第5章級數(shù)與廣義積分

1、第五章 級數(shù)與廣義積分§5.1 收斂性的討論一、基本概念與收斂的必要條件（1）設(shè)是數(shù)列,則為級數(shù)的前收斂,則稱此級數(shù)收斂,并稱極限值為級數(shù)的和.(2)設(shè)是定義在上的函數(shù),其中.若對任意,在上可積,且極限存在,則稱積分收斂,或在上廣義可積,且記.當(dāng)且在點附近無界時,稱為或瑕點時,稱為時廣義積分的收斂性.設(shè)是定義在上的函數(shù),其中,定義,其中.若與都收斂時,稱積分收斂,易證上述定義與的選擇無關(guān).2.級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂,則.但是由廣義積分收斂,不能推出.例1 存在上廣義可積的正值連續(xù)函數(shù),使得.解 定義函數(shù)如下:當(dāng)時,;當(dāng)時, ;當(dāng)時,.其中取遍任意自然數(shù)函數(shù).的圖像如圖所示再令,

2、則在上連續(xù)恒正,且是收斂的,但是.例2設(shè)在上一致連續(xù)且收斂,證明.證明 由于在上一致連續(xù),當(dāng)且時, 有.由于收斂,存在,當(dāng)時, .由于.所以.即.這證明了.例3設(shè)在上單調(diào)遞減非負(fù)且收斂,證明.證明 由于收斂, 存在,當(dāng)時, .又在上單調(diào)遞減非負(fù),從而.故有.因此當(dāng)時,所以.例4設(shè)在上可微, 可積,且當(dāng)時, 收斂,試證收斂.證明 首先非負(fù).否則,若存在使得,則時恒有,從而發(fā)散,而這與已知條件矛盾.其次由,且收斂可知,收斂與否取決于是否存在. 由例3證明過程可知.例5設(shè)在上有連續(xù)可微函數(shù),積分和.證明 要證,有極限,由歸結(jié)原則,只要證恒有收斂.事實上,由收斂,由Cauchy收斂準(zhǔn)則, , 存在,當(dāng)

3、時, 恒有.于是,存在,當(dāng)時,有,從而.所以.若,由局部保號性,存在,當(dāng)時有.從而時這與也不可能,故.二、收斂的充分條件 設(shè)與都是正項級數(shù),且存在,當(dāng)時, .(1)若收斂,則收斂;(2)若發(fā)散,則發(fā)散.推論 設(shè)與都是正項級數(shù),且存在,當(dāng)時, .(1)若收斂,則收斂;(2)若發(fā)散,則發(fā)散.對廣義積分有類似的比較原則.例6設(shè)是單調(diào)遞增的正數(shù)列,證明(1) 當(dāng)有界時,收斂;(2) 當(dāng)無界時,發(fā)散.證明 (1)由條件知存在,設(shè).因為,由比較原則級數(shù)收斂.(2) 當(dāng)無界時,有.由于,對固定的,取充分大的使得,則有.由Cauchy收斂準(zhǔn)則,級數(shù)發(fā)散.練習(xí) 設(shè)在上連續(xù),對任意有.另外.試證若,則收斂.證明

4、因故, 存在,當(dāng)時有,即,所以(當(dāng)時).因,故取,于是,所以收斂.由比較判別法收斂.2.比式判別法 設(shè)是正項級數(shù),若極限存在，則(1)當(dāng)時級數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時級數(shù)發(fā)散.練習(xí)1試證如下級數(shù)收斂(1);(2).提示 (1)令，(其中),易證.(歸結(jié)原則).練習(xí)2設(shè)在的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明級數(shù)絕對收斂證明1 由得,.又.由歸結(jié)原則, ,故,而級數(shù)收斂,由比較判別法知絕對收斂證明2 由得,.在某鄰域內(nèi)的二階泰勒展式為,由連續(xù)知，有，從而有故絕對收斂例7（比式判別法的推廣）設(shè)是正項級數(shù),則(1) 當(dāng)時,級數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.證明 (1) 設(shè),存在使得.由上極限的性質(zhì),存在,當(dāng)時.

