必修四正弦余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)題型分類總結(jié)

1、必修四正弦余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)題型分類總結(jié)知識(shí)框架，院、亶數(shù) 質(zhì)y sin xy cosx圖象i y3 工ll y,j14oT0A ； /4T定義域RR值域1,11,1最值當(dāng) x 2k - k時(shí)，ymax1 ;2當(dāng) x 2k - k時(shí)，ymin 1.2當(dāng) x 2k k時(shí)，ymax 1；當(dāng) x 2kk時(shí)，ymin 1 .周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在2k 2k - k 上是增函數(shù)； 2,2在2k2k 3 k 上是減函數(shù).2 k, 2 k22在2k ,2k k 上是增函數(shù)；在2k ,2 kk上是減函數(shù).對(duì)稱性對(duì)稱中心k ,0 k對(duì)稱軸x k k2對(duì)稱中心k ,0 k2對(duì)稱軸x k k題型一、考

2、查定義域和值域例1.求下列函數(shù)的定義域和值域.= Igsins；(2)y = 2dM>0 鬼.分析： 要使Igsinx有意義，必須且只須sinx >0,解之，得 2k 兀 <x<（2k+1）兀，kC Z.又.0< sinx < 1,- 0°< Igsinx <0.定義域?yàn)椋?k兀，（2k+1）兀）（k Z）,值域?yàn)椋?8, 0.要使2而亞有意義，必須且只須33宴>口，解之，得C 3xC , kE Z.叉此時(shí)0匯L故0 2、/co£3笈炙2.DkJT JT Dlr TT TT，定義域?yàn)槿? + 值域?yàn)?.3 O J 例2

3、求下列函數(shù)的最大值與最小值:加2-(l)y = 2 - sin(K - -) j(2)y = 2。§、+5sinx -4；(3討= 3g§ 展-4g函4 1, sc |n371K3 JI冗解（1）當(dāng)義-> =以兀+k，即冢=2kTT +=（k££）時(shí).兔門（義-h） 4244取最大值1,從而毗=1.7T7T兀兀當(dāng)月-次兀-,即X = 2k兀-(k Z)時(shí) an(z - 丁)取最小 4244值-L從前“例二曳(2)y=2cos 2x+5sinx-4=-2sin 2x+5sinx-2=玄麗沁。sinx C -1 , 1,兀_,當(dāng)sitiz: = -1?

4、 即'=一三十如元低z)時(shí)，了有最小值-g_ K_.當(dāng)sinM=L 即h = + 2k_Tr (k£ Z)時(shí)，y有最大值 1.J22(3)y = 3cos 4-cosx +1 = 3(cosx 一?)TT 77TI i, 8ssG-, T(借助單調(diào)性即將)12n從而當(dāng)coss = -即笈=-時(shí), ,&sJ15IMT 一4當(dāng)8陽(yáng)=；,即囂=7時(shí)，為出=-；(l)E(co£*i*例3已知函數(shù)¥=可磔的定義域是0,申，求下列函數(shù)的定義域.解依題意，有。利用單位圓（或三角函數(shù)圖象）解得7T2兀(定住n-+ -+ - ? kE Z2兀3兀 /亍，kir +(

5、k an n舅k九+，k北+ 丁Uk兀+ 一例4求下列函數(shù)的值域.2 sinx * cos3 x+ sinx解由好募力可得小功笠 ，cosx =1 -2y|cosx| < 1 二 cox2x< 1即 *從而3yL4y + l»00- 2y)' K 或 yAl故函數(shù)y= 8就，的值域?yàn)?-8, 1U1. +8) 2cosx+155sinxfl- sin3 s')1 11(2)y =2§后忒 1 - sin苗=-2(einK -)214- atix22.-1 /. -4qy£，函 孚及在的值域 1 l + sinv2例5.函數(shù)y ，2sin

