(完整版)拉格朗日中值定理

1、一 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被稱為有限增量定理，是微積分中的一個(gè)基本定理。拉格朗日中值公式的形式其實(shí)就是泰勒公式的一階展開(kāi)式的形式。 在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用當(dāng)中，拉格朗日中值定有著很重要的作用。 拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理當(dāng)中使用最為普遍的定理。拉格朗日中值定理的形成和發(fā)展過(guò)程都顯示出了數(shù)學(xué)當(dāng)中的一個(gè)定理的發(fā)展是一個(gè)推翻陳舊， 出現(xiàn)創(chuàng)新的一個(gè)進(jìn)程。 發(fā)現(xiàn)一些新的簡(jiǎn)單的定理去替代舊的復(fù)雜的定理，就是由初級(jí)走向高級(jí)。用現(xiàn)代的語(yǔ)言來(lái)描述，在一個(gè)自變量 x 從 x 變?yōu)?x+1 的過(guò)程中，如果函數(shù) f(x) 本身就是一個(gè)極限值，那么函數(shù) f(x+1) 的值也應(yīng)該是一個(gè)極限值，其值就應(yīng)該和 f

2、(x) 的值近似相等，即f(x + 1) - f(x)01這就是非常著名的費(fèi)馬定律，當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x) 在 x=a 處可以取得極值，并且函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，則 f x= 0。著名學(xué)者費(fèi)馬再給出上述定理時(shí)，此時(shí)的微積分( )研究理論正處于初始階段， 并沒(méi)有很成熟的概念， 沒(méi)有對(duì)函數(shù)是否連續(xù)或者可導(dǎo)作出限制，因此在現(xiàn)代微積分理論成熟階段這種說(shuō)法就顯得有些漏洞。在所有的微分中值定理中， 最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和現(xiàn)在成熟的拉格朗日中值定理是不一樣的，最初的定理是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 a,b內(nèi)任取兩點(diǎn) x0 和x1 ，并且函數(shù) f( x) 在此閉區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，的最大值為，

3、) 最小值為f(x 1 )-f(x 0 )的值必須是 A 和 B 之間的一個(gè)f (x)f(xB，則A-x 0x1值。這是拉格朗日定理最初的證明。下述就是拉格朗日中值定理所要求滿足的條件。如果存在一個(gè)函數(shù)滿足下面兩個(gè)條件， （ 1）函數(shù) f在閉區(qū)間 a ， b 上連續(xù)；（ 2）函數(shù) f在開(kāi)區(qū)間（ a，b）內(nèi)可導(dǎo)；那么這個(gè)函數(shù)在此開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在著( )=f(b)-f(a).一點(diǎn) ，使得 f b-a拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)延伸概念，在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中是的很基本概念。()2= 2x，即()。當(dāng)在開(kāi)區(qū)間 () 時(shí)，有( )例 1：函數(shù) f x- 8fx= 4xx0, +fx， () 在開(kāi)區(qū)間 ( ) 單

4、調(diào)遞增；當(dāng)在開(kāi)區(qū)間 (, ) 時(shí)，有)0,+xf(<> 0 f x-0x，在開(kāi)區(qū)間 (-,)( )= -8。0 f(x)0單調(diào)遞減。在 x = 0，有 f (0)= 0， f 0由上述例子說(shuō)明，想要確定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可以通過(guò)求得這個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來(lái)求得判斷單調(diào)區(qū)間。當(dāng)一個(gè)函數(shù)在某個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)，存在著f (x) >0，f ( x) 在這個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；f ( x) < 0，f( x) 在這個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)= 0時(shí)，那么這一點(diǎn)就是這個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)。在例1 中，是單調(diào)遞減的。在 f (0)當(dāng) 1<x<3，f (3 ) -f(1)= 8，這就是拉格朗日中值

