高中數(shù)學(xué)秒殺型推論

1、高中數(shù)學(xué)秒殺型推論高中數(shù)學(xué)秒殺型推論一 函數(shù)1. 抽象函數(shù)的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函數(shù)概念的推廣及其周期：（1）對于函數(shù)f（x），若存在常數(shù)a，使得f（a-x）=f（a+x），則稱f（x）為廣義（）型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個相異實數(shù)a，b同時滿足時，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），則f（x）是廣義（）型

2、奇函數(shù)，當(dāng)有兩個相異實數(shù)a，b同時滿足時，f（x）為周期函數(shù)T=2|b-a|3.抽象函數(shù)的對稱性 （1）若f（x)滿足f（a+x）+f（b-x）=c 則函數(shù)關(guān)于（a+b2，c2）成中心對稱（充要）（2）若f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b2成軸對稱（充要）4.洛必達(dá)法則，設(shè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)和g(x)limfx0g(x)0f(x)g(x)=f'(x)g'(x) limfxg(x)f(x)g(x)=f'(x)g'(x)二、三角1.三角形恒等式（1）在中，tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1 cotAco

3、tB+cotBcotC+cotCcotA=1（2） 正切定理&余切定理：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotA2+cotB2+cotC2=cotA2cotB2cotC2（3） sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2（4）sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC（5）cycsinAcosBcosC=sinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAc

4、osB=sinAsinBsinCcyccosAsinBsinC=cosAsinBsinC+cosBsinAsinC+cosCsinAsinB=cosAcosBcosC-12任意三角形射影定理（又稱第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2Sa+b+c（S為面積），外接圓半徑R=abc4S=a2sinA=b2sinB=c2sinC歐拉不等式：R>2r4梅涅勞斯定理如下圖，E.D.F三點(diǎn)共線的充要條件是 CEEA×AFFB×BDDC=15塞瓦定理 如下圖，AD、BE、CF三線共點(diǎn)的充要

5、條件是 AFFB×BDDC×CEEA=16. 斯特瓦爾特定理：如下圖，設(shè)已知ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB²×DC+AC²×BD-AD²×BCBC×DC×BD7、和差化積公式（只記憶第一條）sin+sin=2sin+2cos-2sin-sin=2cos+2sin-2 cos+cos=2cos+2cos-2 cos-cos=-2sin+2sin-28、積化和差公式sinsin=- cos(+)-cos(-) 2coscos= cos+cos(-) 2sincos= sin+sin(

6、-) 2 cossin= sin+-sin(-) 29、萬能公式10三角混合不等式：若x（0，2),sinxxtanx當(dāng)x0時sinxxtanx11.海倫公式變式如下圖，圖中的圓為大三角形的內(nèi)切圓，大三角形三邊長分別為a.b.c，大三角形面積為S=xyz（x+y+z)=14（a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)12.雙曲函數(shù)定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=ex-e-x2，雙曲余弦函數(shù)coshx=ex+e-x2易知（1）奇偶性：sinhx為奇函數(shù)，coshx為偶函數(shù)（2）導(dǎo)函數(shù)：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3）兩角和：sinh（x+y）=sinhxcos

7、hy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）復(fù)數(shù)域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x）（5）定義域：xR（6）值域：sinhxR，coshx1，+）13.三角形三邊a.b.c成等差數(shù)列，則tanA2tanC2=1314.三角形不等式（1）在銳角中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCtanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC（2）在中，x2+y2+z22yzcosA+2xzcosB+2zycosC（3）在中，sinA>sinBcos2A>cos2B1

8、5ASA的面積公式：S=a2sinBsinC2sin（B+C）=b2sinAsinC2sin（A+C）=c2sinAsinB2sin（A+B）三、復(fù)數(shù)1歐拉公式（泰勒級數(shù)推出） cos+isin=ei2棣莫弗定理（歐拉公式推出） （cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3.復(fù)數(shù)模不等式（三角不等式） |z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 當(dāng)且僅當(dāng)所有復(fù)數(shù)幅角主值相等時等號成立4z1-z22+z1+z22=2（z12+z22）5. 復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、數(shù)列（所有通過遞推關(guān)系得出通項后都要檢驗首項）1.An+1=kA