6、 x1 Jcosx的定義域是 分析:0由題得2sin x 1cosx 02kx 2k所以66 ,k Z .2k x 2k + 22所以x 2k,2k 6所以函數(shù)的定義域是2k例6,設(shè)函數(shù)f (x)cos x ( 6。)，若 f (x)f 一 對(duì)任意白實(shí)數(shù)x都成立，則 4的最小值為()A. 193B. 223C,經(jīng)3D. 283分析:f (x) f - 對(duì)任意白實(shí)數(shù)x都成立，f(一)是函數(shù)的最大值,K 2一 6-4K 00rC 222Z ,其中最小的正數(shù)為 8 .33故選：B.例7.若函數(shù)f(x) 2sin( x-)(0)的最小正周期為，則當(dāng)x 0,萬(wàn)時(shí),f (x)的值域?yàn)榉治?因?yàn)?T &qu

7、ot; ，所以 2,則 f(x) 2sin(2x )； I I6又 x 0,-,所以(2x )2656 ,-6,則 f(x)max2sin22, f (x)min 2sin(-) 6所以f(x)的值域?yàn)?1,2.例8、 y3sin 2x的最小值為6分析:y 3sin3.當(dāng)2x 2k ,即x k ,k Z時(shí)有最小值623故答案為:3.題型二、比大小例1.比較下列各組數(shù)的大小.，(2) cos-, sin7-s 心JL 31-cos-4(3)sui(sin3 冗37Vg), sin(c<>s 分析化為同名函數(shù)，進(jìn)而利用增減性來(lái)比較函數(shù)值的大小.解 (1)sin194 0 =sin(18

8、0+14° )=-sin14 0cos160° =cos(180 0 -20 0 )=-cos20 ° =-sin70 0v0<14° <70° <90° ,sin14 0 <sin70° ,從而-sin14 0 >-sin70 0 ,即 sin194 0 >cos160° .1叮 1(2) an= cosl.47'",77-cos H = cosl.39,3-oos = cosl. J 2而y=cosx在0 ,兀上是減函數(shù)，故由 0< 1.39 <

9、 1.47 < 1.5 < 九可得cos1.5 <cos1.47 <cos1.39艮口匚05一<疝口 < -COS -.21。43HW3冗(35'/ cos- TT = sin ,OCcos - TTKIsiii-r-1OUoo而y = si璐在(Q, 1)內(nèi)遞增,3冗3JTsin (cs < sm(sin 71題型三、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù) y Asin( x )(A 0,0)則(1)函數(shù)的遞增區(qū)間由(2)函數(shù)的遞減區(qū)間由若函數(shù) y A sin(2k x22k x2x )中人 0,2k (k Z)決定；3.、2k (k Z)決定；0,可將函

10、數(shù)變?yōu)?y Asin(則 y A sin( (4)對(duì)于函數(shù)x)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間；y A cos( x)和y A tan( x)單調(diào)性的討論同上。 一兀 一例1.函數(shù)y sin 2x的單調(diào)遞減區(qū)間是()3n2支A. k n,k n,k Z63式5支B. 2k 71-,2 k n,k Z12125D k ,k k Z1212sin 2x 3, 汽，汽，rC. k 71 -, k ti , k Z63分析: . 兀 一函數(shù)y sin 2x3故要求函數(shù)y汽sin 一 32x的單調(diào)遞減區(qū)間,即求函數(shù)ysin 2x 的單調(diào)遞增區(qū)間.35令 2k 蒯2x2k ,k Z ,解得

11、 k 軟Jxk ,k Z ,2321212故函數(shù)y sin 2x 的單調(diào)遞增區(qū)間為k ,k - , k Z31212兀 .5 ,一即函數(shù)y sin 2x的單倜遞減區(qū)間為k, k, k Z31212例 2.已知函數(shù) f x sin故可得f x的最小正周期T x 2、3sinxcosx 3cos2x(1)求函數(shù)f x的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間(2)己知f3,且 0,，求的值.分析：f xsin2 x 2、.3sin xcosx 3cos2 x1 .3一 1 cos2x 、3sin2x 1 cos2x2 2、,3sin2x cos2x 22sin 2x -26(1)因?yàn)閒 x2sin 2x -2,6

