因式分解拔高題專項(xiàng)練習(xí)

1、因式分解的“八個(gè)注意”事項(xiàng)及 “課本未拓展的五個(gè)的方法”在因式分解這一章中，教材總結(jié)了因式分解的四個(gè)步驟，可概括為四句 話：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適” 然而在初學(xué)因式分解時(shí)，許多同學(xué)在解題中還是會(huì)出現(xiàn)一些這樣或那樣的錯(cuò)誤， 或者都學(xué)透了， 但是試卷上給出的題目卻還是不會(huì)分解， 本文提出以下 “八個(gè)注 意”事項(xiàng)及“五大課本未總結(jié)的方法”，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。一、“八個(gè)注意”事項(xiàng)(一) 首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)例1把一a2 b2 + 2ab+ 4分解因式。解：a2 b2 + 2ab+ 4= (a 2ab+ b2 4) = (a b + 2) (a b 2)這里的“負(fù)

2、”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的， 一般要提出負(fù)號(hào)， 使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止出現(xiàn)諸如一 a2 b2= ( a+b) ( a b)的錯(cuò) 誤。(二) 各項(xiàng)有公先提公例 2 因式分解 8a4 2a2解:8a4 2a2=2a2(4a2 1)=2a2(2a+1)(2a 1)這里的“公”指“公因式”。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式。防止出現(xiàn)諸如4a4-a2= (2a2+a) (2a2-a)而又不進(jìn)一步分解的錯(cuò)誤 .(三) 某項(xiàng)提出莫漏 1例 3 因式分解 a3-2a 2+a解： a3-2a 2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1) 2這里的“ 1”，是

3、指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后， 括號(hào)內(nèi)切勿漏掉 1。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 a3-2a 2+a=a(a2-2a) 的錯(cuò)誤。(四) 括號(hào)里面分到“底”。例 4 因式分解 x43x24解：x4+3x2 4=( x2+ 4)( x2 1) = ( x2 + 4)( x + 1)( x 1)這里的“底”，指分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能 再分解為止。即分解到底， 不能半途而廢的意思。 其中包含提公因式要一次性提 “干凈”，不留“尾巴”， 并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。 如上例中 許多同學(xué)易犯分解到 x4+3x2 4=( x2 4)( x2 1 )而不進(jìn)一步分解的錯(cuò)誤。

4、因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中， 與因式分解 的四個(gè)步驟是一脈相承的。(五) 各式之間必須是連乘積的形式2例 5 分解因式 x 9+8x=22解： x 9+8x=x +8x 9=(x 1 )(x+9)這里的“ 連乘積 ”，是指因式分解的結(jié)果必須是幾個(gè)整式的連乘積的形式， 否則不是因式分解。有些同學(xué)只注意到前兩項(xiàng)運(yùn)用平方差公式，得(x+3) (x 3)+8x。結(jié)果從形2 式上看右式不是乘積形式，顯然是錯(cuò)誤的。正解應(yīng)是：原式 = x2+8x 9=(x1)(x+9)六)數(shù)字因數(shù)在前，字母因數(shù)在后；例 6 因式分解 3x3 18x2 27x解：3x3 18x227x=3x(x2-

5、6x+9)=3x(x-3)2這里的“數(shù)字因數(shù)在前，字母因數(shù)22 在后”，指分解因式中不能寫(xiě)成 3x3 18x2 27 x =x3(x 2-6x+9)= x3(x-3) 2(七) 單項(xiàng)式在前，多項(xiàng)式在后；例 7 因式分解 x3 y xy3解： x3y xy 3 = xy(x 2-y2)=xy(x+y)(x -y) 這里的“單項(xiàng)式在前， 多項(xiàng)式在后”， 指分解因式中不能把單項(xiàng)式寫(xiě)在后面，即不能寫(xiě)成 x3y xy3= (x2-y2) xy = (x+y)(x -y) xy(八) 相同因式寫(xiě)成冪的形式；42 3例 8 因式分解 x4y-x 2y342 3解： x y-x y =x2y(x2-y2)=x

6、2y(x+y)(x -y) 這里的“相同因式寫(xiě)成冪的形式”， 指分解因式中不能相同的因式寫(xiě)成乘的形式， 而應(yīng)該寫(xiě)成冪的形式， 即不能寫(xiě)成 4 2 3 2 2 2xy-x y = x 2y(x 2-y2)= xxy(x+y)(x -y)；、課本未拓展的五個(gè)的方法以下五個(gè)方法是因式分解中比較難的一些， 需要大家熟練掌握因式分解基 本方法： (1)提公因式；( 2)公式法： 平方差公式， 完全平方公式及常用公式； (3)十字相乘。只有熟練掌握了以上三種方法，你才能更好的理解這五種拓展 方法。（一）巧拆項(xiàng)：在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，若將多項(xiàng)式的某一項(xiàng)（或 幾項(xiàng)）適當(dāng)拆成幾項(xiàng)的代數(shù)和，再用基本方法分