5、定理最簡(jiǎn)單的形式。= f (2)3-2在拉格朗日中值定理中， 有兩個(gè)要求條件， 一個(gè)是在一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)， 一個(gè)是在相同期間開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)， 不滿足這兩個(gè)條件， 拉格朗日中值定理在此種情況下是沒(méi)有意義的。例 2：函數(shù) f(x) =1，這個(gè)函數(shù)的區(qū)間0,2。x-1可以看出這個(gè)函數(shù)在區(qū)間0,2上是不連續(xù)的， f( 1)這個(gè)值是不存在的，因此這個(gè)函數(shù)在此區(qū)間上面是不連續(xù)的。這個(gè)函數(shù)在此閉區(qū)間 0,2 上是不可導(dǎo)的，根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算方法可以得到1f()f(0)2 -f(x= -(x - 1) 2=2 -0= 11又-2 =1，這種情況下 x 的值是不存在的， 所以這個(gè)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)是(x-1)不可導(dǎo)的。

6、二拉格朗日中值定理的證明在微積分相關(guān)知識(shí)的教材上面， 一般情況下在證明拉格朗日中值定理時(shí)， 經(jīng)常采用羅爾定理來(lái)證明，證明過(guò)程中根據(jù)題意構(gòu)建出一個(gè)輔助函數(shù)來(lái)證明定理。在歷史長(zhǎng)河中，學(xué)者們?cè)趯?duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行證明的時(shí)候最主要的的有四種方法。最開(kāi)始的一種證明方法出現(xiàn)在著作名為解析函數(shù)論一書(shū)中。這個(gè)證明相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較直觀的， 它是以這樣一個(gè)概念為基礎(chǔ)證明的：當(dāng)導(dǎo)數(shù) f ( x) >0時(shí)， f(x) 在一個(gè)固定區(qū)間內(nèi)就是單調(diào)遞增的；反之，則單調(diào)遞減。利用微積分中的求導(dǎo)方法去確定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法。并且，此時(shí)對(duì)拉格朗日定理應(yīng)用要求在一個(gè)閉區(qū)間中是連續(xù)的，也要求在此相同閉區(qū)間可導(dǎo)。 假設(shè)一個(gè)

7、變量在區(qū)間內(nèi)連續(xù)的變化， 那么這個(gè)變量相應(yīng)的函數(shù)也會(huì)隨著變化的變化而發(fā)生變化，有無(wú)數(shù)的中間值在兩個(gè)值之間。在 19 世紀(jì)初時(shí)，微積分發(fā)生了很大的變化，柯西等數(shù)學(xué)家在此做出了很大的貢獻(xiàn)，人們對(duì)函數(shù)進(jìn)行了很嚴(yán)格的定義，極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)。在此基礎(chǔ)上又給拉格朗日中值定理提出了新的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。在19 世紀(jì)初，學(xué)者們對(duì)于微分學(xué)的系統(tǒng)性定理的詳細(xì)研究就拉開(kāi)了序幕。因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ碓谖⒎謱W(xué)中有著相當(dāng)重要的地位， 所以，歷來(lái)學(xué)者們都對(duì)拉格朗日中值定理的研究十分重視，學(xué)者們對(duì)拉格朗日中值定理的相關(guān)研究也是非常多的。比如在歷史上， 許多學(xué)者都提出了對(duì)于拉格朗日中值定理的證明的方法。 在歷史長(zhǎng)河中， 學(xué)者們提出的

8、關(guān)于拉格朗日中值定理的證明方式主要有四種方式。 第一種方式，通過(guò)利用羅爾定理去構(gòu)建一個(gè)中間函數(shù)去證明。 第二種方式， 根據(jù)先決條件， 去建立一個(gè)相對(duì)更加廣泛的中值定理， 然后在縮小范圍去證明。 第三種形式， 是充分利用積分和在證明過(guò)程中不會(huì)導(dǎo)致循環(huán)去證明一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的其他的微積分定理去證明拉格朗日中值定理。第四種形式時(shí)， 充分利用拉格朗日中值定理中所限制的區(qū)間， 然后采用屬于實(shí)數(shù)方面的區(qū)間套理論去證明。在柯西的著名著作 無(wú)窮小計(jì)算概論 中這樣對(duì)拉格朗日中值定理進(jìn)行了證()在閉區(qū)間a,b內(nèi)是連續(xù)的， 則在這個(gè)閉區(qū)間a,b內(nèi)至少明：如果一個(gè)導(dǎo)數(shù) f xf( b )-f(a)，使 f( )=0。然后在