12、令2k一 2x 一 2k 1, k Z ,262解得 x k , k , k Z. 36綜上所述：f x的最小正周期T，單調(diào)增區(qū)間為(2)因?yàn)閒 3,故可得2sin 22 3,6又因?yàn)?,，則 2故可得2a上的最小值和66解得 一.3例 3.已知函數(shù) f (x) 1 273sinxcosx 2sin2x,x R .(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若把f (x)向右平移個(gè)單位得到函數(shù) g(x),求g(x)在區(qū)間 一,0 62最大值.分析：(I) f x 1+2,3sinxcosx 2sin2x=3sin2x+cos2x =2sin(2x+),6由一+2k2x+- -+2k 得,262增區(qū)

13、間是： 一k ,一 k ,k Z ,36由+2k2x+-+2k 得262減區(qū)間是:(n)由(i)可得把f x向右平移一個(gè)單位得到函數(shù) g x ,J i 寓七 =Jr.w *AT.= fp) = 2sin(2(j： - -)+-) = 2sin(2.r -)因?yàn)閤 ,0 ,2霄, 7F3T* a所以 2jf - -1,ft 66in ( 2/一 -)-, h>,故g x所在區(qū)間一,0上的最大值為1,2最小值為 2.題型四、三角函數(shù)的對(duì)稱性(對(duì)稱中心以及對(duì)稱軸)關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論: 函數(shù)y sin x的對(duì)稱軸為x k (k Z),對(duì)稱中心(k ,0)( k Z);2(2)函數(shù)y

14、 cos x的對(duì)稱軸為x k (k Z),對(duì)稱中心 (k ,0)(k Z);2kk 一k -(k Z),得x=2(k Z);kZ),對(duì)稱中心為 (,b)(k Z);(3)函數(shù)ytan x無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心(一7，。)"Z); 函數(shù)y Asin( x ) b的對(duì)稱軸的求法：令 x ，一 k對(duì)稱中心的求法：令 x k (k Z)得x= (k函數(shù)y Acos( x)b的對(duì)稱軸的求法：令kx k (k Z),得x=(k Z);對(duì)稱中心的求法：令 xk -k 一(k Z)得x=2(k Z),對(duì)稱中心為 (22,b)(kZ);例1.已知函數(shù)f (x)cos 4x,則下列說(shuō)法正確的是(6A. f(

15、x)的最小正周期為B. f(x)的圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱6C. f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,(k Z)24 212D. f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)一,0中心對(duì)稱6分析：2f(x)的周期是T 一，A錯(cuò);42cos( ) 0不是最值)x不是對(duì)稱軸,B錯(cuò);由2k4x - 2k 得 k- 62724,k24k,24 2(k Z) , C錯(cuò);12由于f( 一) 0,因此(一,0)是f (x)的對(duì)稱中心，D正確. 66故選：D.變式1.已知函數(shù)y sin( x -)(0)的最小正周期為，則f(x)的圖象()3A.關(guān)于點(diǎn)(一,0)對(duì)稱 B.關(guān)于直線x 對(duì)稱34C.關(guān)于點(diǎn)(一,0)對(duì)稱 D .關(guān)于直線x 對(duì)稱 432

16、分析：w - 2,求對(duì)稱中心只需令 2x - k (k Z)I32x - k ,分別解出x求對(duì)稱軸只需令 32變式2.函數(shù)y sin(x )的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()433.一A. (,0) B - ( 1 ,0) C .(1 ,0) D (萬(wàn),0)變式3.函數(shù)f(x) sin" cosa的圖象中，相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是.55變式4.若函數(shù)y sin x 5/3cosx的圖象向右平移 門單位(a 0)后的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則 a的最小值是()A. 7-B . C . D .例5.函數(shù)y sin(2x )圖象的對(duì)稱軸方程可能是()3A. x - B.x C.x D.x 612612