9、n+f(n)兩邊同除以kn+1，構(gòu)造數(shù)列Ankn，通過累加法得出通項公式2. An+1=kAn+C設(shè)一常數(shù)x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x則（k-1）x=C，求出x=Ck-1，得到等比數(shù)列An+xAn-1+x,公比為k3不動點(diǎn)法：形如An+1=bAn+cdAn+e（d0，當(dāng)d=0時，則是第二種情況），設(shè)函數(shù)f(x)=bx+cdx+e，x=bx+cdx+e的根稱為f(x)的不動點(diǎn)，（1）若函數(shù)f（x）有2個不動點(diǎn)， 則數(shù)列An-An-是一個等比數(shù)列，An=An-An-=A1-A1-（b-db-d)n-1，An=An'-An'-1（2）若函數(shù)f（x

10、）只有一個不動點(diǎn) 則數(shù)列1An-數(shù)一個等差數(shù)列，An=1A1-+（n-1)db-d（3）若函數(shù)f（x）沒有不動點(diǎn)，則數(shù)列An是周期數(shù)列，周期自己找4特征方程法：形如An+2=pAn+1+qAn稱為二階遞推數(shù)列，我們可以用它的特征方程x²-px-q=0的根來求它的通項公式（1）若方程有兩根x1，x2，則An=x1n-1+x2n-1 (, 可根據(jù)題目確定)（2）若只有一個根x0An=(+n)x0n-1 (, 可根據(jù)題目確定)5變系數(shù)一階遞推數(shù)列四、不等式1.權(quán)方和不等式（赫德爾不等式推出）Am+1xm+Bm+1ym+A+B+m+1x+y+m當(dāng)且僅當(dāng)Ax=By=時，等號成立2.黎曼和-定積

11、分不等式級數(shù)與定積分之間的關(guān)系設(shè)可積函數(shù)f(x)當(dāng)f(x)為減時，1n+1f(x)dx1nf(x)當(dāng)f(x)為增時，1n+1f(x)dx1nf(x)3琴生不等式函數(shù)的平均數(shù)與平均數(shù)的函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)f(x)為凹函數(shù)，即f（x）>0時fx1+fx2+f(xn）nf(x1+x2+xnn）當(dāng)f(x)為凸函數(shù)，即f（x）<0時fx1+fx2+f(xn）nf(x1+x2+xnn）當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=xn時，等號成立4.卡爾松不等式x11x1mxn1xnmmj=1mi=1nxiji=1nmj=1mxij5排序不等式 當(dāng)且時， 其中x表示x的任意一項以上可概括為 順序和亂序和倒序和5切比雪夫總和

12、不等式（排序不等式推出）當(dāng)an與bn逆序時當(dāng)an與bn順序時不等式反向6舒爾不等式（Schur不等式）xt（x-y）（x-z）+yt（y-x）（y-z）+zt（z-x）(z-y)0當(dāng)x=y=z時，等號成立配Schur法（Schur分拆法）三元齊三次對稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是a=f(0,0,1)0b=f(0,1,1)0c=f(1,1,1)0因為f(x,y,z)=ax（x-y)(x-z)+b（y+z)（x-y)(x-z)+cxyz三元齊四次對稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是a=f(0,0,1)0b=f(0,1,1)0c=f1,1,130d=a+c-f（1，0，1）40因為f(x

