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1、A5011 自然數(shù)n的數(shù)字和用S(n)來表示(1)是否存在一個自然數(shù)n,使得ns(n)=1980;(2)證明:在任意兩個連續(xù)的自然數(shù)之中,至少有一個能表示成nS(n)的形式,其中n為某個自然數(shù)【題說】第十四屆(1980年)全蘇數(shù)學奧林匹克八年級題6【解】(1)當n=1962時,nS(n)=1980(2)令Sn=nS(n),如果n的末位數(shù)字是9,則Sn+1Sn;否則Sn+1=Sn2對任意兩個連續(xù)的自然數(shù)m(m2),m1,在Snm的n中,選擇最大的,并用N表示這時SN+1mSN,所以N的末位數(shù)字不是9,從而SN+1=SN+2由mSN+1=SN+2m2,即得SN+1=m或SN+1=m1A
2、5012 設n為2的自然數(shù)證明方程xn1=yn+1在x與n1互質(zhì)時無正整數(shù)解【題說】1980年芬蘭等四國國際數(shù)學競賽題3本題由匈牙利提供【證】xn=yn+11=(y1)(ynyn-11)如果質(zhì)數(shù)p是y1與ynyn-11的公因數(shù),則p整除xn,從而p是x的因數(shù)但y除以p余1,所以ynyn-11除以p與n1除以p的余數(shù)相同,即n1也被p整除,這與x、n1互質(zhì)矛盾因此y1與ynyn-11互質(zhì),從而y1=sn,ynyn-11=tn,其中s、t為自然數(shù),st=x但ynynyn-11(y1)n,所以ynyn-11tn,矛盾,原方程無解A5013 設a、b、c是兩兩互素的正整數(shù),證明
3、:2abcbeacab是不能表示為xbcyaczab形式的最大整數(shù)(其中x、y、z是非負整數(shù))【題說】第二十四屆(1983年)國際數(shù)學奧林匹克題3【證】熟知在a、b互素時,對任意整數(shù)n有整數(shù)x、y,使axby=n當nabab時,首先取0xb(若xb則用xb、ya代替x、y),我們有by=naxababaxababa(b1)=b所以y1也是非負整數(shù)即nabab時,有非負整數(shù)x、y使axby=n因為a、b、c兩兩互素,所以(bc,ac,ab)=1令(bc,ac)=d則(ab,d)=1,所以方程abzdt=n
4、0; (1)有整數(shù)解,并且0zd(若zd則用zd、tab代替z、t)設 bc=da1,ac=db1,那么(a1,b1)=1在n2abcbccaab時,即
5、160; ta1b1a1b1從而方程
6、 a1x+b1y=t
7、160; (2)有非負整數(shù)解(x,y)由(1)與(2)消去t可得bcxacyabz=n有非負整數(shù)解另一方面,若有非負整數(shù)x、y、z使2abcbcacah=xbcyaczab則
8、60; bc(x1)ac(y1)ab(z1)=2abc于是應有,a整除bc(x1),因(a,bc)=1所以,a整除x1,從而cx1同理有,by1,cz1因此3abc=bcaacbabcbc(x1)ac(y1)ab(z1)=2abc由于a、b、c都是正整數(shù),這是不可能的,故2abcbccaab不能表成xbcycazab(x、y、z為非負整數(shù))的形式A5014 能否選擇1983個不同的正整數(shù)都不大于105,且其中沒有三個正整數(shù)是算術級數(shù)中的連續(xù)
9、項,并證明你的論斷【題說】第二十四屆(1983年)國際數(shù)學奧林匹克題5本題由波蘭提供【解】考慮三進制表示中,不含數(shù)字2并且位數(shù)11的數(shù)所成的集合M顯然|M|=21111983M中最大的數(shù)為若x、y、zM并且xz=2y,則由于2y的各位數(shù)字為0或2,所以xz的各位數(shù)字也為0或2從而x、z在同一位上的數(shù)字同為0或同為2,即x=z因此M中任三個互不相同的數(shù)不成等差數(shù)列于是回答是肯定的,M即是一例A5015 將19分成若干個正整數(shù)之和,使其積為最大【題說】1984年上海市賽一試題2(9)【解】由于分法只有有限種,其中必有一種分法,分成的各數(shù)的積最大我們證明這時必有:(1)分成的正整數(shù)只能是
10、2和3因為4=22,且4=2×2,若分出的數(shù)中有4,拆成兩個2其積不變;若分出的數(shù)中有數(shù)a5則只要把a拆成2與a2,由2(a2)a知道積將增大(2)分成的正整數(shù)中,2最多兩個若2至少有3個,則由33=222及3×32×2×2可知,將3個2換成2個3,積將增大所以,將19分成5個3與2個2的和,這些數(shù)的積35×22=972是最大的A5016 設a、b、c、d是奇整數(shù),0abcd,且ad=bc證明:如果對某整數(shù)k和m有ad=2k和bc=2m,那末a=1【題說】第二十五屆(1984年)國際數(shù)學奧林匹克題6【證】因為a(ad)(bc)=a2