9、羅爾定理基礎(chǔ)上對(duì)拉格朗日存在著一點(diǎn) ，使得 f ( =)b-a中值定理進(jìn)行重新的證明?？挛鞫ɡ硎侵福杭僭O(shè)函數(shù)f( x) 與函數(shù) F( x)在閉區(qū)間 a,b 內(nèi)都是連續(xù)的，在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)都是可導(dǎo)的，并且 F(x) 在區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)不等于 0，這是對(duì)于在區(qū)間(a,b) 內(nèi)的一點(diǎn) ，使得( )f()f b - f(a)F(b) - F(a)=)F (對(duì)柯西定理的證明和對(duì)拉格朗日中值定理的證明兩種方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微積分中都占到了非常重要的位置。利用拉格朗日中值定理在求解函數(shù)時(shí)， 給洛必達(dá)法則的運(yùn)用給以嚴(yán)格的證明，是研究函數(shù)中最重要的數(shù)學(xué)工具之一。我們知道羅爾定理

10、：存在著一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上是連續(xù)的，在開(kāi)區(qū)間（ a,b ）上是可導(dǎo)的，并且這個(gè)函數(shù)在此開(kāi)區(qū)間 （a,b ）內(nèi)的兩個(gè)端點(diǎn)值是相等的，( )，那么在這個(gè)開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在著一點(diǎn)，使得f()。即 f a = f(b)=0比較拉格朗日中值定理和羅爾定理， 可以看出羅爾定理?xiàng)l件中要求兩個(gè)端點(diǎn)值相等，但是拉格朗日中值定理不要求兩個(gè)端點(diǎn)值相等。 因此，如果想要用羅爾定理還證明，那么就應(yīng)該構(gòu)建一個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值相等的函數(shù)。證明一：利用羅爾中值定理，構(gòu)建出一個(gè)中間的輔助函數(shù)做出一個(gè)輔助函數(shù)，()( )( )f (b) -f ( a)F x= f x- f a -b-a(x - a)從上式容易看出，函數(shù)

11、 F(x) 在閉區(qū)間 a,b 上面顯然是連續(xù)函數(shù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b) 內(nèi)是可導(dǎo)函數(shù)，且 F(a) = F( b) =0 ，此時(shí)，根據(jù)羅爾定理可以得到，在此函數(shù)上面至少在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得)，則就可以得到)(a,b)F (f(=0f (b ) -f ( a )。b-a在對(duì)拉格朗日中值定理的進(jìn)行證明的過(guò)程中， 一般都采用構(gòu)建中間的輔助函數(shù)來(lái)證明，充分利用羅爾定理。還可以構(gòu)建下面這種形式的輔助函數(shù)來(lái)充分證明。首先，令使 f( )=t。f( b) -f(a)= t，證明：在開(kāi)區(qū)間（ a,b ）范圍內(nèi)至少存在著一個(gè)點(diǎn)，b-a證明：由于 f(b ) -f(a)b-a= t ，可以求得 f( b) - t

12、b = f (a) - ta。觀察式，可以看出等式兩邊的形式都是F( x) = f( x) -tx 。假設(shè)函數(shù) F(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)并且在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，在F( a) = F(b) 時(shí)。根據(jù)羅爾定理可以得到， 該函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)至少存在著一點(diǎn) ，使得 F( ) = 0，也就是說(shuō) f( ) - t = 0，即 f() = t，將此帶入式，就能夠f (b )-f(a)得到結(jié)論 f () =。證明二：利用微積分中的基本定理來(lái)證明先構(gòu)建一個(gè)積分上限函數(shù)， ( )x ，此x= ?( ?)( ?- ?) - ?(?) - ?(?)?a時(shí) x 存在于閉區(qū)間 a,b