17、題型五、函數(shù)周期性三角函數(shù)周期性的小結(jié)(1)函數(shù) y Asin( x ) b, yA cos( x)b, y A tan( x ) b的周期分別為)|,y |Atan( x )|的周期均為(2)函數(shù) y | Asin( x ) |, y | Acos( x)b |(b0)的周期均為(3)函數(shù) y | A sin( x ) b | (b 0), y | A cos( x例1.已知函數(shù)f (x) cos 4x,則下列說(shuō)法正確的是(A.f (x)的最小正周期為B.f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱6C.f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k(k Z)212D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)一,0中心對(duì)稱6分析:2f(x)的周

18、期是T 一，A錯(cuò);42f( 6)cos4 (-)-cos(2)0不是最值，x不是對(duì)稱軸，B錯(cuò);6由2k4x 2k6k得二2724k,k Z,不是224k _224一(k12Z), C錯(cuò);由于f() 6一,0)是f (x)的對(duì)稱中心，D正確.6變式1.函數(shù)ysin(2x -) cos(2x 5)的最小正周期和最大值分別為()A. ,1 B，& C . 2 ,1 D . 2 ,V2變式2.若f (x)sin x(sin x cosx),則f (x)的最小正周期是變式 3.若f(x) sin 3x |sin3x |則f (*)是()一， ，2 ，一，A.最小正周期為的周期函數(shù)3C.最小正周期

19、為2的周期函數(shù)B .最小正周期為土的周期函數(shù)3D .非周期函數(shù)題型六、奇偶性由y sinx是奇函數(shù)，y c0sx是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論: 若y Asin(x)是奇函數(shù)，則 k (k Z);若y Asin(x )是偶函數(shù)，則 k +-(k Z);若yAcos(x)是奇函數(shù)，則k -(kZ);(4)若yAcos(x)是偶函數(shù)，則k (k Z);k(5)右yAtan(x)是奇函數(shù)，則(k Z).例1、已知函數(shù)f x cos 2xA. 0B.22( 為常數(shù))為奇函數(shù)，那么 cos ()C.D. 1分析:因?yàn)楹瘮?shù)f x cos 2x(為常數(shù))為奇函數(shù)所以f 00,代入cos 0例

20、2.已知函數(shù)f (x)sin x 一A. f x是偶函數(shù)，最大值為 1B. f x是偶函數(shù)，最大值為 2C. f x是奇函數(shù)，最大值為 1D. f X是奇函數(shù)，最大值為 2例3.將函數(shù)f(x)()A.為奇函數(shù)，在0,-上單調(diào)遞減4B.為偶函數(shù)，在 -上單調(diào)遞增8 8C.周期為 ，圖象關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱8D.最大值為1,圖象關(guān)于直線x 一對(duì)稱2分析:g(x) cos 2(x -)cos2x,值域?yàn)?1,1 ,為偶函數(shù)，選項(xiàng) A排除；周期2_22x 2k ,k Z , k一x k ,k Z ,故單調(diào)增區(qū)間為 2分析：由題意，函數(shù) f(x) sin x 1 cosx 1,2則 f( x) cos( x)

21、 1 cosx 1 f(x),所以 f x 是偶函數(shù);又由y cosx的最大值為1, f x的最大值為2；故選：B.cos 2x 一的圖象向左平移 一個(gè)單位后得到函數(shù) g(x)的圖象，則g(x) 48(k ,k )(k Z),令 2k 2x 2k ,k Z , k x k ,k Z ,單調(diào)減 223區(qū)間為(k ,k)(k Z),函數(shù)g(x)在(,一)上無(wú)單調(diào)性，選項(xiàng) B排除；令28 8kk2x kl,k Z , x ,k Z ,所以對(duì)稱中心為(一,0),當(dāng)22424k 31 k,k 一，不符合，排除C選項(xiàng)；令2x k ,k Z, x ,k Z,當(dāng)24842k 1,x 是函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱軸

22、，選項(xiàng)D正確。2題型七、三角函數(shù)性質(zhì)綜合練習(xí)三角函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性)中，對(duì)稱性尤為重要；(1對(duì)稱f*奇偶性：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)是偶函數(shù)；若函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 f (x)是奇函數(shù)；對(duì)稱性周期性：相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為T;相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為T;22相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離為T;4(3)對(duì)稱性 單調(diào)性：在相鄰的對(duì)稱軸之間，函數(shù) f(x)單調(diào)；特殊的，若f(x) Asin( x), A 0,0函數(shù)f(x)在i, 2上單調(diào)，且0 i, 2設(shè) max| J, 2，則 T。4x例1.已知函數(shù)f x 3sin 3.2 6(1

23、)用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象;(2)指出f x的振幅、初相、并求出對(duì)稱中心分析:根據(jù)上表，畫圖如下:(2)由函數(shù)解析式，容易知振幅 A 3,初相 一6.x .一_由一一 k ，得x 2k k Z2 63即2k ,3 k Z為對(duì)稱中心3例2.已知函數(shù)f(x)sin(2x+ )(1)列表x§235兀T83113x2 602322y3630311 ,(1)試用“五點(diǎn)法”回出函數(shù) f (x)在區(qū)間一，的簡(jiǎn)圖;12 12(2)指出該函數(shù)的圖象可由y sin x(x R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?(3)若x l時(shí)，函數(shù)g(x) f(x) m的最小值為2,試求出函數(shù)g(x

24、)的最大值并 6 3指出x取何值時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值.分析:(1)先列表，再描點(diǎn)連線，可得簡(jiǎn)圖.x1221251281211122x 032622sin(2 x)01010y1311122222(2) y sin x向左平移一得到y(tǒng) sin(x ), 661再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原為的1變?yōu)閥 sin(2x ),2611取后再向上平移 一個(gè)單位得到 y sin(2x )一.262.1(3) g (x) f (x) m sin(2x -) m, 62Qx 6'3'2x 65"6,1 ,sin(2x -) g, 1，g(x) m, m, 2g (x) max

25、 一 m 一，當(dāng) 2x 一226即x 時(shí)g(x)最大，最大值為 一262例 3.已知 f x =2sin 2x 6(1)求函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱軸方程;(2)當(dāng)x 0,時(shí)，求f x的最大值與最小值.2分析:(1)因?yàn)閒 x_冗 ，冗- 冗冗2sin2x一，由一2k冗 2x62623/口兀.兀.一一求得一ku x kjkez,63可得函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，一 冗 冗. ._冗 k冗由 2x k /，k Z ,求得 x , ke Z.6232故f (x)的對(duì)稱軸方程為x冗k ,其中ke乙32，一、i, 一兀(2)因?yàn)? x ，所以2冗 5冗2x - ，故有661.八一 sin 2

26、x2一.，. 冗冗一. 一故當(dāng)2x 即x=0時(shí)，f (x)的最小值為-1,66、，,冗 冗冗當(dāng)2x 即x 時(shí)，f (x)的最大值為2.623例4.已知函數(shù)f(x)sin2 x . 3sin xcos x.444(1)求f(x)的最大值及此時(shí)x的值;(2)求 f(1) f (2) f (2019)的值.分析:(1) f(x)11.3 .cosx sin x2 22221 - sin x 一226可得當(dāng)sin x 一 = J即一x 2k時(shí)，f (x)取最大值,262624-3x 4k -(k z)時(shí)，f(x)max -32(2)函數(shù)的周期t 4,可得 f(1) - -, f(2)22,3f(4)f(4k 1) 1 , f(4k 2)22f(4k 4) 2,f(1) f(2)f (2019)f(0) f (1) f (2)f (2019) 505 2 1010例5.已知函數(shù)f(