13、,y,z)=ax2x-yx-z+bxy+zx-yx-z+cyzx-yx-z+dxyz(x+y+z)三元齊五次對稱輪換式f(x,y,z)0的充要條件是a=f(0,0,1)0b=f(1,i,0)2（1+i）0c=f1,1,020d=f-1,i,1i+8b+e-2a20e=f(1,1,1)30因為f(x,y,z)=ax3x-yx-z+bx2（y+z)x-yx-z+cyzy+zx-yx-z+dxyzx-yx-z+exyz(xy+yz+zx)7常用對數(shù)不等式當(dāng)x-1時，x1+xln（x+1)xex1+xx+1ex當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立8.伯努利不等式當(dāng)x-1，n0時或n為正偶數(shù)，xR時（1+x）n1+

14、nx當(dāng)n=0或1，或x=0時等號成立9uvw法和pqr法（解決三元對稱輪換式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式當(dāng)a.b.c為非負(fù)實數(shù)時，用uvw法；當(dāng)a,b,cR時，用pqr法10.SOS法（配方法）不解釋11拉格朗日乘數(shù)法（解決條件極值問題）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的極值構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L=F（x,y,z）+f(x,y,z)對F（x,y,z）分別關(guān)于x,y,z，求偏導(dǎo)，得到四元方程組，其中對F（x,y,z）關(guān)于求偏導(dǎo)所得方程即f(x,y,z)=0

15、解四元方程組所得解，即F（x,y,z）的極值點(diǎn)，從而算出極值。由拉格朗日乘數(shù)法可知，所有對稱輪換式的極值在x=y=z時取到12拉格朗日乘數(shù)法推論（拉格朗日乘數(shù)法得到）已知x，y，za,b，對稱輪換式F（x,y,z）的極值在x=ay=bz=z0（z0為當(dāng)x=a，y=b時z的值）和x=y=z時取到13已知a.b.c為正實數(shù)，且a+b+c=k，求證ab+bcx證明：k=a+b+c=a+（k2x）2b+（k2x）2b+ckxab+kxbc整理即得所求不等式14冪平均不等式a12+an2（a1+an）2n當(dāng)且僅當(dāng)a1=an時等號成立15當(dāng)n>0時，n+1-n<12n<n-n-116當(dāng)n

16、>1時，1n-1n+1<1n2<1n-1-1n 17.雙絕對值函數(shù)圖像18a.b為正數(shù)當(dāng)mn>0時，am+n+bm+nambn+anbm當(dāng)mn<0時，am+n+bm+nambn+anbm五、排列組合1隔板法I把n個元素放到m個集合中，所得集合均非空，則有Cn-1m-1種x1+x2+xm=n的正整數(shù)解個數(shù)為Cn-1m-12.隔板法II把n個元素放到m個集合中，所得集合可為空，則有Cm+n-1m-1種x1+x2+xm=n的非負(fù)整數(shù)解個數(shù)為Cm+n-1m-1（a1x1+a2x2+amxm）n展開式的項數(shù)為Cm+n-1m-13.圓排列從n個元素中抽取m個元素，按照一定的順

17、序排列成一圈，叫做一個圓排列，圓排列的個數(shù)Rnm=Cnmm-1！4.重復(fù)組合從n個元素中抽取m個元素，元素可以重復(fù)選取，不管順序，組成一組，叫重復(fù)組合，重復(fù)組合個數(shù)Hnm=Cm+n-1m5組合恒等式（只例舉了最簡潔的四個）kCnk=nCn-1k-1mnCnm=Cn-1m-1組合數(shù)的聚合性：Cn+1m+1=Cnm+Cnm+1CknCkm=CnmCn-mk-m6.從互不相同的n個非零數(shù)字中任取m個，所得m位數(shù)之和為S，S=19aAnm（10m-1），其中a為n個非零數(shù)字的算術(shù)平均數(shù)7（ax+by）n展開式中，第k項系數(shù)絕對值最大，則k=ba+bn+1+1其中 表示高斯函數(shù)，即取整函數(shù)六、解析幾何1