13、內(nèi)。根據(jù)微積分的基本定理可得知， (x) = ?(?)( ?- ?) - ?(?) - ?( ?) 顯然， 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間( )(x) 在閉區(qū)間 a,b(a,b) 上可導(dǎo)，并且有 a = (b)=0，此時(shí)利用羅爾定理可以得到， 在(a, b) 內(nèi)至少存在著一點(diǎn)，使得 ( )=0，)()()，所以得到結(jié)論()f (b )-f(a)那么可以得到， ?( )(= 0f=。?- ? -? - ?b-a三 拉格朗日中值定理在極限中的應(yīng)用在學(xué)者們對(duì)微分中值定理的研究當(dāng)中，經(jīng)歷了前后幾百年的時(shí)間，由費(fèi)馬提出費(fèi)馬定理開(kāi)始， 經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜， 從特殊情況到一般情況， 從簡(jiǎn)單的概念到復(fù)雜的概念這樣的發(fā)展階段

14、。 在研究理論上拉格朗日中值定理即是羅爾定理的延伸又銜接了柯西定理， 因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函數(shù)的進(jìn)程中有著非常重要的作用。 在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用當(dāng)中， 拉格朗日中值定理是對(duì)函數(shù)研究的一個(gè)重要工具， 并且有著十分廣泛的應(yīng)用。 這些作用主要表現(xiàn)在以下幾種情況，比如在求導(dǎo)極限定理、求函數(shù)極限、證明不等式、說(shuō)明函數(shù)單調(diào)性、討論方程的根是否存在的情況和對(duì)導(dǎo)數(shù)估值等， 它在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)通常將問(wèn)題從難化簡(jiǎn)，對(duì)解決難題起到很好的作用。 本文著重講述的是拉格朗日中值定理在極限當(dāng)中的應(yīng)用。? -?。例 3：求極限 lim? 0?-?解：觀察上式可以看出，先令f = et ，這個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間 cos

15、x,x或者 x,cosx?上根據(jù)拉格朗日中值定理可以得到? -?= e。?-?在x 0時(shí)， cosx 1，可以得到此時(shí) 0。lim? -?由式可以得到= 1，有此式子推出x0 ?-? - ?= ?- ?，那么這個(gè)式子就能讓我們聯(lián)想到在上文證明拉格朗日中值定理時(shí)候出現(xiàn)的式子，然后根據(jù)上文中的步驟求證明該函數(shù)。()?= ?可以把這個(gè)式子看作是函數(shù)() 在點(diǎn)令 F t- ?,? - ?= ? - ?F tF (x) -F(cosx)x 和點(diǎn) cosx 這兩點(diǎn)，即 F() =。例 4：求解 lim xa -a x 。xa a-x此題和例3 的情況是類似的，我們先將此式子的分子加上一個(gè)aa ，然后再減去

16、一個(gè) aa 。如，xa - axxa - ax - aa + aaaa -axaa - axaa - xaa - x=a - x=x=-a -a - xa - x此時(shí)，容易看出應(yīng)該構(gòu)建的函數(shù)的形式，令f( t) = at ，g(t) = t a ，假設(shè)這兩個(gè)函數(shù)都在閉區(qū)間 a,t或者 t,a上連續(xù)并且在相同開(kāi)區(qū)間上面可導(dǎo)的， 并且這兩個(gè)函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)值都分別相等， 就是滿足拉格朗日中值定理的條件， 這是就分別存在著兩個(gè)點(diǎn) ， 在 x 和 a 之間，當(dāng) x a時(shí)，有 a， a 得x a - axaa - axaa - xalim= lim -xa a - xxa a - xa - x= lim

