不等式知識點總結(jié)

1、1、不等式的基本性質(zhì)a> c（可加性） （對稱性）a > b二b > a（傳遞性）a > b, bga Abu a +c >b +c（同向可加性）a>b,c；>d =異向可減性）a A b,c cd = a-c A b -d（可積性）aA b, c > 0 = ac A beac< bc（同向正數(shù)可乘性）a Ab ；>0,c Ad ：>0二 ac ；>bd（異向正數(shù)可除性）a ba Ab ;>0,0 cc <d =-訂（平方法則）a >b >0二 an >bn（n 亡 N,且n >1）（

2、幵方法則）a >b ;>0= 7>7b（n cN,且n >1）1（倒數(shù)法則）aAbA0=a<l;a<b<0=1一ba2、幾個重要不等式a2 +b2 >2ab（a, b亡 R）2 2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號）. 變形公式：ab < 2（基本不等式）寧'藥2,宀+）,（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取到等號）.變形公式：a+ b>27abab <i - I 2丿業(yè)1用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件 “一正、二定、三相等” （三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）a+bj亦（a、b、c

3、亡 r+）（當(dāng)且僅當(dāng) a = b=c3時取到等號）.a=b=c時取到等號）. a2+b2+c2 3ab+bc+ca（a, b亡 R）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b = c時取至U等號）. a3 + b3 +c3 工3abc（a >0,b >0,c A0）（當(dāng)且僅當(dāng)若a0,則a+普2 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）若abc 0,則匕+亙蘭-2 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時a b取等號）n >0）規(guī)律：小于 1同加則變大，大于 1同加則變bb+m. a+na 甘門c 一V<1 w< 其中(aAb。，m。,a a +m b +nb小.當(dāng)a ；>0時,，X 2= X2 >a2 U X c-a

4、或x >a;X <a二X2 <a2二-acx<a.絕對值三角不等式2 23、幾個著名不等式平均不等式：/ yob宀訂a+ b-_ 2 _V 2（a, b亡r+）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號）.（即調(diào)和平均 < 幾何平均< 算術(shù)平均< 平方平均）.2ooQ變形4 abw時K答L； a2+汽呼 冪平均不等式：a： +a22 +. + an2 > 丄® +a2 +. + an)2.n 二維形式的三角不等式:Jxi2 +yj + Jx22 +y22 > J(Xi X2)2 +(yi y2)2 (Xi,yi,X2,y

5、R). 二維形式的柯西不等式 (a2 +b2)(c2 +d2) >(ac + bd)2(a,b,c,d R).當(dāng)且僅當(dāng)ad =bc時，等號成立. 三維形式的柯西不等式：(ai2 +a22 +a32)(bj +b22 +b32) >(aibi +a2b2 + a3b3)2. 一般形式的柯西不等式：(ai2 +a22 +. +an2)(bi2 +b22 +.+bn2)呂(aibi +a2b2 +. + anbn)2. 向量形式的柯西不等式:設(shè):?是兩個向量，則,當(dāng)且僅當(dāng)P是零向量，或存在實數(shù)k，使：=k?時，等號成立. 排序不等式（排序原理）設(shè)ai <a2蘭蘭an,bi蘭b2蘭蘭

6、bn為兩組實數(shù).gq,., g是bb,., bn的任一排列，則aibn+a2bn4+.+anbi<aiCi+a2c2+.+anCn蘭aibi+a2b2+.+anbn.(反序和蘭亂序和 蘭順序當(dāng)且僅當(dāng)aj =a2 =.=an或d =b2 = .=6時，反序和等于順序和. 琴生不等式：（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（X）,對于定義X1 +X2、” f（Xi） + f（X2）域中任意兩點X1,X2（X1 HX2）,有f（-2）<' 2 ，-f（Xi）+f（X2）則稱 f（x）為凸2 （或凹）函數(shù).常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法;其它方法有：換

7、元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等.4、不等式證明的幾種常用方法2 （k亡 N*,k1）5、元二次不等式的解法常見不等式的放縮方法:求一元二次不等式ax舍去或加上一些項，如（a+mxa+y； 將分子或分母放大（縮?。?，如 1,1 1、 1 （ - -）< , >Vk（k 1）'F >k（k+1）'2/kVkVkVk + Jk-1'4kVk+ Jk +1 +bx +caO（或c 0） （a ho,也=b2 - 4ac0）解集的步驟:一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.

8、五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊6、高次不等式的解法： 穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集f （x） 9&）>0（“ < 或蘭”f（x），g（x） >0lg（x） ho皿0=7、分式不等式的解法：先 移項通分 標(biāo)準(zhǔn)化，則g（X）g（X）時同理） 規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 8無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解2 Jf(x) >a(0) .'f(x)>0 心f(x)>0if(x)>a2 皿®

9、叫仏)<a2卩(x)>0 Jf(x) >g(x)u «g(x)X0Lf(x)>g(x)2或 g；：J：0 gyvgwiw0Lf(x)<g(x)f(X)>0 Jf (X) >Jg(x) u «g(x) >0f(X)>g(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解9、指數(shù)不等式的解法:當(dāng) aAl 時，afg “曲)二 f(x)>g(x)當(dāng) 0<a<1 時，aWAaEQ f(x)<g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化10、對數(shù)不等式的解法當(dāng)a>1時,f(X)A0、/

10、loga f (X) >loga g(x)u ?g(x) a0 當(dāng) 0* 燈時，lf(x) >g(x)卩(X)>0loga f(X)>loga g(x)u 鈕(x) >0lf(x) vg(x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化11、含絕對值不等式的解法：一定義法：iaa(a<0)-平方法:f(x) <g(x)二 f2(x)<g2(x).同解變形法，其同解定理有: x Eau ax 蘭a(a 30); x 3a = X A a或 X 蘭一a(a 3 0); f(x)蘭g(x)= g(x)<f(x)<g(x) (g(x)>0) I f(x

11、)| >g(x)u f (x) >g(x)或f(x) <g(x) (g(x) M)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號 12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法:規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集 13、含參數(shù)的不等式的解法 解形如ax2+bx+c0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo) 準(zhǔn)有:討論a與0的大小；討論與0的大小；討論兩根的大小.14、恒成立問題a >0A<0.不等式ax2 +bx+ c>0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是:當(dāng)a=0時 =b=0,c >0;當(dāng)a H0時=*不等式ax2+bx+c&