礦大機(jī)械振動 第3章 單自由度系統(tǒng)的受迫振動

1、 聯(lián)系方式 引言前幾節(jié)討論了在外界初始干擾下依靠系統(tǒng)本身的 彈性恢復(fù)力維持的自由振動 本節(jié)討論系統(tǒng)由外界 彈性恢復(fù)力維持的自由振動。本節(jié)討論系統(tǒng)由外界 激振所引起的振動,稱為強(qiáng)迫振動。外界激振所引起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為響應(yīng) 對于不同的外界激 起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為響應(yīng)。對于不同的外界激 振,系統(tǒng)將具有不同的響應(yīng)。激振力包括:簡諧激振力非簡諧的周期激振力沖擊激振力隨機(jī)激振力,等等我們將重點(diǎn)討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng) 因?yàn)?我們將重點(diǎn)討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng),因?yàn)?這是最基本的,是研究其他響應(yīng)的基礎(chǔ)。最后要討 論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)。 2、運(yùn)動微分方程:、運(yùn)動微分方程

2、按牛頓第二定律:sin mx cx kx P t =+ r k kx cx 按達(dá)朗伯原理(動靜法:0sin 0mx cx kx P t += P=P0sin tm P (1 注 1:達(dá)朗伯原理:當(dāng)一個力學(xué)系 統(tǒng)運(yùn)動時(shí),它的任何位置都可以看 作是平衡位置 只要我們在原動力 0最后都得到:0sin mx cx kx P t += x作是平衡位置,只要我們在原動力 上再加上慣性力。這樣就可以把任 何動力學(xué)問題按相當(dāng)?shù)撵o力學(xué)問題 它比有阻尼自由振動微分方程多了右端激振力,是一個非齊次線 來處理。了右端激振力,是 個非齊次線性微分方程。它的解包含兩部分:關(guān) 由方程 的 齊次 21x x x += 注 2

3、:簡單說明一下各力方向,我們設(shè)位移 x 向下為正,取所有與 x 致的力 速度和加速度為正 則 (關(guān)于 x 2,由方程(1的非齊次 P 0sin t 可得特解,也是簡諧函數(shù), 其頻率與激振力一致 一致的力、速度和加速度為正。則 P =P 0sin t (為正,-kx (因彈 性恢復(fù)力與位移反向, (因阻尼力與速度反向 cx 其頻率與激振力一致。 尼力與速度反向, (因慣性力 與加速度反向mx 其中 齊次方程解1sin(ntdx Ae t=+其中 B 和 是特定常數(shù),可sin(2=tBx 非齊次方程(1之特解 注 3:為什么這里“ -” 只要系統(tǒng)有阻尼 振動位 以把 x2代回微分方程(1求出。只要

4、系統(tǒng)有阻尼,振動位 移肯定滯后于干擾力我們這里利用待定系數(shù)法求 B 、 。 注 4:非齊次方程(1的 特解一般用參數(shù)變換法求出, 但須積分 當(dāng)(但須積分。當(dāng)(1的右端 具有某些特殊形式時(shí),可直 接用代數(shù)方法求出 叫待定 2cos(x B t=接用代數(shù)方法求出,叫待定 系數(shù)法。22sin(x B t= x 的前一項(xiàng)代表有阻尼自由振動,隨時(shí)間 t的前 項(xiàng)代表有阻尼自由振動,隨時(shí)間 增加而衰 減至消失,稱為瞬態(tài)振動。而第二項(xiàng)則代表有阻尼強(qiáng) 迫穩(wěn)態(tài)振動。 在簡諧激振力下,它是簡諧振動,它與 激振力有相同頻率,其振幅 B ,相位差 只與系統(tǒng)本身 m k P 性質(zhì)(、 、 、激振力大小 (0 、頻率有關(guān)