17、aln a -lim aa -1aa= aa (ln a -1)例 5：limsin ( sinx )-tan (tanx)sinx-xx0此例題與例 4 是非常類似的題目， 根據(jù)例 4 的解題方法，先將分子加一項(xiàng)再減一項(xiàng)。sin ( sinx ) - tan (tanx ) + tan( sinx ) - tan ( sinx)原式 =sinx -x= sin ( sinx )-tan (sinx) + tan ( sinx ) -tan (tanx)sinx-xsinx-x此時(shí)，令 f(t) = tant ，t = sinx ，x = arcsint ，假設(shè)函數(shù) f(t)滿足拉格朗日中值定

18、理的需求條件，在這種情況下求解這個(gè)題目，原式 = lim sec2 sinx-tanx+ lim sin t-tan tx0sinx-xx0 t-arcsint上式接著推算，根據(jù)洛必達(dá)法則計(jì)算如下=sinx-tanx+ lim sec 2 t-costlim1- 1x0 sinx-xx021-t=6在此題這種情況下， 首先就要想到構(gòu)建一個(gè)中間函數(shù)去簡(jiǎn)化題目。 先構(gòu)造一個(gè)中間的輔助函數(shù)，然后再根據(jù)拉格朗日中值定理的一般形式去求解題目。在解決這種類型的題目要采用羅爾定理的原因， 在現(xiàn)目前大多數(shù)微積分的相關(guān)教材中，在解決類型問(wèn)題時(shí)多采用構(gòu)建中間函數(shù)運(yùn)用羅爾定理解決問(wèn)題。 在面對(duì)一些題目時(shí)， 這些函數(shù)

19、有可能并不滿足拉格朗日中值定理的條件， 需要去構(gòu)建一個(gè)中間函數(shù)， 去滿足拉格朗日中值定理的需求條件， 然后將構(gòu)建的這一函數(shù)與原函數(shù)緊密聯(lián)系起來(lái)， 再將構(gòu)建的函數(shù)轉(zhuǎn)化為原函數(shù)， 從而根據(jù)拉格朗日中值定理的原理去求解題目。例題 3 和例題 4、例 5 是一種類型的題目，都是極限形式為0 的未定式，就0可以想到需要構(gòu)建一個(gè)中間函數(shù)， 此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件， 然后對(duì)函數(shù)采用拉格朗日中值定理的方法去解決問(wèn)題。 0, 滿足下列式子 f( b + x) = f( b) +例 6：存在函數(shù) f (x) 是連續(xù)的并且有 f (a)x)，求時(shí)的極限。xf(b +x0(0 < ?< 1)

20、解：根據(jù)拉格朗日中值定理可以由式子可以計(jì)算出函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間 b,b+x或者 b+x,b的拉格朗日中值定理的形式f ( b+x )-f(b)= f(x)繼上式可以推得xb +,x1)(0 < 1< 1) 。將這個(gè)結(jié)果帶入式子可以計(jì)f ( b + x)=f (b) + xf (b +算得出2 ()( )( )x)+ xfx (b +fb + x = f bb +f根據(jù)泰勒展開(kāi)公式把這個(gè)函數(shù)f(b + x) 展開(kāi)，可以得到12f (b + x) = f( b) + xf (b) + 2 x f ( b + 2x) 由式子可以綜合計(jì)算得到，( )1)= f(b + f b +1