5、故有,由于等比級數(shù)收斂,由比較原則, 收斂,所以級數(shù)收斂.（2）設(shè),存在使得.由下極限的性質(zhì),存在,當(dāng)時, .因此,所以原級數(shù)是發(fā)散的.3.根式判別法 設(shè)是正項級數(shù),若極限存在，則(1)當(dāng)時級數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時級數(shù)發(fā)散.（根式判別法的推廣）設(shè)是正項級數(shù),則(1) 當(dāng)時,級數(shù)收斂;(2) 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.證明可仿照例7進(jìn)行.4.Raabe判別法(極限形式) 設(shè)是正項級數(shù)且極限存在.(1)若,則級數(shù)收斂;(2) 若,則級數(shù)發(fā)散.證明 取使得.存在,當(dāng)時, ,由此得.取滿足.由于,故當(dāng)充分大時,即.所以.因此由收斂與比較原則的推論可知收斂.(3) 當(dāng)充分大時,有,.由調(diào)和級數(shù)發(fā)散與比較原則的推論可

6、知發(fā)散.例8討論級數(shù)的斂散性.解 設(shè),由于 ,(此處利用已知極限),由Raabe判別法,當(dāng)時級數(shù)收斂;當(dāng)時級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時由Raabe判別法的證明過程知級數(shù)發(fā)散.推論 .例9討論級數(shù).解 設(shè).由于,由Raabe判別法,當(dāng)時級數(shù)收斂;當(dāng)時級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時級數(shù)為,因此級數(shù)是發(fā)散的.例10 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減非負(fù),證明級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)收斂.證明 設(shè),.當(dāng)時, .因此若級數(shù)收斂,則數(shù)列有界,從而數(shù)列有界,這推出級數(shù)時, .故由級數(shù)收斂可推出級數(shù)收斂.例11 設(shè),證明數(shù)列與級數(shù)同為收斂或發(fā)散.證明 令,則.所以收斂收斂時有,所以與同為收斂或發(fā)散,從而數(shù)列與級數(shù)同為收斂或發(fā)散注當(dāng)數(shù)列收斂時,稱無窮乘積收斂,其

7、極限值稱為無窮乘積的值.否則稱無窮乘積發(fā)散.例如發(fā)散而收斂.例12設(shè)且,證明級數(shù)與級數(shù)同為收斂或發(fā)散.證明 令,.則.所以級數(shù)與級數(shù)同為收斂或發(fā)散.例13 設(shè)正項級數(shù)是發(fā)散的,表示該級數(shù)的前（1）級數(shù)也是發(fā)散的;（2）級數(shù)收斂證明 (1) 由條件知單調(diào)遞增趨于.我們有固定,令,則.因此存在,當(dāng)時,有.所以當(dāng)時, .由Cauchy收斂準(zhǔn)則級數(shù)發(fā)散.（2），此級數(shù)部分和有界，故該級數(shù)收斂5. Leibniz判別法 設(shè)交錯級數(shù)(其中)滿足(1) 單調(diào)遞減;(2) ,則級數(shù)收斂.6. Abel判別法 設(shè) (1) 級數(shù)收斂;(2) 數(shù)列單調(diào)有界,則級數(shù)收斂.7. Dirichlet判別法 設(shè) (1) 級

8、數(shù)的部分和有界;(2) 數(shù)列單調(diào)遞減且,則級數(shù)收斂.對于廣義積分有相應(yīng)的Abel判別法與Dirichlet判別法,這里就不再復(fù)述了.例14設(shè)函數(shù)在上,且單調(diào)遞減,并對任意的,在上可積.試證明:與具有相同的斂散性.證明 因,且單調(diào)遞減,故單調(diào)遞減到0或到某個正數(shù)A.（1）當(dāng)單調(diào)遞減到0時,則由Dirichlet判別法知,=知,與具有相同的斂散性.（2）當(dāng)單調(diào)遞減到某個正數(shù)A時,則對無論多么大的數(shù),有.,故這兩個積分都發(fā)散.例15 討論級數(shù)的斂散性.解 （1）當(dāng)時,通項不收斂到0,此級數(shù)發(fā)散;（2） 當(dāng)時,而收斂,由比較原則知,原級數(shù)絕對收斂；（3） 當(dāng)時,收斂,單調(diào)有界,應(yīng)用Abel判別法知原級