18、圓錐曲線統(tǒng)一極坐標(biāo)方程=ep1-ecos2圓錐曲線統(tǒng)一焦點(diǎn)弦長公式L=2ep1-e2cos23A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），SABC=12x1y11x2y21x3y31當(dāng)且僅當(dāng)SABC=0時，三點(diǎn)共線4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四點(diǎn)共圓的充要條件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三線共點(diǎn)的充要條件A1B1C1A2B2C2A3B3C3=06過（x0，y0）引圓錐曲線F（x,y）的弦，弦中點(diǎn)的軌跡方程為y-y0=F（x,y）（x-x0），當(dāng)（x0，y0）為弦中點(diǎn)時，弦中點(diǎn)軌跡

19、方程為y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7.定比分點(diǎn)公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分點(diǎn)坐標(biāo)為（xA+xB1+，yA+yB1+）8.若拋物線y2=2px，AB是拋物線上的動弦，kOAkOB=，則AB恒過定點(diǎn)（-2p，0）9.拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），焦點(diǎn)弦斜率為k，焦點(diǎn)弦長度為L（1）y1y2=-p2x1x2=p24x1+x2=p+2pk2=p（1+2k2）y1+y2=2pk（2）L=x1+x2+p=2psin2=2p（1+1k2）=（y1-y2）22p（3）k=2py1+y2（4）1x1+p2+1x2+p2=2p（5）S

20、OAB=p4y1-y210圓錐曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)（通性）：焦點(diǎn)弦長為L，（1）已知x1+x2時，橢圓：L=2a-e（x1+x2）雙曲線：L=ex1+x2-2a拋物線：L=x1+x2+p（2）已知焦點(diǎn)弦傾斜角時，L=2ep1-e2cos2（3）橢圓、拋物線、雙曲線（焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在同支）焦點(diǎn)弦的兩個焦半徑倒數(shù)之和為常數(shù)1AF1+1BF1=2ep雙曲線（焦點(diǎn)弦端點(diǎn)在異支）焦點(diǎn)弦的兩個焦半徑倒數(shù)之差為常數(shù)1AF1-1BF1=2ep（4）圓錐曲線正交焦點(diǎn)弦倒數(shù)之和為常數(shù)1AB+1CD=2-e22ep（5）圓錐曲線焦點(diǎn)弦AB的中垂線于對稱軸（標(biāo)準(zhǔn)方程中為x軸）于D，DF與AB之比為e2DFAB=e2（6）圓錐曲

21、線內(nèi)，最長的焦點(diǎn)弦為通徑有心圓錐曲線：通徑長=2b2a無心圓錐曲線：通徑長=2p11.圓錐曲線的焦半徑（通性）（1）極點(diǎn)為焦點(diǎn)，極軸為x軸的圓錐曲線極坐標(biāo)方程 式中的為極徑，即焦半徑，為極角=ep1-ecos（2）已知焦半徑端點(diǎn)的橫坐標(biāo)x時橢圓：=a-ex雙曲線：=ex-a拋物線：=x+p212雙焦點(diǎn)三角形面積：F1.F2為有心圓錐曲線兩焦點(diǎn)P為橢圓上一個點(diǎn)，SPF1F2=b2tan2P為雙曲線上一個點(diǎn)，SPF1F2=b2cot213.圓錐曲線冪定理：圓錐曲線F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0與一條過M（x0，y0），且傾斜角為的直線L交于P1.P2兩點(diǎn)，則MP1·MP2

22、=F（x0，y0）Acos2+Bsin2=Ax02+Bx02+Dx0+Ey0+FAcos2+Bsin214.點(diǎn)P（x0，y0）對圓錐曲線C引兩條切線，連結(jié)切點(diǎn)所得線為切點(diǎn)弦（極線），或點(diǎn)P（x0，y0）為切點(diǎn)，則極線方程或切線方程為（1）若C為橢圓，x0xa2+y0yb2=1（2）若C為雙曲線，x0xa2-y0yb2=1（3）若C為拋物線，y0y=p（x+x0）15.已知有心圓錐曲線F（x,y），直線l：f(x,y)，p是l上一點(diǎn)，射線OP交圓錐曲線于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OB上，且滿足OQOP=OR2，當(dāng)P在l上移動時，Q的軌跡方程即為F（x,y）=f(x,y)16曲線族F（x,y,t）的包絡(luò)為F（