21、x2 x2=1 。然后求極限，所以lim = f ( b+ 2 x )f(b)x0 f (b+1 x)2f2(b)例 6 這種題目沒(méi)有給出函數(shù)的具體形式， 這種時(shí)候應(yīng)該想到首先一個(gè)函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的需求條件， 去簡(jiǎn)化題目，在不用函數(shù)具體形式時(shí)仍然可以求解題目，利用構(gòu)建的中間函數(shù)， 運(yùn)用泰勒展開(kāi)公式得到函數(shù)的展開(kāi)式， 然后綜合計(jì)算得到答案。ln(1+f(x)f(x)2 。sinx例 7：求解函數(shù) limx= B， (c > 0) 且(c 0) ，求解 limx0c-1x0 x解：這個(gè)例題中有多種形式的函數(shù)，求解這種題目應(yīng)該想到將函數(shù)形式統(tǒng)一將題目簡(jiǎn)化求解。令g( t ) = ct

22、，當(dāng) t 0時(shí)，可以明顯看出這個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此在這個(gè)區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)值使得，x)可以得到xc- 1 = c(xc - 1x ln cln cxln c然后再令()= ln(1 + t)，顯然這個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間0,f(x)h tsinx 或者閉區(qū)間f(x)sinx個(gè)值 使得，f(x)1f(x)ln(c +) =sinxsinx1 +又ln (1 +f (x )f(x)sinx ) sinx 01()fx 0B =limInc x0 x 2就可以求出 lim f(x)2 = BIncx0 x例 7 這種類型的題目，題中給出一個(gè)函數(shù)的答案， 求解另外一個(gè)函數(shù)的答案，

23、遇到這種題目， 就應(yīng)該主要根據(jù)題中給出的函數(shù)， 將這個(gè)函數(shù)化解成為所求函數(shù)相類似的形式，簡(jiǎn)化題目求出答案。例 8：假設(shè)函數(shù) lim f( x) -a = B，求解函數(shù) lim cosf (x )-cosa 。xc x-cxcx-c解：此題和上面的例題是類似題目，根據(jù)上題解題方法，先化解給出函數(shù)。從給出的函數(shù)就可以知道函數(shù)的分子是在x c的情況下是等于0 的，所以分母在這種情況下也應(yīng)該為0，那么在 x c的情況下， f( c) = a。 這就說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在c這一點(diǎn)是連續(xù)的。令 h( t) = cost ，當(dāng) f( x) a時(shí)，這個(gè) 函數(shù)在閉 區(qū)間 a,f(x)或者閉區(qū)間f(x),a 上已經(jīng)滿足了

24、拉格朗日中值定理的需求條件，而且在此區(qū)間內(nèi)至少著存在一個(gè)點(diǎn) ，使得( )- cosa( ( )cosf xf x- a sin= -Bsinalim= limxcx - cxcc - x例 7 和例 8 都是根據(jù)題目給出的函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，去推導(dǎo)所求的的函數(shù)，在推導(dǎo)過(guò)程中去求解，簡(jiǎn)化了題目，如果計(jì)算時(shí)，是根據(jù)給出題目單獨(dú)求解出f(x)的取值，直接把題目復(fù)雜化。例 9：求出函數(shù)極限 lim x 2 Inarctan ( x + 1) - Inarctanx 。x解：此題目是典型的極限形式為 ?0 型，在此我們應(yīng)該先應(yīng)用洛必達(dá)法則去求解。但是在計(jì)算過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)， 運(yùn)用洛必達(dá)法則去求解這個(gè)函數(shù)會(huì)十分復(fù)雜

25、， 因此我們 會(huì)發(fā) 現(xiàn) Inarctan ( x + 1) - Inarctanx 這 個(gè) 形 式剛 好 可 以 看作 是函 數(shù) f (x) = Inarctanx 在此閉區(qū)間 x,x+1 上面的兩個(gè)端點(diǎn)值的差值，所以我們能夠運(yùn)用拉格朗日中值定理去求解這道題目。 首先，我們先建立一個(gè)輔助函數(shù) f( x) = Inarctanx ，然后再求解。令f(x) = Inarctanx ，此函數(shù)在閉區(qū)間 x,x+1 上面明顯是滿足拉格朗日中值定理的需求條件的，因此存在一點(diǎn) 在此閉區(qū)間上面。Inarctan()112x + 1 -Inarctanx =?arctan1 +因?yàn)辄c(diǎn) 是在此閉區(qū)間 x,x+1