11、adabaca2bcabac=(ab)(ac)0所以adbc,即2k2m,km又由ad=bc,有 a(2ka)=b(2mb)2m(b2k-ma)=b2a2=(ba)(ba)可知2m整除(ba)(ba)但ba和ba不能都被4整除(因為它們的和是2b,而b是奇數(shù)),所以2m-1必整除ba或ba之一因為babc=2m,所以ba=
12、2m-1或ba=2m-1因為a、b是奇數(shù),它們的公因數(shù)也是奇數(shù),且是ba和ba的因數(shù),從而是2m-1的奇因數(shù),即1所以a與b互質(zhì),同理a與c也互質(zhì)但由ad=bc,知a能整除bc,故a=1A5017 對正整數(shù)n1的一個劃分,是指將n分成一個或若干個正整數(shù)之和,且按非減順序排列(如n=4,劃分有1111,112,13,22及4共5種)對任一劃分,定義A()為劃分中數(shù)1出現(xiàn)的個數(shù);B()為中出現(xiàn)不同的數(shù)的個數(shù)(如對n=13的一個劃分:112225而言,A()=2,B()=3)求證:對任意正整數(shù)n,其所有劃分的A()之和等于B()之和【題說】第十五屆(1986年)美國數(shù)學奧林匹克題5【證】
13、設p(n)表示n劃分的個數(shù)那么第一個位置是1的劃分有p(n1)個,第二個位置上是1的(當然它第一個位置上也是1)的劃分有p(n2)個等等第n1個位置上是1的劃分有P(1)=1個,第n個位置上是1的只有1種若令P(0)=1則所有劃分中含1的數(shù)A()之和等于P(n1)P(n2)P(1)P(0)另一方面,從含有1的每個劃分中拿去一個1,都成為一個(n1)的劃分,共拿去P(n1)個1再從含有2的每個劃分中拿去一個2,都成為n2的劃分,共拿去P(n2)個2從含有(n1)的劃分(只有一個:1(n1),拿去(n1),即拿去了P(1)=1個1再加上含有n的一個劃分,n為P(0)=1個,故B()總和也等于P(n
14、1)P(n2)P(1)P(0)因此,A()=B()A5018 在直角坐標系xoy中,點A(x1,y1)和點B(x2,y2)的坐標均為一位正整數(shù)OA與x軸正方向的夾角大于45°,OB與x軸正方向的夾角小于45°,B在x軸上的射影為B,A在y軸上的射影為A,OBB的面積比OAA的面積大33.5由x1、求出所有這樣的四位數(shù),并寫出求解過程【題說】1985年全國聯(lián)賽二試題167又由于x2、y2均為一位正整數(shù),所以x2y2=72或x2y2=81因為BCB45°,所以x2y2故由x2y2=72可知x2=9,y2=8此時x1y1=5同樣可求得x1=1,y1=5綜上可
15、知,1985為符合條件的唯一的四位數(shù)A5019 設n、k為互素自然數(shù),0kn,在集合M=1,2,n1(n3)中的各數(shù),要么著藍色,要么著白色,已知(1)對于各iM,i和ni同色;(2)對于各iM,ik, i和|ik|同色證明:在M中的所有數(shù)均同色【題說】第二十六屆(1985年)國際數(shù)學奧林匹克題2本題由澳大利亞提供【證】設lk=nqlrl(l=1,2,n1;1rln1)若rl=rl,則(ll)k被n整除,但n、k互素,所以n|(ll)這表明在l=1,2,n1時,r1,r2,rn-1互不相同,所以M=r1,r2,rn-1若rlnk,即rlkn,則rl+1=rlk,由條件(2),rl+
16、1與rl+1k=rl同色若rlnk,即rlkn,則rl+1=rlkn,于是rl+1與krl+1=nrl同色再由條件(1)nrl與rl同色綜上所述,ri+1與rl同色(l=1,2,n2),因此M中所有數(shù)同色A5020 如n是不小于3的自然數(shù),以f(n)表示不是n的因數(shù)的最小自然數(shù)(例如f(12)=5)如果f(n)3,又可作f(f(n)類似地,如果f(f(n)3,又可作f(f(f(n)果用Ln表示n的長度,試對任意的自然數(shù)n(n3),求Ln并證明你的結論【題說】第三屆(1988年)全國冬令營賽題6【解】很明顯,若奇數(shù)n3,那么f(n)=2,因此只須討論n為偶數(shù)的情況,我們首先證明,對任何n3,f(n)=ps,這里P是素數(shù),s
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