23、x,y,t）=Ft'（x,y,t)=017. A（x1，y1），B（x2，y2），以AB為直徑的圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=018.關(guān)于雙曲線漸近線：（1）共軛雙曲線：實軸與虛軸對換，有相同漸近線，四焦點(diǎn)共圓，離心率的倒數(shù)平方和為1：1e12+1e22=1（2）焦點(diǎn)到漸近線距離為虛半軸長b（3）若兩漸近線夾角為，則雙曲線離心率e=1cos2=sec2（4）雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線距離之積為常數(shù)a2b2a2+b2（5）過雙曲線上任意一點(diǎn)M作平行于實軸的直線交兩漸近線于P.Q，則MPMQ=a219過有心圓錐曲線上一定點(diǎn)P（x0，y0）作傾斜角互補(bǔ)的兩直線

24、與有心圓錐曲線的另兩交點(diǎn)A.B的連線的斜率為定值k=x0b2y0a2過無心圓錐曲線上上一定點(diǎn)P（x0，y0）作傾斜角互補(bǔ)的兩直線與無心圓錐曲線的另兩交點(diǎn)A.B的連線的斜率為定值k=-py0以上情況中，APB的角平分線x=x0平行于y軸，APB的內(nèi)切圓圓心恒過直線x=x0.20.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)：橢圓：由一焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)橢圓反射后必過另一焦點(diǎn)雙曲線：由一焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)雙曲線反射后的反向延長線必過另一焦點(diǎn)拋物線：平行于對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過焦點(diǎn)；過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后必平行于對稱軸21.有心圓錐曲線的兩焦點(diǎn)到任一切線的距離積為定值，且定值為b222.橢圓上動點(diǎn)對直徑端點(diǎn)連線的斜率積

25、=橢圓切線的斜率×切點(diǎn)與中心連線的斜率=橢圓弦斜率×弦中點(diǎn)與中心連線的斜率=-b2a2雙曲線上動點(diǎn)對直徑端點(diǎn)連線的斜率積=雙曲線切線的斜率×切點(diǎn)與中心連線的斜率=雙曲線弦斜率×弦中點(diǎn)與中心連線的斜率=b2a223.拋物線y2=2px內(nèi)接RtOAB（以O(shè)為直角頂點(diǎn)），A（x1，y1）B（x2，y2）（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2（2）AB恒過頂點(diǎn)（2p,0）（3）AB中點(diǎn)軌跡方程y2=p（x-2p）（4）AB邊上高的垂足軌跡方程（x-p）2+y2=p2（5）（SOAB）min=（12OAOB）min=4p224.對于極坐標(biāo)方程=f，從1到2，曲線所圍成的面積S=1212f2（）d對于極坐標(biāo)方程=f，從1到2，曲線所積出的長度L=12f（）d25圓錐曲線上一弦AB，其中點(diǎn)M（x0，y0），AB的斜率為（1）對于橢圓，kAB=-b2x0a2y0（2）對于雙曲線，kAB=b2x0a2y0（3）對于拋物線，kAB=py026.圓錐曲線上定點(diǎn)：圓錐曲線上有一定點(diǎn)P（x0，y0），另有一直線L于圓錐曲線交于與P相異兩點(diǎn)A.B.第一組：當(dāng)kPAkPB=（b2a2）時1） 對于橢圓，L恒過定點(diǎn)（a2+b2a2-b2x0，-a2+b2a2-b2y0）2） 對于雙曲線，L恒過定點(diǎn)（a2-b2a2