7、解，會(huì)使問(wèn)題化難為易，迎刃 而解。例 1、 因式分解 a 2 b2 4a 2b 3 解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把 3 拆成 4+(-1 )，22 22 2 2則 a2b24a 2b 3= a2b24a 2b 4 1 (a 24a 4) (b22b 1)= (a 2)2 (b 1) 2 (a b 1)(a b 3)例 2、因式分解 x36 x211x6解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把6x2拆成2x24x2；把 11x 拆成 8x 3x則 x36x2 11x6=(x3 2x2)(4x28x)(3x6)= x2(x 2) 4x(x 2) 3( x 2) (x 2)(x2 4x 3) (x 1)(x 2)(x

8、 3)（二）巧添項(xiàng)：在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，若在所給多項(xiàng)式中加、減相同的項(xiàng)，再用基本方法分解，也可謂方法獨(dú)特，新穎別致。例 3、因式分解 x4 4 y4解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn),在x44 y4中添上4x2y2, 4x2y2兩項(xiàng)，則 x4 4y4 = (x4 4x2 y2 4y4) 4x2 y2 (x2 2y2 )2 (2xy)2=(x2 2xy 2y2)(x2 2xy 2y2)例 4、因式分解 x 3 3x 24解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，將3x2拆成 4x2 x2，再添上4x, 4x兩項(xiàng)，則x3 3x24= x3 4x2 4x x2 4x 4=x(x2 4x 4) (x2 4x 4) (x2

9、 4x 4)(x 1)2=(x 1)(x2)2（三）巧換元：在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，通過(guò)換元，可把形式復(fù)雜 的多項(xiàng)式變形為形式簡(jiǎn)單易于分解的多項(xiàng)式，會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，迅捷獲解。例 5 、因式分解 (x2 3x4)(x2x6) 24解析：(x23x4)(x2x 6)24=(x 1)(x4)(x2)(x3) 24=(x1)(x2)(x3)(x4) 24 (x2 x 2)(x2x12)24設(shè)yx2x2，則 x2x12y10于是，原式 =y(y10)24y210y 24(y4)(y6)(x2x224)(x2 x 2 6)=(x2x 6)(x2x 8)(x2)(x3)(x2 x8)例 6 、因式分

10、解 （xy 2xy)(xy2) (xy 1)2解析：設(shè)xym,xyn,則(xy 2xy)(xy 2)(xy1)2=(m 2n)(m2)(n 1)2=m22mn2 n2m2n 1(mn) 2 2(mn)1=(m n 1)2 (x y xy 1)2 (x 1)(1 y) 2 (x 1)2 (y 1)2（四）展開(kāi)巧組合：若一個(gè)多項(xiàng)式的某些項(xiàng)是積的形式， 直接分解比較困難， 則可采取展開(kāi)重組合，然后再用基本方法分解，可謂匠心獨(dú)具，使問(wèn)題巧妙得 解。例 7、因式分解 mn(x2 y2) xy(m2 n2 ) 解析：將多項(xiàng)式展開(kāi)再重新組合，分組分解2 2 2 2 2 2 2 2 mn(x y ) xy(m

11、 n ) =mnx mny xym xyn=(mnx 2 xym2) (mny2 xyn2) mx(nx my) ny(nx my) (nx my)(mx ny) 例 8、因式分解 (mx ny) 2 (nx my)2解析： (mx ny)2 (nx my)2 =m2x2 2mnxy n2 y2 n2x2 2mnxy m2 y2=(m2 n2)( x2 y2)(五) 巧用主元：對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式， 若無(wú)法直接分解， 常以其中一個(gè)字母為主元進(jìn)行變形整理，可使問(wèn)題柳暗花明，別有洞天。例 9、因式分解 x4 3x3 x2 y 2x2 2xy解析：將多項(xiàng)式以 y 為主元，進(jìn)行整理432 2 2 4 3 2x43x3x2 y2x22xy= (x22x)y (x43x32x2)= x(x 2) y x2 (x 2)(x 1) x(x 2)(x2 x y)例 10、因式分解 a 2b ab2 a2 c ac2 b 2c bc2 2abc解析：這