5、( ,與 初始條件無關(guān)。初始條件只影響瞬態(tài)振動。x 1txx 2tt瞬態(tài)過程 穩(wěn)態(tài)過程2012/10/306 2-單自由度系統(tǒng)的自由振動 §25前面我們討論的振動問題都是把振動系統(tǒng)(彈簧、 阻尼 質(zhì)量系統(tǒng)固定在基礎(chǔ)上 激振力作用在質(zhì) 25 基礎(chǔ)振動 第二類振動問題阻尼、質(zhì)量系統(tǒng)固定在基礎(chǔ)上,激振力作用在質(zhì) 量上,而基礎(chǔ)是固定不動的,這類振動稱為第一類 振動問題振動問題。工程中,經(jīng)常遇到另一種情況,激振力不直接作 用在質(zhì)量上 而是由于基礎(chǔ)本身振動使與基礎(chǔ)相聯(lián) 用在質(zhì)量上,而是由于基礎(chǔ)本身振動使與基礎(chǔ)相聯(lián) 的彈簧 阻尼 質(zhì)量系統(tǒng)發(fā)生振動,這類振動稱為 第二類振動問題第二類振動問題。例如,

6、裝在機(jī)器上的儀器,儀表等等,由于機(jī)器 振動 儀器 儀表發(fā)生第二類振動 另外 振動試 振動,儀器,儀表發(fā)生第二類振動。另外,振動試 驗(yàn)臺就是典型的作基礎(chǔ)振動的機(jī)械,在振動臺上做 試驗(yàn)的試件的振動就屬于第二類振動試驗(yàn)的試件的振動就屬于第二類振動。 式中式中:E 線圈感應(yīng)電動勢(伏B 空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度(高斯L L 線圈的繞線長度(米V 相對運(yùn)動速度(米 /秒這種拾振器轉(zhuǎn)換的電壓信號 E 與物體振動速度成正 比 又稱為速度型拾振器 若增設(shè)積分電路則可測 比,又稱為速度型拾振器。若增設(shè)積分電路則可測 位移,微分電路可測加速度。按預(yù)先標(biāo)定可直接讀 出位移 速度 加速度之?dāng)?shù)值出位移、速度、加速度之?dāng)?shù)值。

7、3.3系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)(任意干擾力 1、系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)(任意干擾力圖示彈簧、阻尼、質(zhì)量系統(tǒng),受任意激振力 F (t作用。 現(xiàn)在問題是求 t 瞬時(shí)質(zhì)量 m 的位移 x (t 。取流動坐標(biāo) 0 t ,r k那么在 瞬時(shí) m 的振動微分方程是:(1(Fkxx rxm =+我們用杜哈梅積分(FF(Duhamel 求方程(1的解。d0t t2012/10/30362-單自由度系統(tǒng)的自由振動 避免與利用共振共振時(shí)系統(tǒng)的振動特別強(qiáng)烈,動應(yīng)力很大,對 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及儀表使用造成威脅 因此 在結(jié)構(gòu)設(shè) 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及儀表使用造成威脅。因此,在結(jié)構(gòu)設(shè) 計(jì)中,避免發(fā)生共振是很重要的問題。如 螺旋 就 個 個 例

8、如直升飛機(jī)的螺旋槳就是一個振源,而整個 飛機(jī)通過起落架與地面接觸,這有一定的固有頻 率,如果兩者頻率相等,就會在直升飛機(jī)著陸的 一瞬間發(fā)生地面共振,可能在幾秒鐘內(nèi)造成機(jī)毀 人亡的嚴(yán)重后果,其速度之快使飛行員來不及或 無法采取措施。因此,不但在飛機(jī)設(shè)計(jì)過程中要 盡量避免,而且在造出這樣的飛機(jī)后還須作地面 試驗(yàn)以檢驗(yàn)是否滿足要求。 防止共振總的來說有兩方面:防止共振總的來說有兩方面a 、 消除振源。 例如做動平衡試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)有慣性力偶 作用時(shí)用加配重方法調(diào)整作用時(shí)用加配重方法調(diào)整。b 、 若振源無法完全消除,則要使激振力頻率與系統(tǒng) 固有頻率之比 遠(yuǎn)離共振區(qū)范圍工作。 這又分為兩種情況:若 已定,則要調(diào)整設(shè)計(jì)使 n遠(yuǎn)離 ;若 n 已定,則設(shè)法使 遠(yuǎn)離 n。這里要說明一點(diǎn),若一系統(tǒng)須穩(wěn)定在 =1以右較遠(yuǎn)處 工作時(shí) 這樣就必須越過共振區(qū)。從實(shí)踐和理論上都表 工作時(shí),這樣就