實(shí)根分布（畫拋物線幫助理解）依據(jù)：若 f (m) f (n)0 ，則方程 f ( x) 0 在區(qū)間 (m,n) 內(nèi)至少有一個實(shí)根 .設(shè) f ( x)x2pxq ，則（ 1）方程 f ( x)0 在區(qū)間 (m,) 內(nèi)有根的充要條件為f (m) 0 或p24q0pm；2f (m)0f (n)0（2）方程 f (x)0 在區(qū)間 (m, n) 內(nèi)有根的充要條件為f (m) f ( n)0 或p24q 0mpn2f ( m)0f ( n)0或或af (m)；af (n)00學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考（ 3）方程 f ( x)0在區(qū)間 (, n) 內(nèi)有根的充要條件為f (m

4、) 0p24q0或pm.27. 定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)(1) 在給定區(qū)間(,) 的子區(qū)間 L （形如,，,，,不同） 上含參數(shù)的二次不等式f ( x, t)0 ( t 為參數(shù) ) 恒成立的充要條件是f ( x,t ) min0( xL) .(2) 在給定區(qū)間(,) 的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f ( x,t )0 ( t 為參數(shù)) 恒成立的充要條件是f ( x,t )man0( xL) .8. 函數(shù)的單調(diào)性(1) 設(shè) x1 x2 a,b , x1 x2 那么(x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 )f ( x2 )f ( x)在 a,b 上是增函數(shù)；x

5、1x20(x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 )f ( x2 )f ( x)在 a, b 上是減函數(shù) .x1x209. 如果函數(shù)f (x) 和 g(x) 都是減函數(shù) , 則在公共定義域內(nèi), 和函數(shù)f ( x)g( x) 也是減函數(shù) ;如果函數(shù) yf (u) 和 ug(x) 在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù) , 則復(fù)合函數(shù) y f g (x) 是增函數(shù) .10奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱 ; 反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， 那么這個函數(shù)是奇函數(shù)； 如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱， 那么這個函數(shù)是偶函數(shù)11. 對于函數(shù)對稱

6、軸是函數(shù)yf ( x) ( xR ),f ( xa)f (bx) 恒成立 , 則函數(shù)f ( x) 的a bx; 212多項(xiàng)式函數(shù) P(x)an xnan 1 xn 1a0 的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù) P( x) 是奇函數(shù)P(x) 的偶次項(xiàng) ( 即奇數(shù)項(xiàng) ) 的系數(shù)全為零 .多項(xiàng)式函數(shù) P( x) 是偶函數(shù)P(x) 的奇次項(xiàng) ( 即偶數(shù)項(xiàng) ) 的系數(shù)全為零 .13. 兩個函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù) yf (x) 與函數(shù) y f (x) 的圖象關(guān)于直線 x 0( 即 y 軸 ) 對稱 .(2)函數(shù) yf (x) 和它的反函數(shù) yf 1 ( x) 的圖象關(guān)于直線y=x 對稱 .14. 幾個常見的函數(shù)方程(1

7、)正比例函數(shù)f (x)cx, f ( xy)f ( x)f ( y), f (1)c .(2) 指數(shù)函數(shù)(3) 對數(shù)函數(shù)f ( x)a x, f ( x y)f ( x) f ( y), f (1)a0 .f ( x)log a x , f ( xy)f ( x) f ( y), f (a)1(a0, a 1) .(4) 冪函數(shù)f ( x)x , f (xy)f (x) f ( y), f ' (1).學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考15. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪m1(1)a n（ a0, m, nN ，且 n 1）.amnm1a n(2)m （ a0, m, nN ，且 n1 ）.a n16

8、根式的性質(zhì)（ 1） ( n a ) na .（ 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時，n ana ；當(dāng) n 為偶數(shù)時，n an| a |a, a0.a, a 017有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar a sa rs ( a0, r , sQ ) .(2)( a r ) sa rs ( a0, r , sQ ) .(3)(ab)rar br (a0,b0, rQ) .注： 若 a 0， p 是一個無理數(shù)，則ap 表示一個確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用 .18. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化式log a NbabN (a0,a1,N0) .19. 對數(shù)的換底公式log a Nlog m Na 0

9、, 且 a 1 , m0 , 且 m 1, N 0 ).(logm a20對數(shù)的四則運(yùn)算法則若 a0， a 1， M 0， N 0，則(1)loga (MN )log a Mloga N ;(2)logaMlogaMlogaN ;N(3)log aM nn log aM (nR) .推 論loga mbnn loga b ( a0 , 且 a 1 , m, n0 , 且 m 1 , n 1 ,mN 0 ).學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考21.設(shè)函數(shù) f ( x) log m (ax 2bxc)(a 0) , 記b24ac . 若f ( x) 的定義域?yàn)?R , 則 a0 ，且0 ; 若

