(完整版)《復變函數(shù)》考試試題與答案(十二)

1、復變函數(shù)考試試題（十二）一、判斷題。（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2 分）1設復數(shù)z1x1iy1 及 z2x2iy 2 ，若 x1x2 或 y1y2 ，則稱 z1 與 z2 是相等的復數(shù)。（）2函數(shù) f ( z)Re z 在復平面上處處可微。（）3 sin 2 zcos2 z1且 sin z1,cos z1 。（）4f ( z)是有界區(qū)域D內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域 D DD 上連續(xù)， 則存設函數(shù)在 M0 ，使得對任意的zD ，有 f ( z)M 。（）5若函數(shù)f (z) 是非常的整函數(shù)，則f ( z) 必是有界函數(shù)。 （）二、填空題。（每題 2 分）1 i 2i3

2、 i4 i 5i 6_ 。2 設 zxiy0 ， 且arg z,2arctan y， 當 x0, y0 時 ，arctan yx2arg_ 。x3若已知 f ( z)x(11)iy (11)，則其關于變量 z 的表達式為 _ 。xy 2y22x2 nz以z_為支點。4若ln zi，則 z_。526dz_ 。zz 17級數(shù) 1z2z4z6L的收斂半徑為 _ 。 cosnz在zn（ n 為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_。89若 za 為函數(shù) f (z) 的一個本質(zhì)奇點，且在點a 的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則z a 是1的 _ 奇點。f (z)設 a 為函數(shù)f ( z)的 n 階極點，則Re sf (z)_

3、。10f (z)z a三、計算題（50 分）1設區(qū)域D 是沿正實軸割開的z 平面，求函數(shù)w5z 在 D 內(nèi)滿足條件511 的單值連續(xù)解析分支在z1i 處之值。（ 10 分）2求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型 （對于極點要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15 分）（1） f (z)L n z 的各解析分支在z1各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數(shù)（10 分）z2 1（2）求 Re sezzn 1 。 （5 分）z 03計算下列積分。 （15 分）（ 1）z7dz（8 分），1)3 ( z2z 2 ( z22)（ 2）x2 dx(a 0)（7分）。( x2a2 )24敘述儒歇定理并討論方程z66z1

4、0 0 在 z1 內(nèi)根的個數(shù)。（ 10 分）四、證明題（20 分）1討論函數(shù) f (z)ez 在復平面上的解析性。（10 分）2證明：1znezd( zn )2 。2 iC n! nn!此處 C 是圍繞原點的一條簡單曲線。（ 10 分）復變函數(shù)考試試題（十二）參考答案一、判斷題 .1.×2. ×3.×4.5.×二、填空題 .1.12.()3.f ( z)14. 0,zz5.i6.27.18.2n219.本性10.三、計算題 .1arg z2ki1.解： wkz 5 e5k0,1,2,3,4由 511 得 1 e2ki25從而有 k1441331iw2 (

5、1i)210ei5210 (cosi sin)54442.解：（ 1） f (z)Lnz的各解析分支為f k ( z)ln z2k， (k0, 1,L ).z21z21z1為 f0 ( z) 的可去奇點，為fk ( z) 的一階極點(k0,1,L) 。Re s( f0 ( z),1)0Re s( fk ( z),1)ki.(k1,2,L )（2） ResezRes1zn1zn 1zn1n!n!z 0z 0n 03.計算下列積分解：（ 1） f ( z)z71( z21)3 ( z22)132z(1(1z2 )2 )zRe s( f , )C 11f ( z)dz2iRe s( f ,)2iz

6、2（2）設 f ( z)z2z222 222( za )(z ai ) ( z ai )令 ( z)z2，( z)2aiz(z ai )2( zai )3則 Re s( f ,ai )( ai )2( ai 2 )1 i1!(2ai )34aIm z 0f ( z)dz2i Res( f , ai)2ax2 dx( x2a2 ) 22a4.儒歇定理：設c是一條圍線，f ( z) 及( z)滿足條件：（ 1）它們在c 的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到c；（ 2）在c 上，f (z)( z)則 f與f在 c 的內(nèi)部有同樣多零點，即 f (z)10g( z)z66z有f ( z)g( z)由儒歇定理知 z66z100在 z 1沒有根。四、證明題1 證明： .設 zxiy有 f ( z)ezex (cos yi sin y)u(x, y)ex cos y,v( x, y)ex sin yuex cos y,uex sin y,vex sin y,vex cos yxyxy易知 u( x, y) ， v( x, y) 在任意點都不滿足CR 條件，故 f在復平