平穩(wěn)過(guò)程譜分析上課件

1、平穩(wěn)過(guò)程譜分析上平穩(wěn)過(guò)程的譜分析平穩(wěn)過(guò)程的譜分析平穩(wěn)過(guò)程譜分析上 平穩(wěn)過(guò)程的平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)在在時(shí)域時(shí)域上描述了上描述了過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，為了描述平穩(wěn)過(guò)程在過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，為了描述平穩(wěn)過(guò)程在頻頻域域上的統(tǒng)計(jì)特性上的統(tǒng)計(jì)特性, 需要引入了需要引入了譜密度譜密度的概的概念。念。 這章的內(nèi)容主要討論隨機(jī)過(guò)程的譜分這章的內(nèi)容主要討論隨機(jī)過(guò)程的譜分析析平穩(wěn)過(guò)程譜分析上知識(shí)回顧：知識(shí)回顧：22dtdt 設(shè)X(t)是時(shí)間t的非周期，則X(t)存在傅立葉變換的充要條件是：（1）X(t)在 - ，+滿足狄利赫利條件；（ ）X(t)絕對(duì)可積,即X(t)（3）若X(t)代表信號(hào)，則總能量有限,即X(t對(duì)于確

2、定信號(hào)的傅立葉變換的回顧：實(shí)函數(shù))平穩(wěn)過(guò)程譜分析上( )( )1 ( )( )2jwtxjwtxF wx t edtx tF w edw此時(shí)，x(t)的傅立葉變換為： 傅立葉反變換為：平穩(wěn)過(guò)程譜分析上非周期性確定性時(shí)間函數(shù)的非周期性確定性時(shí)間函數(shù)的帕塞伐帕塞伐（Parseval)等式等式為為:221( )( )2xx tdtF wdw2( )xF w2_21( )( )21 ( )2 ( )( )( )(xxxjwtxjwtxF w edx t dtx tx tF w F w dwFwF wewdwdwdtdt其中, 稱為能譜密度能譜密度證明:平穩(wěn)過(guò)程譜分析上1 功率譜密度的定義功率譜密度的定

3、義數(shù)學(xué)推導(dǎo)基本步驟如下:22( )( ):( ),( )0, ( , )( )1( )( , )2TTxTTxTX tXtX ttTXttTF w TXtX tdtF w Tdw設(shè)是均方連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，作截尾隨機(jī)過(guò)程為的傅立葉變換，由帕塞伐公式以及傅立葉反變換，得到(帕塞伐公式帕塞伐公式)平穩(wěn)過(guò)程譜分析上2222212121( )2= ( ) 11( , ) 11( , ) 221 ( , ) 222limlimlimlliimmTTTTTTxTxTTxEX tdtTE F w TX tdtF w TdwEF w TdwTTwETETd對(duì)上式兩邊先取時(shí)間平均，再取統(tǒng)計(jì)平均得到：左邊右邊 平穩(wěn)過(guò)

4、程譜分析上2221( ) 21( )( , ) 2 limlimTTTXxTEX tdtTSwE F w TT設(shè)X(t),- t 為均方連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，稱為X(t)的；稱為X(平均功率功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程t)的， 簡(jiǎn)稱譜密度。 對(duì)于，平均功率等于該過(guò)程的均方值,等于它的譜密度在頻域上的積分。：定即義：221( ) ( )2XE X tSw dw平穩(wěn)過(guò)程譜分析上2 功率譜密度的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì)( )0( ) ( )()4. ( )wwwwww dw xxxxx-1. S2. S是的實(shí)函數(shù)。3. 對(duì)實(shí)隨機(jī)過(guò)程，SS可積性，證明：(1)即S(2)(3)122211221( )( , ) 21

5、( )21 ( )( ) 2limlimlimXxTTjwtTTTTjwtjwtTTTSwE F w TTEX t edtTEX t edtX t edtT平穩(wěn)過(guò)程譜分析上2422( ) ( ),109( ).xX twSwwwE Xt：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜密度為：求平均功率例題122241( )( )21 4109=2XE XtSw dwwdwww 解：平穩(wěn)過(guò)程譜分析上22422344 109()()(3 )(3 )442|2|()(3 )(3 )()()(3 )712wjwjwwdwdwwwwj wj wj wjwwjjwj wj wjwj wj wj上半平面極點(diǎn)為w1=j, w2=3j所以:

