(完整版)數(shù)學(xué)建模作業(yè)1(長方形椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)嗎)

1、科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱數(shù)學(xué)建模上機(jī)項(xiàng)目長方形的椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？專業(yè)班級(jí)）姓學(xué) 號(hào)一、問題提出椅子（四條腿的椅腳連線呈長方形）能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。下面用數(shù)學(xué)語言證明。二、問題分析該模型看似與數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)無關(guān)，但我們可以用數(shù)學(xué)語言給予表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實(shí)，經(jīng)過分析，我們可以用一元變量表示椅子的位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離，進(jìn)而把模型假設(shè)和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論用簡單、精確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。三、模型假設(shè)為了明確問題，對(duì)上述現(xiàn)象中的有關(guān)因素

2、在符合日常生活的前提下，作出如下假設(shè)：（ 1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點(diǎn)，四腳的連線呈長方形（ 2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷(沒有像臺(tái)階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角度看，地面是連續(xù)曲面這個(gè)假設(shè)相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（ 3）椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地為保證這一點(diǎn)，要求對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對(duì)平坦的因?yàn)樵诘孛嫔吓c椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰 (即使是連續(xù)變化的 )，此時(shí)三只腳是無法同時(shí)著地的符號(hào)說明四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過程）在上述假設(shè)下，解決問題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳

3、同時(shí)著地表示出來首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動(dòng)生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要把椅子通過挪動(dòng)放穩(wěn)，通常有拖動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說的平移與旋轉(zhuǎn)變換然而，平移椅子后問題的條件沒有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并試圖在旋轉(zhuǎn)過程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形注意到椅腳連線呈長方形，長方形是中心對(duì)稱圖形，繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn) 180 度后，椅子仍在原地把長方形繞它的對(duì)稱中心 O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。 于是，旋轉(zhuǎn)角度 這一變量就表示了椅子的位置為此，在平面上建立直角坐標(biāo)系來解決問題如下圖所示，設(shè)椅腳連線為長方形 ABCD，以對(duì)角線 AC所在的直線

4、為 x 軸，對(duì)稱中心 O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系椅子繞 O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度 后，長方形 ABCD轉(zhuǎn)至 A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角 （ 0）表示出椅子繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn) 后的位置其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來我們知道，當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí)，椅腳就著地了，而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí)， 椅腳不著地由于椅子在不同的位置是 的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是 的函數(shù)由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個(gè)，它們都是 的函數(shù)而由假設(shè) (3) 可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地，即這四個(gè)函數(shù)對(duì)于任意的，其函數(shù)值至少有三個(gè)同時(shí)為0因此，只需引入兩個(gè)距離函數(shù)即可考慮

5、到長方形ABCD是中心對(duì)稱圖形，繞其對(duì)稱中心 O 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后，長方形位置不變，但A,C和 B,D 對(duì)換了因此，記A、B 兩腳與地面豎直距離之和為 f （），C、D 兩腳與地面豎直距離之和為 g（），其中 0 ， ，從而將原問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型：已知 f （）和 g（）是 的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意， f （） ?g( ) 0，證明：存在 00 ， ，使得 f （ 0 ） g （ 0） 0 成立。五、模型求解（顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果）如果 f （0） g（ 0） 0，那么結(jié)論成立。如果 f （0）與 g（0）不同時(shí)為零，不妨設(shè) f （0）0，g（0）0。這時(shí)，將長方形 ABCD繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 后，點(diǎn) A，B分別與 C， D 互換，但長方形 ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知， f （）g（0）， g（） f （0）. 而由 f （0） 0，g（0） 0，得 g（）0， f （） 0。令 h（） f( ) g（），由 f( ) 和 g( ) 的連續(xù)性知 h( ) 也是連續(xù)函數(shù)。又 h（0） f(0) g（0） 0，h（） f( ) g（） 0，, 根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理