高考數(shù)學(xué)最后30天沖刺練習(xí)：數(shù)列

1、2010高考數(shù)學(xué)最后30天沖刺練習(xí)：數(shù)列例1、已知數(shù)列項、公比都為q（q>0且q1）的等比數(shù)列，. （1）當(dāng)q=5時，求數(shù)列的前n項和Sn； （2）當(dāng)時，若，求n的最小值.解：（1）由題得2分設(shè)（1）（2分）兩式相減：6分（2）8分，即取時，.所求的最小自然數(shù)是15.12分例2、已知數(shù)列中，且對時，有（）設(shè)數(shù)列滿足，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）記，求數(shù)列的前n項和Sn（） 證明：由條件，得，則2分即，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 4分，所以兩邊同除以，可得6分于是為以首項，為公差的等差數(shù)列所以8分（），令，則而 12分，14分令Tn，則2Tn，得Tn，Tn16

2、分例3、已知以a為首項的數(shù)列滿足：(1)若06，求證：06; (2)若a，kN，求使對任意正整數(shù)n都成立的k與a；(3)若 (mN)，試求數(shù)列的前4m+2項的和.【解】 （1）當(dāng)時，則，當(dāng)時，則,故，所以當(dāng)時，總有 4分 （2）當(dāng)時，故滿足題意的N*同理可得，當(dāng)或4時，滿足題意的N*當(dāng)或6時，滿足題意的N*當(dāng)時，故滿足題意的k不存在當(dāng)時，由（1）知，滿足題意的k不存在綜上得：當(dāng)時，滿足題意的N*； 當(dāng)時，滿足題意的N* 10分（3）由mN*，可得，故,當(dāng)時，故且又，所以 故=4 =4=16分例4、設(shè)數(shù)列的前項和為，且，其中；（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列。（）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（求數(shù)列的通項公

3、式；（）記，記，求數(shù)列的前項和為；【解】（1）由， 相減得：，數(shù)列是等比數(shù)列 （2），是首項為，公差為1的等差數(shù)列；（3）時， -得：，所以：例5、已知數(shù)列中，且點在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若函數(shù)求函數(shù)的最小值； （3）設(shè)表示數(shù)列的前項和。試問：是否存在關(guān)于的整式，使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由【解】1（1）由點P在直線上，即，-2分且，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列 ，同樣滿足，所以-4分 （2） -6分 所以是單調(diào)遞增，故的最小值是-10分（3），可得，-12分 ，n2-14分故存在關(guān)于n的整式g（x）=n,

4、使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立-16分例6、 已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的(qR)的等比數(shù)列，若函數(shù)，且,，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，對一切，都有成立，求【解】(1)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且 數(shù)列是公比為的(qR)的等比數(shù)列，且, .8分(2) ，.10分 .12分 設(shè) .14分綜上.16分例7、在正項數(shù)列中,令.（）若是首項為25,公差為2的等差數(shù)列,求；（）若（為正常數(shù)）對正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；（）給定正整數(shù),正實數(shù),對于滿足的所有等差數(shù)列,求的最大值.【解】（）解：由題意得,所以=(4分)（）證:令,則=1(5分)所以=（1）,=（

5、2）,（2）（1）,得=,化簡得（3）(7分)（4）,（4）（3）得(9分)在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 (10分)（）記,公差為,則=(12分)則,(14分)則,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立 (16分)w.例9、已知點(N)順次為直線上的點,點(N)順次為軸上的點,其中,對任意的N,點、構(gòu)成以為頂點的等腰三角形.()證明:數(shù)列是等差數(shù)列;()求證:對任意的N,是常數(shù),并求數(shù)列的通項公式; ()在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此時的值;若不存在,請說明理由.解: ()依題意有,于是.所以數(shù)列是等差數(shù)列. .4分()由題意得,即 , () 所以又有. 6分由得,可知,. ( 故

6、10分()當(dāng)為奇數(shù)時,所以當(dāng)為偶數(shù)時,所以 作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只需. 當(dāng)為奇數(shù)時,有,即 . 當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng), 式無解.當(dāng)為偶數(shù)時,有,同理可求得. 綜上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此時的值為或或. .14分例10、已知點N)都在函數(shù)的圖象上.()若數(shù)列是等差數(shù)列,求證數(shù)列為等比數(shù)列；()若數(shù)列的前項和為=,過點的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為,求使對N恒成立的實數(shù)的取值范圍.解: ()因為數(shù)列是等差數(shù)列,故設(shè)公差為,則對N,.由,所以是定值,從而數(shù)列是等比數(shù)列. 5分()當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時也適合此式,即數(shù)列的通項公式是. 由,數(shù)列的通項公式是.