10、f (x) 的值域?yàn)?R , 則 a 0 ，且32.0 . 對于 a 0 的情形 ,需要單獨(dú)檢驗(yàn) .平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p ，則對于時間x 的總產(chǎn)值y ，有yN(1p)x .33. 一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) 的解的步驟：求兩根，畫草圖，確定解集。注意判別式的值小于 0 時的情況。結(jié)合圖象解決問題。34. 含有絕對值的不等式當(dāng) a> 0 時，有x ax22a x a .ax ax 2a2x a 或 xa .35. 指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1) 當(dāng) a 1時,a f ( x)ag ( x)f ( x)g (x) ;f ( x)0loga

11、 f (x)loga g( x)g( x)0 .f ( x)g( x)(2) 當(dāng) 0 a 1時 ,a f ( x)ag ( x)f ( x) g( x) ;f ( x)0loga f (x) loga g( x)g( x)0f ( x)g( x)36.斜率公式y(tǒng)2y1P (x , y )P ( x , y)k（、） .1 112 22x2x137.直線的五種方程（ 1）點(diǎn)斜式（ 2）斜截式（ 3）兩點(diǎn)式(4) 截距式（ 5）一般式y(tǒng)y1k( xx1 ) ( 直線 l 過點(diǎn) P1 ( x1 , y1 ) ，且斜率為 k )ykxb (b為直線 l 在 y 軸上的截距 ).y y1x x1 ( y

12、1 y2 )( P1 ( x1 , y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ).y2y1x2x1xy1( a、b 分別為直線的橫、縱截距，a、b 0 )abAxByC0 (其中 A 、 B 不同時為 0).學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考38.兩條直線的平行和垂直(1)若 l1 : yk1 xb1 ， l2 : yk2 xb2 l1 | l2k1k2 ,b1b2 ; l1 l2k1k21.(2)若 l1 : A1 xB1 yC10 , l2 : A2 x B 2 y C2 0 ,且 A 1、A 2、 B1、 B 2 都不為零 , l1 | l2A1B1C1；A2B2C2

13、l1 l2A1 A2B1 B20 ；39 兩種常用直線方程(1) 平行直線方程：直線ykxb 中當(dāng)斜率k 一定而b 變動時，表示平行直線方程與直線AxByC0 平行的直線方程是AxBy0 (0 ) ， 是參變量(2) 垂直直線方程：與直線Ax By C 0 (A 0 ， B 0) 垂直的直線方程是Bx Ay0 , 是參變量40兩點(diǎn)距離公式：41、點(diǎn)到直線的距離d| Ax0 By0 C |(點(diǎn)直線：Ax By C 0 ).A2 B2P( x0 , y0 ) ,l42、兩條平行線的距離公式：43. 圓的兩種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2( yb)2r 2.（2）圓的一般方程x2y2DxEyF0(

14、 D2E24F 0). 圓心坐標(biāo)和半徑公式44. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn) P(x0 , y0 ) 與圓 ( xa) 2( yb)2r 2 的位置關(guān)系有三種若 d(ax0 )2(by0 )2 ，則dr點(diǎn) P 在圓外 ; dr點(diǎn) P 在圓上 ; dr點(diǎn) P 在圓內(nèi) .45. 直線與圓的位置關(guān)系直線 AxBy C0 與圓 ( x a) 2( y b) 2r 2 的位置關(guān)系有三種 :dr相離0 ;dr相切0 ;dr相交0 .AaBbC其中 d.A2B246. 兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為 O1， O2，半徑分別為r 1， r 2， O1O2 ddr1r2外離4條公切線 ;dr1r2外切3條公切線

15、 ;r1r2dr1 r2相交2條公切線 ;學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考dr1r 2內(nèi)切1條公切線 ;0dr1 r2內(nèi)含無公切線 .47. 圓的切線方程(1) 若已知切點(diǎn) ( x0 , y0 ) 在圓上，則切線只有一條， .(2) 過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y y0 k( x x0 ) ，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y 軸的切線(3) 斜率為 k 的切線方程可設(shè)為 y kx b ，再利用相切條件求 b，必有兩條切線48證明直線與直線的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（ 2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（ 3）證明平行四邊形（ 4）三角形中位線49證明

16、直線與平面的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為線線平行；（ 2）轉(zhuǎn)化為面面平行 .50證明平面與平面平行的思考途徑轉(zhuǎn)化為線面平行；51證明直線與直線的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為相交垂直（勾股定理） ；（ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直（ 3）直徑所對的圓周角是直角（ 4）正方形，菱形的對角線互相垂直52證明直線與平面垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（ 2）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.53證明平面與平面的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .54. 空間兩點(diǎn)間的距離公式若 A(x1, y1 , z1) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，則dA ,B(x2 x1 )2( y2 y1 )2( z2 z1) 2 .55. 球的半徑是 R，則其體積 V4R3,3其表面積 S4 R256. 球的組合體(1) 球與長方體