6、224147210924wdwww 平穩(wěn)過(guò)程譜分析上3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 可以證明：隨機(jī)過(guò)程的可以證明：隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)與與功率功率譜密度譜密度之間互為傅立葉變換對(duì)。這一個(gè)關(guān)系就之間互為傅立葉變換對(duì)。這一個(gè)關(guān)系就是著名的是著名的維納維納-辛欽定理辛欽定理。即：。即：( )( )1( )( )2jwXXjwXXSwRedRSw edw證明證明：平穩(wěn)過(guò)程譜分析上12212121122()121212()121211( )( , ) 21=( ).( )21=( )( )21=( )( )2,( )limlimlimlimXxTTTjwtjwtT

7、TTTTjw ttTTTTTjw ttTTTXSwE F w TTEX t edtX t edtTEX t X t edt dtTE X t X tedt dttt ttTSw 令則22(1)( )2( )limTjwxTTjwxRedTRed平穩(wěn)過(guò)程譜分析上當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，0( )2( )cosXXSwRw d 證明：證明：0( )( )( )(cos)( )cos2( )csinosjwXXXXXSwRedRwjddwRwRw d 01( )( )cosXXRSww dw同理：同理：平穩(wěn)過(guò)程譜分析上002000200200( )cos()cos(

8、)1 =co)cos()s()cos() d 2 cos2,( )cos.2,0 2)XjwXREAw tAwX tAw ttAw tAw tAwASwAwedwX t平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 （其中為常數(shù)， 在（ ， ）上均勻分布，求 （ 的功率譜密度。解題2：例00020200 ()4 ()2)2)(jwjwjjwwAeeewAwwwwwd e已知：平穩(wěn)過(guò)程譜分析上方法方法1:利用常用的傅立葉變換對(duì)利用常用的傅立葉變換對(duì)2X22223| | |242222253488( )(9)(1)(9)(1)532 32 1534816 4( ),10 (929)(1)48316XawSwwSwwwawwwwbb

9、eaweeww 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程譜密度求平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)和均方值已知例：。題解：平穩(wěn)過(guò)程譜分析上方法方法2:留數(shù)定理的利用留數(shù)定理的利用242| |22| |32| |3| |14( )2109142|2(9)()4 2|(3 )(1)351648jwXjwwjjwwjwRedwwwwjewwjwjewj wee平穩(wěn)過(guò)程譜分析上222| |22241: R ( )( )21 ( )01( ),( )11112 121 211 221 ( )( )2jwXXjwjwxXSw edwedwedweE XX tSwX twwwtm t 例題 ：解已知平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程的均值為 ，功率譜密度為求的概率密度

10、函數(shù)。2212.211 ( )21/ 2xxf xee平穩(wěn)過(guò)程譜分析上1197.2( )0( )XSPX tw -X00：已知平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)為 R ( )=ecos(w),其中，w 為常數(shù)，求譜密度例題。0: ( )2( )cosXXSwRw d 解平穩(wěn)過(guò)程譜分析上4 白噪聲白噪聲0( ),)(),( )(wXNX ttwt X定義：設(shè)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若它的均值為0，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非0的常數(shù)，S白噪即則為聲過(guò)程。平穩(wěn)過(guò)程譜分析上-0,0)0(2) )1(3) ( )- )( )xxxx dxf xx T dxf T為了對(duì)白噪聲過(guò)程進(jìn)行頻譜分析，下面引入的概念。（1函（數(shù)）（，（平穩(wěn)過(guò)程譜分析上 白噪聲自相關(guān)函數(shù)白噪聲自相關(guān)函數(shù)0011( )( )( )22jwjwXXRSw edwN edw N )1212這表明：白噪聲隨時(shí)間的變化極快，在任意兩個(gè)時(shí)刻t 和t ，X(t 和X(t 不相關(guān)。(1)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型。各種隨機(jī)