9、數(shù)收斂.因為 ,故原級數(shù)條件收斂.例16設(shè),且極限存在且大于證明級數(shù)收斂.證明 由Leibniz判別法,只要證單調(diào)遞減趨于.由條件知,存在與,當(dāng)時, ,由此得.該不等式說明滿足.當(dāng)時,有,故存在,當(dāng)時,即.所以當(dāng)時,即.不妨設(shè)當(dāng).由此可得.例17討論級數(shù)的斂散性.解 設(shè),由例8知級數(shù)當(dāng)時收斂,當(dāng)時級數(shù)絕對收斂,此時有,故.由例16知當(dāng)時級數(shù)條件收斂.由收斂的必要條件知當(dāng)時, .因此當(dāng)時, .故級數(shù)發(fā)散.本題的結(jié)論可總結(jié)為:.例18證明級數(shù)是條件收斂的.證明 令,.則單調(diào)遞減趨于.又由三角恒等式,所以.由Dirichlet判別法知級數(shù)收斂.下面證明發(fā)散. .設(shè),顯然且使得.所以.由此可知級數(shù)發(fā)散

10、.例19討論級數(shù)的斂散性.解 當(dāng)時級數(shù)顯然收斂.當(dāng)時,令,.同例18可證單調(diào)遞減趨于.由Dirichlet判別法知級數(shù)收斂.用類似于例18的方法可證該級數(shù)是條件收斂的.例20 若收斂，收斂,則級數(shù)收斂.證明 令,則.利用Abel變換得到.由于.而單調(diào)有界,級數(shù)的收斂性即可知級數(shù)收斂.練習(xí)設(shè)收斂，證明：證明 記級數(shù) 的前n項和為，則，而，所以例21 設(shè),級數(shù)的和記為.證明.證明 顯然.另一方面, 令,則,.當(dāng)時, .因此,當(dāng)時,有.取則即.所以,. 因此.所以.例22討論級數(shù)的斂散性.解 令.由于,故.同理可證.因此是單調(diào)遞減趨于的.所以級數(shù)收斂,從而原級數(shù)收斂.是發(fā)散的,但加括號后的級數(shù)收斂.

11、我們有以下的定理.定理 將級數(shù)加括號,使得同一括號內(nèi)的項具有相同的符號.如果加括號后的級數(shù)收斂,則原級數(shù)也收斂,且兩個級數(shù)的和相等.證明 設(shè)加括號后的級數(shù)為.其中.設(shè)的部分和為,則.由條件知級數(shù)存在,記,則當(dāng)中的項全為正項時, ;則當(dāng)中的項全為負(fù)項時, .因此,即.例23討論廣義積分的斂散性.解 顯然該積分不是絕對收斂的.設(shè),則.由Leibniz判別法,級數(shù)是收斂的,而,所以積分是條件收斂的.例24將級數(shù)的項重新排列,使得按原有順序先排個正項與個負(fù)項,然后再排個正項與個負(fù)項,得.證明此級數(shù)收斂并求其和.證明 由,其中是Euler,則,其中.我們有;.將重排以后的級數(shù)的符號相同的相鄰的項加括號,

12、得.它的前項部分和為,其中.所以原級數(shù)是收斂的,其和為.特別地有§5.2 一致收斂性及其應(yīng)用一、基本概念與主要結(jié)果1. 一致收斂性的定義(1) 設(shè)與都在區(qū)間上有定義, ，當(dāng)時,有對一切成立則稱函數(shù)列在一致收斂于. (2) 設(shè)是函數(shù)項級數(shù),其中每一個在，.若函數(shù)列在上一致收斂于某函數(shù)，則稱在上一致收斂于(3) 設(shè)是含參量廣義積分,其中定義在.若當(dāng)時在上一致收斂于某函數(shù)則稱廣義積分在一致收斂于.2. 一致收斂性的判斷(1)（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）在上一致收斂，有(2) 若在上一致收斂于 （）推論 級數(shù)在上一致收斂的必要條件是：一致收斂于零(3) Wwierstrass判別法(魏爾斯特拉斯判

13、別法,判別法或優(yōu)級數(shù)判別法）若，對一切成立且正項級數(shù)收斂，則在上一致收斂(4) Dirichlet判別法 若1）級數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界；2），在上對是單調(diào)的；3）I 0（），則級數(shù)在一致收斂(5) Abel判別法 若1）級數(shù)在一致收斂；2）,在上對是單調(diào)的(即或)；3）在一致有界，即，則級數(shù)在一致收斂3 和函數(shù)的分析性質(zhì)定理1 若在處連續(xù)（），且在某領(lǐng)域一致收斂，則在處連續(xù)定理2 若在內(nèi)連續(xù)（），且在內(nèi)閉一致收斂，則在內(nèi)連續(xù)定理3（連續(xù)性） 若在一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù)，即即求和與求極限可以交換次序定理4（逐項求積）在定理14的條件下，有即求和與求積分可交換次序定