7、8分 所以,過這兩點的直線方程是,該直線與坐標(biāo)軸的交點是和. 11分因為.即數(shù)列的各項依次單調(diào)遞減,所以要使對N恒成立,只要,又,可得的取值范圍是. 故實數(shù)的取值范圍是. 14分例10、已知數(shù)列an、bn滿足：。(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項an；(3)設(shè)，若對于nÎN*恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍。解：（1）由依題意 （2）由（1）知 （3） 例11、設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，當(dāng)時，有（I） 求、的值；（）求數(shù)列的通項；() 記，證明，對任意， .解（）時，由已知，得，因為為正整數(shù)，所以，同理2分（）由（）可猜想：。3分證明：時，命題成立；假設(shè)當(dāng)與時成立，即，。4分于

8、是，整理得：，5分由歸納假設(shè)得：，6分因為為正整數(shù)，所以，即當(dāng)時命題仍成立。綜上：由知知對于，有成立7分()證明：由 得 式減式得 9分 式減式得11分 則 14分例12、設(shè)數(shù)列的前n項和為,點的圖象上。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)對所有都成立的最小正整數(shù)m.解：（1）依題意得2分 當(dāng)時， 當(dāng)時，適合式，所以，5分 （2）由（1）得知 故9分 因此，使成立的，必須且僅須滿足， 即，11分 所以滿足要求的最小正整數(shù)為10。13分w.例13、已知曲線C：xy=1，過C上一點作一斜率為的直線交曲線C于另一點，點列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中（1）求與的關(guān)系式；（2）求證：是等比數(shù)列；（3）求證：。解：

9、（1）過C：上一點作斜率為的直線交C于另一點， 則， -3分（前三個式子各式1分） 于是有： 即： -4分（2）記，則， 因為，因此數(shù)列是等比數(shù)列。 -8分（3）由（2）可知：，。 當(dāng)n為偶數(shù)時有：=， 于是在n為偶數(shù)時有：。 -12分在n為奇數(shù)時，前n-1項為偶數(shù)項，于是有：。 -13分綜合可知原不等式得證。 -14分例14、根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；（）求數(shù)列的通項公式；（）寫出y1，y2，y3，y4，由此猜想出數(shù)列yn；的一個通項公式y(tǒng)n，并證明你的結(jié)論;（）求解：（）由框圖，知數(shù)列 2分 4分（）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想 2分證

10、明：由框圖，知數(shù)列yn中，yn+1=3yn+2 4分?jǐn)?shù)列yn+1是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列。+1=3·3n1=3n=3n1（） 6分（）zn=1×（31）+3×（321）+（2n1）（3n1）=1×3+3×32+（2n1）·3n1+3+（2n1）記Sn=1×3+3×32+（2n1）·3n， 則3Sn=1×32+3×33+（2n1）×3n+1 2分，得2Sn=3+2·32+2·33+2·3n（2n1）·3n+1=2（3+32+3n）

11、3（2n1）·3n+1=2×=又1+3+（2n1）=n2. 4分例15、已知數(shù)列的首項，前項和（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求證：解：（）由， ， 得：，即， 4分，。 8分（）， 10分 故 14分例16、已知點在直線上，點，順次為軸上的點,其中，對于任意，點構(gòu)成以為頂角的等腰三角形, 設(shè)的面積為(1) 證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2) 求；（用和的代數(shù)式表示）OB1B2Bnxy(3) 設(shè)數(shù)列前項和為，判斷與()的大小，并證明你的結(jié)論；解：（1）由于點在直線上，則， 因此，所以數(shù)列是等差數(shù)列 2分（2）由已知有，那么 3分同理以上兩式相減，得， 4分 成等差數(shù)

12、列；也成等差數(shù)列， ， 5分 6分點，則，而 8分（3）由(1)得:， 9分則 而，則， 11分即 12分由于 ，而,則, 從而 , 13分 同理:以上個不等式相加得：即，從而 14分說明：（1）也可由數(shù)學(xué)歸納法證明 ；（2）本題也可以求出的通項公式，由兩邊同時除以，令，則 利用錯位相減法可求出：則，則，時，也符合上式，則對任意正整數(shù)都成立下同上述解法w.w.w.k.s.5.例17、已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，總有 恒成立，且對任意正整數(shù)，有，（）求數(shù)列的通項公式；（）記，比較與的大小關(guān)系，并給出證明；解：（）因為，所以又因為3分又 6分（），8分 10分（用數(shù)學(xué)歸納法也行）13分例1

13、8、已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足 。（1）求數(shù)列通項公式；（2）求證：當(dāng)時，。解：（1）時， 時，1分 時，得： ，3分令， 時，5分又 6分（2）當(dāng)時，左邊 9分 11分 當(dāng)時，12分例19、設(shè)方程tan2x4tanx0在n1，n)(nN*)內(nèi)的所有解之和為an（1）求a1、a2的值，并求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列bn滿足條件：b12，bn1a，求證：2解：方程tan2x4tanx(tanx1)(tanx)0得tanx或tanx（1）當(dāng)n1時，x0，1)，即x0，)由tanx，或tanx得x或x 故a1；2分當(dāng)n2時，x1，2)，則x，2)由tanx或tanx，得x或x 故a14分當(dāng)

