平行線分線段成比例經(jīng)典例題與變式練習(xí)4(精選題目)較難

1、平行線分線段成比例 平行線分線段成比例定理及其推論 1. 平行線分線段成比例定理: 三條 _截兩條直線, 所得的 _線段的比 _。如下圖,如果 1l 2l 3l ,則 BC EF AC DF =, AB DE AC DF =, AB ACDE DF=. 2. 平行線分線段成比例定理的推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 (或兩邊延長(zhǎng)線 , 所得的 線段的比 _.如圖,在三角形中,如果 DE BC ,則 AD AE DEAB AC BC=3. 平行的判定定理: 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線 ,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這 條直線 于三角形的第三邊。 如上圖,如果有 BC DEAC

2、 AE AB AD =,那么 DE BC 。 【例 1】 如 圖, DE BC ,且 DB AE =, 若 510AB AC =, ,求 AE 的長(zhǎng)。【例 2】 如 圖,已知 /AB EF CD ,若 AB a =, CD b =, EF c =,求證:111cab=+.【鞏固】 如圖, AB BD , CD BD ,垂足分別為 B 、 D , AC 和BD 相交于點(diǎn) E , EF BD ,垂足為 F . 證明:111AB CD EF+=.【鞏固】 如圖,找出 ABD S 、 BED S 、 BCD S 之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論 .【例 3】 如 圖,在梯形 ABCD 中, AB CD ,

3、129AB CD =,過(guò)對(duì)角線交點(diǎn) O 作 EF CD 交 AD BC , 于 E F , ,求 EF 的長(zhǎng)。【 鞏固 】 (上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題 如圖, 在梯形 ABCD 中, AD BC , AD a BC b E F =, , , 分別是 AD BC , 的中點(diǎn), AF 交 BE 于 P , CE 交 DF 于 Q ,求 PQ 的長(zhǎng)。l3l 2l 1F E D C B AB C DE D C B ADCBAFE BAFEDCBAFE DCBAFEDBA FE D CBA (2如圖(2 ,已知 ABC 中, :1:3AE EB =, :2:1BD DC =, AD 與 CE 相交于 F ,2D

4、.2 例 4、如圖,在 ABC 中, D 為 BC 邊的中點(diǎn), E 為 AC 邊上的任意一點(diǎn), BE 交 AD 于點(diǎn) O . (1當(dāng) 1A 2AE C =時(shí),求AOAD的值; (2當(dāng) 11A 34AE C =時(shí),求AOAD的值; (3試猜想1A 1AE C n =+時(shí) AOAD的值,并證明你的猜想 .【例 4】 如 圖, AD 是 ABC 的中線,點(diǎn) E 在 AD 上, F 是 BE 延長(zhǎng)線與 AC 的交點(diǎn) .(1如果 E 是 AD 的中點(diǎn),求證:12AF FC =; (2 由 (1 知, 當(dāng) E 是 AD 中點(diǎn)時(shí),12AF AEFC ED=成立, 若 E 是 AD 上任意一點(diǎn) (E 與 A

5、、 D 不重合 , 上述結(jié)論是否仍然成立,若成立請(qǐng)寫出證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由 .【鞏固】 (天津市競(jìng)賽題如圖,已知 ABC 中, AD 是 BC 邊上的中線, E 是 AD上的一點(diǎn),且 BE AC =,延長(zhǎng) BE 交 AC 于 F 。求證:AF EF =?！纠?5】 (寧德市中考題如圖, ABC 中, D 為 BC 邊的中點(diǎn),延長(zhǎng) AD 至 E ,延長(zhǎng) AB 交 CE 的延長(zhǎng)線于 P 。若 2AD DE =,求證 :3AP AB =?！眷柟獭?(濟(jì)南市中考題;安徽省中考題如圖, ABC 中, 若 11D E , 分別是 AB AC , 的中點(diǎn),則 1112D E a =;若 22D E 、

6、 分別是 11D B E C 、 的中點(diǎn),則 2213224a D E a a =+= ;若 33D E 、 分別是 22D B E C 、 的中點(diǎn),則 33137248D E a a a =+= ;若 n n D E 、 分別是 -1-1n n D B E C 、 的中點(diǎn),則 n n D E =_.ED CBA O E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBA(1(2E DCBF DCBAFE DCB A PECBA專題三、利用平行線轉(zhuǎn)化比例 【例 6】 如 圖,在四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 相交于點(diǎn) O ,直線 l 平行于 BD ,且 與 AB 、 DC 、 BC

7、 、 AD 及 AC 的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn) M 、 N 、 R 、 S 和 P . 求證:PM PN PR PS =【鞏固】 已知,如圖,四邊形 ABCD ,兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后交于 E 、 F ,對(duì)角線 BD EF , AC 的延長(zhǎng)線交 EF 于 G .求證:EG GF =.【例 7】 已 知:P 為 ABC 的中位線 MN 上任意一點(diǎn), BP 、 CP 的延長(zhǎng)線分別交對(duì)邊 AC 、 AB 于 D 、 E ,求證:1AD AE DC EB+=【例 8】 在 ABC 中,底邊 BC 上的兩點(diǎn) E 、 F 把 BC 三等分, BM 是 AC 上的中線, AE 、 AF 分別交 BM 于 G 、 H 兩

8、點(diǎn),求證:5:3:2BG GH HM =【例 9】 如 圖, M 、 N 為 ABC 邊 BC 上的兩點(diǎn),且滿足 BM MN NC =,一條平行于 AC 的直線分別交 AB 、 AM 和 AN 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D 、 E 和 F . 求證:3EF DE =.【例 10】 已知:如圖,在梯形 ABCD 中, /AB CD , M 是 AB 的中點(diǎn),分別連接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ,且 AC 與 MD 交于點(diǎn) E , DB 與 MC 交于 F . (1求證:/EF CD(2若 AB a =, CD b =,求 EF 的長(zhǎng) .lSR PN BAG FE D BPNME D CBA MFE

9、CBFN MED CBAMDCBA【鞏固】 (山東省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題如圖,在梯形 ABCD 中, AD BC ,396AD BC AB =, , , 4CD =,若 EF BC ,且梯形 AEFD 與梯形 EBCF的周長(zhǎng)相 等,求 EF 的長(zhǎng)?！纠?11】 (山東省競(jìng)賽題如圖, ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn) O ,在 AB 的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn) E ,連接 OE 交 BC 于點(diǎn) F ,若 AB a AD c BE b =, , , 求 BF 的值?！纠?12】 已知等腰直角 ABC 中, E 、 D 分別為直角邊 BC 、 AC 上的點(diǎn),且CE CD =,過(guò) E 、 D 分別作 AE 的垂線,交斜邊 AB 于 L , K .求證:BL LK =.如已知 DE AB , 2OA OC OE =,求證:AD BC . 【習(xí)題 2】 在 ABC 中, BD CE =, DE 的延長(zhǎng)線交 BC 的延長(zhǎng)