14、理5（逐項求導(dǎo)）若函數(shù)項級數(shù)滿足條件：（1）在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，；（2），在點收斂；（3）在一致收斂，則例1設(shè)在上正常可積，證明函數(shù)項在上一致收斂 證明（遞推方式放大） 由在上正?？煞e知在有界，即，使得，從而，一般地，若對有，則，從而有.由于級數(shù)收斂，由Weierstrass判別法, 在上一致收斂 練習(xí) 設(shè)在上正?？煞e，證明：函數(shù)序列在上一致收斂于零例2（函數(shù)列Dini定理）若(1) 在上連續(xù)，(2) 對任意,，(3) 且在上連續(xù)則函數(shù)列在上一致收斂于 證明（反證法）設(shè)在上不一致收斂于.由于遞增, ，使得 (1)由于是有界數(shù)列,由致密性定理，存在收斂子列,不妨設(shè)又由于,從而存在使得.由于在點連

15、續(xù)且,故存在使得當(dāng)時,有.當(dāng)時,由,得.這與(1)式矛盾.注 當(dāng)條件(2)改為”,”時結(jié)論仍然成立.（函數(shù)項Dini定理）設(shè)函數(shù)項級數(shù)的每項均在有限區(qū)間上連續(xù)，且收斂于連續(xù)函數(shù)若，級數(shù)為同號級數(shù)，則在上一致收斂于 證明（反證法）假設(shè)在上非一致收斂，則，使得，取，使；取，使，如此下去得一子列，使得， （1）由致密性定理，有界數(shù)列中存在收斂子列：由題設(shè)知是同號級數(shù)，因此關(guān)于單調(diào)遞減，所以由（1）得：當(dāng)時，由于連續(xù)，故當(dāng)時，這與在上收斂相矛盾，故一致收斂例3設(shè)(1) 對每一,是上的單調(diào)函數(shù)，(2) 且在上一致連續(xù)證明函數(shù)列在上一致收斂于 注 本題條件中不要求對任意,都是單調(diào)遞增的或都是單調(diào)遞減的.證

16、明 由于在上一致連續(xù),故,當(dāng)且時, 有. (1)將區(qū)間作等分,使得.設(shè)其分點為.由于,故存在,當(dāng)時, . (2)對于任意,存在使得.由于為上的單調(diào)函數(shù), 介于與.由不等式(1)與(2),.所以.故在上一致收斂于例4 證明級數(shù)在上收斂而非一致收斂證明 由Dirichlet判別法知對任意收斂.對任意,取.注意當(dāng)時,有.所以.由Cauchy收斂準(zhǔn)則, 在上非一致收斂注 可以證明在上一致收斂,其中,但在的任一鄰域內(nèi)非一致收斂分析 估計的麻煩在于每項因子有，否則很容易證明其發(fā)散因此，我們想：在的任一鄰域，當(dāng)從變化到時，能否大于某常數(shù)，若能則必非一致收斂事實上，當(dāng)時，因此，取，使，即只需，取即可證明 取，

17、有，由柯西收斂準(zhǔn)則知非一致收斂例5 設(shè)是單調(diào)遞減的正數(shù)列,且級數(shù)在.證明 由于在上一致收斂, ,存在,當(dāng)時, 對任意則.由于單調(diào)遞減,有所以.同理可證.因此.注 本題可推出在上不一致收斂.例6設(shè)在開區(qū)間內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).令證明對任意閉區(qū)間,函數(shù)列在上一致收斂于證明 取滿足由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即，當(dāng),且時，有由微分中值定理,存在使得.所以.存在,使得且,則當(dāng)時,從而.這證明了在上一致收斂于練習(xí)設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，對每一個自然數(shù)，定義函數(shù)：試證：在上一致收斂于證明 在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即，當(dāng)時，有取，則當(dāng)時，有，從而由上式和微分中值定理得，即在上一致收斂于例7 設(shè),.證明函數(shù)列在