14、xn1，n)時，x(n1)，n)由tanx，或tanx得x(n1)或x(n1)得x(n1)或x(n1)， 故an(n1)(n1)2n6分（2）由（1）得bn1a2bn即bn1a2(bn)22(bn1)2n(b1)2n1010分則，即12212分例20、正項數(shù)列中，前n項和為Sn，且。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)。解：（1）由例21、已知數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（3）設(shè)是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意，均有成立？若存在，求出m，若不存在，請說明理由。答案：解：（1）5分（2）10分（3）由（1）可得則12分由Tn為關(guān)于n的增函數(shù)，故，于是欲使恒成立則存在最大的整數(shù)m=7滿足題

15、意14分例22、已知數(shù)列的前n項和為且（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項和；（）設(shè)，證明：答案：（）（1） (2) （2)(1)得： ，所以 （3分）（） （3） （4）（3)(4)得： 例23、數(shù)列中,且滿足（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)求的解析式;（）設(shè)計一個求的程序框圖.【解】（） 所以數(shù)列為等差數(shù)列. 2分 又所以4分 （）令則有所以 所以當(dāng)時,6分當(dāng)時,8分是否（）12分例24、設(shè)數(shù)列的前項和為，點在直線上，為常數(shù)，()求；（）若數(shù)列的公比,數(shù)列滿足，求證：為等差數(shù)列，并求；（III）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，且存在實數(shù)滿足，求的最大值【解】（）由題設(shè)， 1分 由，時， 2

16、分 得， 5分 （）由（）知 化簡得： 7分 為等差數(shù)列，9分 （III）由（）知為數(shù)列的前項和，因為，所以是遞增的， .12分 所以要滿足，所以的最大值是.14分w. 例25、已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.（1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列（2）求數(shù)列 設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（II）由（I）知，將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.由（I）、

17、（II）知，又當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列.例26、如圖，是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標(biāo)原點) .() 寫出；()求出點的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式；()設(shè)，若對任意正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：() . 2分()依題意，則yxOA0P1P2P3A1A2A3， 3分在正三角形中，有 . 4分， ， 同理可得 . -并變形得， ， 6分 . 數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列. ， 7分，. 8分()解法1 ：， .當(dāng)時，上式恒為負(fù)值，當(dāng)時，數(shù)列是遞減數(shù)列. 的最大值為. 11分若對任意正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則不等式在時恒成立，即不等式在時恒成立. 設(shè)，則且，

18、解之，得 或，即的取值范圍是. 14分解法2：，設(shè)，則.當(dāng)時，在是增函數(shù).數(shù)列是遞減數(shù)列. 的最大值為. 11分(以下解答過程與解法1相同)例27、已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數(shù)（1）用表示；（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）若數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和，求。解：（1）由題可得，所以在曲線上點處的切線方程為，即 -2分令，得，即由題意得，所以 -4分（2）因為，所以即，所以數(shù)列為等比數(shù)列故 -8分 （3）當(dāng)時，當(dāng)時，所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列的通項公式為 的 得故 -14分例28、 例29、數(shù)列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)

19、于的表達(dá)式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和。解：由得：，即，所以，對成立。由，相加得：，又，所以，當(dāng)時，也成立。（）由，得。而，例30、已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.()令()求數(shù)列()設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.（II）由（I）知，將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.由（I）、（II）知，又 當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列.例32、在數(shù)列中，其中（）

20、求數(shù)列的通項公式；（）求數(shù)列的前項和；（）證明存在，使得對任意均成立（）解法一：，由此可猜想出數(shù)列的通項公式為以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，那么就是說，當(dāng)時等式也成立根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立解法二：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為（）解：設(shè)，當(dāng)時，式減去式，得，這時數(shù)列的前項和當(dāng)時，這時數(shù)列的前項和（）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：由知，要使式成立，只要，因為所以式成立因此，存在，使得對任意均成立例33、已知數(shù)列中，（）求的通項公式；（）若數(shù)列中，證明：，解：（）由題設(shè)：，所以，數(shù)列

21、是首項為，公比為的等比數(shù)列，即的通項公式為，（）用數(shù)學(xué)歸納法證明（）當(dāng)時，因，所以，結(jié)論成立（）假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，也即當(dāng)時，又，所以也就是說，當(dāng)時，結(jié)論成立根據(jù)（）和（）知，例34、數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，.（1）求；（2）求證.解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，依題意有由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解得故（2）例35、 數(shù)列 ()求并求數(shù)列的通項公式； ()設(shè)證明：當(dāng) 解: ()因為所以一般地，當(dāng)時，即所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為()由()知， -得， 所以 要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立. 證法一(1)當(dāng)n = 6時，成立. (2)假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即 則當(dāng)n=k+1時， 由(1)、(2)所述，當(dāng)n6時，.即當(dāng)n6時， 證法二 令，則 所以當(dāng)時，.因此當(dāng)時，于是當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，例36、已知數(shù)列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解法一：（），又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，對任意的，有取，則原不等式成立解法二：（）同解法