26、內(nèi)的一點(diǎn)，所以 x < ?< ?+ 1，可以得到x22 >x2>x21 + x1 +221 + (1 + x)那么在 x 時(shí)， ，則 limx2 2= 1， limx 22= limx22 = 1，通過(guò)夾x 1+xx 1+(1+x)x 1+x逼定理就可以知道x2lim= 1x 1 +2所以，根據(jù)上面的計(jì)算，原函數(shù)= limx 211x22。?2= lim?lim2 =x arctan 1+x arctan x 1+可見(jiàn)，在遇到這種典型極限形式為 ?0型時(shí)，如果采用洛必達(dá)法則反而更加麻煩的時(shí)候，應(yīng)該多觀察題目是否可以運(yùn)用拉格朗日中值定理來(lái)求解題目，簡(jiǎn)化題目，接下來(lái)看一個(gè)類

27、似的例題。例 10：求解極限 lim (aa -bb )(a,b>0)。1-x1-xx1解：此題也是一種典型極限形式為 ?型，一般這種情況下，我們都會(huì)先采用洛必達(dá)法則求解， 但是這道題目和例 9 一樣，運(yùn)用洛必達(dá)法則只會(huì)使題目更加復(fù)雜化，此時(shí)，我們觀察題目可以看出和例 9 類似，可以運(yùn)用拉格朗日中值定理來(lái)求解題目。首先，我們先假設(shè)一個(gè)輔助函數(shù) f( x,y) = y 。1-xy令 f( x, y) =y y ，此函數(shù)在區(qū)間上面滿足拉格朗日中值定理的需求條件，因此把1-x點(diǎn) a,b 當(dāng)做是在區(qū)間里面的兩個(gè)取值，因此利用拉格朗日中值定理求解。ab-= (a -b)1-x +xInx，其中 這

28、個(gè)值在 a 與 b 之間的值，1-xa1-xb(1-x2)ab1-x所以，原式 lim (a -b ) =( a - b)+xInx1-x1-x 2x1(1-x)= ( a - b)lim- Inxx12(1-x )a - b=2可以看出，雖然這種題目也采用了洛必達(dá)法則， 但是在使用洛必達(dá)法則之前，先采用拉格朗日中值定理將題目簡(jiǎn)化，會(huì)讓計(jì)算過(guò)程中的復(fù)雜度減小了。因此，在面對(duì)上面兩種情況下去求極限， 先觀察題目，如果題目中很容易就可以構(gòu)建出一個(gè)函數(shù)，并且構(gòu)建的這個(gè)函數(shù)剛好滿足拉格朗日中值定理的需求條件， 就可以采用拉格朗日中值定理去求解題目， 先將極限轉(zhuǎn)化， 再去求解函數(shù)。 這會(huì)與直接用洛必達(dá)法

29、則求解有不同的效果， 簡(jiǎn)化題目。這就是平時(shí)我們做題之前要先觀察題目的必要性。 同時(shí)，這種類型的題目告訴我們， 在我們面對(duì)復(fù)雜的多元函數(shù)的題目時(shí)，可以對(duì)其中一個(gè)合適的變量采用拉格朗日中值定理， 然后其他的變量就看做常數(shù)，使計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)便。例 11：求解函數(shù) lim(na -n+1a)。x0解：通過(guò)觀察，很容易就發(fā)現(xiàn)這道題目應(yīng)該采用拉格朗日中值定理，先構(gòu)建一個(gè)輔助函數(shù)，可以看出的是nan+1就是f(b) - f(a)。所以，令( )x ，很明f x= a - a顯這個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間 1,1 內(nèi)是連續(xù)的，并且在該區(qū)間此函數(shù)滿足拉格朗日中nn+1值定理的需求條件，利用拉格朗日中值定理可以得出，111111an -an+1= aIna( n -n+1 )