18、上一致收斂于證明 由于,用數(shù)學(xué)歸納法可證對任意有, 由此推出對任意與成立,所以在上一致收斂于例8證明在上一致收斂 證明（最大值法） 記，則令得穩(wěn)定點，而，所以在上的最大值為，從而由收斂知在上一致收斂例9設(shè)是區(qū)間中全體有理數(shù),對任意定義,求定積分的值解 顯然在上是單調(diào)遞增有界函數(shù),因而是可積的.令則.由于且收斂,由Weierstrass判別法,級數(shù)在上一致收斂.由逐項積分定理, .例10 設(shè)是區(qū)間中全體有理數(shù)試討論函數(shù)在的連續(xù)性，其中是符號函數(shù)解 令.顯然有惟一的間斷點,且在上一致收斂于.對任意,令,則.由于中每一項在連續(xù),且該級數(shù)一致收斂,因此在在不連續(xù),所以在在任意無理點是連續(xù)的.注在上是可

19、積的,且.練習(xí) 設(shè)是區(qū)間的一個序列，且，試討論函數(shù)在的連續(xù)性，其中是符號函數(shù)解 10 ，而收斂，故一致收斂20 設(shè)為中任一點，則通項在連續(xù)，由定理（P17）知在連續(xù)30 設(shè)為中某點，不妨設(shè)為，則，上式右端第一項連續(xù)，第二項在處間斷，從而其和間斷，即在處間斷例11設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列,且在上一致收斂于，又滿足證明 分析證明 由一致收斂定義得：，有 （1）又連續(xù)，且一致收斂于，所以在也連續(xù)，進(jìn)而在處連續(xù).則對上述，當(dāng)時，有而，則對上述 當(dāng)時，有，從而當(dāng)時，有 （2）取，則當(dāng)時，（1）和（2）式均成立，故有，所以 例12設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列，且在上一致收斂于,又在上一致收斂于.證明 由于在上連續(xù)，且恒不

20、為,因此在上恒正.由連續(xù)函數(shù)的最值定理, 在上有正的最小值,故.由于在上一致收斂于 ,，當(dāng)時，有，所以,.又,.因此取，則當(dāng)時,對任意有，這證明了上一致收斂于.練習(xí) 設(shè)為上連續(xù)函數(shù)列，且I （1）證明：若在上無零點，則當(dāng)n充分大時，在上無零點，且有I證明 由函數(shù)列一致收斂的性質(zhì)知在上連續(xù)，又在上無零點，故由連續(xù)函數(shù)的零點定理知在上不變號，不妨設(shè)設(shè)m為其最小值，則由（1）得：對，當(dāng)時，有，由此得：當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，在無零點同時，我們有，由一致收斂的定義立得I.例13證明Riemann函數(shù)在連續(xù)但不一致連續(xù),且有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明 任取,存在滿足,則當(dāng),.由于級數(shù)收斂,所以在在上連續(xù),所以在,上

21、連續(xù)從而在點連續(xù).由的任意性,在上連續(xù).再證在上,.當(dāng)時, ,所以.若在上一致連續(xù),則在上不是一致連續(xù)的.記，由歸納法得： ，使得在區(qū)間上，有而 ，所以當(dāng)充分大時，有，由判別法知：對任意正整數(shù)，級數(shù)在上一致收斂，因此，由數(shù)學(xué)歸納法知在上存在任意階導(dǎo)數(shù)，從而在點存在任意階導(dǎo)數(shù)，由的任意性知在上存在任意階導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)例14 證明：(1) 在上不一致連續(xù);(2) .證明 (1)當(dāng)時, ;當(dāng)時, .所以該級數(shù)的和函數(shù)為由于,故在不連續(xù).因此(1)成立.(2)任取使得.當(dāng)時, ,由于級數(shù)收斂,所以在.所以.另一方面,由于,所以與分別作為以為自變量的函數(shù)項級數(shù)在,.在(1)式中令,得.例15 求證.證明 由于,令,.則當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,故在有界,即,而.因級數(shù)收斂,所以級數(shù)絕對一致收斂.所以例16 設(shè)，求。解 =,令u=，則+ +.所以，.故=0.例17 設(shè)，且在上有界可積又，當(dāng)時，I0于，試證分析 已知，則因此只需證明：由于，有在上I0，對上述，有再由的有界性假設(shè)可得：，于是當(dāng)時，故命題為真例18設(shè)f是區(qū)間0，+)上的連續(xù)函數(shù)，含參量非正常積分，當(dāng)= 時收斂，證明在上關(guān)于一致收斂。證明 將反常積分寫成=。 對于，因為收斂從而關(guān)于在上一致收斂， 是的單調(diào)函數(shù)，且，即在在上關(guān)于一致有界，由Abel判別法，可知關(guān)于在上一致收斂。 對于，因為收斂從而關(guān)于在上一致收斂，是的單