礦大機械振動 第3章 單自由度系統(tǒng)的受迫振動

1、 聯(lián)系方式 引言前幾節(jié)討論了在外界初始干擾下依靠系統(tǒng)本身的 彈性恢復力維持的自由振動 本節(jié)討論系統(tǒng)由外界 彈性恢復力維持的自由振動。本節(jié)討論系統(tǒng)由外界 激振所引起的振動,稱為強迫振動。外界激振所引起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為響應(yīng) 對于不同的外界激 起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為響應(yīng)。對于不同的外界激 振,系統(tǒng)將具有不同的響應(yīng)。激振力包括:簡諧激振力非簡諧的周期激振力沖擊激振力隨機激振力,等等我們將重點討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng) 因為 我們將重點討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng),因為 這是最基本的,是研究其他響應(yīng)的基礎(chǔ)。最后要討 論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)。 2、運動微分方程:、運動微分方程

2、按牛頓第二定律:sin mx cx kx P t =+ r k kx cx 按達朗伯原理(動靜法:0sin 0mx cx kx P t += P=P0sin tm P (1 注 1:達朗伯原理:當一個力學系 統(tǒng)運動時,它的任何位置都可以看 作是平衡位置 只要我們在原動力 0最后都得到:0sin mx cx kx P t += x作是平衡位置,只要我們在原動力 上再加上慣性力。這樣就可以把任 何動力學問題按相當?shù)撵o力學問題 它比有阻尼自由振動微分方程多了右端激振力,是一個非齊次線 來處理。了右端激振力,是 個非齊次線性微分方程。它的解包含兩部分:關(guān) 由方程 的 齊次 21x x x += 注 2

3、:簡單說明一下各力方向,我們設(shè)位移 x 向下為正,取所有與 x 致的力 速度和加速度為正 則 (關(guān)于 x 2,由方程(1的非齊次 P 0sin t 可得特解,也是簡諧函數(shù), 其頻率與激振力一致 一致的力、速度和加速度為正。則 P =P 0sin t (為正,-kx (因彈 性恢復力與位移反向, (因阻尼力與速度反向 cx 其頻率與激振力一致。 尼力與速度反向, (因慣性力 與加速度反向mx 其中 齊次方程解1sin(ntdx Ae t=+其中 B 和 是特定常數(shù),可sin(2=tBx 非齊次方程(1之特解 注 3:為什么這里“ -” 只要系統(tǒng)有阻尼 振動位 以把 x2代回微分方程(1求出。只要

4、系統(tǒng)有阻尼,振動位 移肯定滯后于干擾力我們這里利用待定系數(shù)法求 B 、 。 注 4:非齊次方程(1的 特解一般用參數(shù)變換法求出, 但須積分 當(但須積分。當(1的右端 具有某些特殊形式時,可直 接用代數(shù)方法求出 叫待定 2cos(x B t=接用代數(shù)方法求出,叫待定 系數(shù)法。22sin(x B t= x 的前一項代表有阻尼自由振動,隨時間 t的前 項代表有阻尼自由振動,隨時間 增加而衰 減至消失,稱為瞬態(tài)振動。而第二項則代表有阻尼強 迫穩(wěn)態(tài)振動。 在簡諧激振力下,它是簡諧振動,它與 激振力有相同頻率,其振幅 B ,相位差 只與系統(tǒng)本身 m k P 性質(zhì)(、 、 、激振力大小 (0 、頻率有關(guān)

5、( ,與 初始條件無關(guān)。初始條件只影響瞬態(tài)振動。x 1txx 2tt瞬態(tài)過程 穩(wěn)態(tài)過程2012/10/306 2-單自由度系統(tǒng)的自由振動 §25前面我們討論的振動問題都是把振動系統(tǒng)(彈簧、 阻尼 質(zhì)量系統(tǒng)固定在基礎(chǔ)上 激振力作用在質(zhì) 25 基礎(chǔ)振動 第二類振動問題阻尼、質(zhì)量系統(tǒng)固定在基礎(chǔ)上,激振力作用在質(zhì) 量上,而基礎(chǔ)是固定不動的,這類振動稱為第一類 振動問題振動問題。工程中,經(jīng)常遇到另一種情況,激振力不直接作 用在質(zhì)量上 而是由于基礎(chǔ)本身振動使與基礎(chǔ)相聯(lián) 用在質(zhì)量上,而是由于基礎(chǔ)本身振動使與基礎(chǔ)相聯(lián) 的彈簧 阻尼 質(zhì)量系統(tǒng)發(fā)生振動,這類振動稱為 第二類振動問題第二類振動問題。例如,

6、裝在機器上的儀器,儀表等等,由于機器 振動 儀器 儀表發(fā)生第二類振動 另外 振動試 振動,儀器,儀表發(fā)生第二類振動。另外,振動試 驗臺就是典型的作基礎(chǔ)振動的機械,在振動臺上做 試驗的試件的振動就屬于第二類振動試驗的試件的振動就屬于第二類振動。 式中式中:E 線圈感應(yīng)電動勢(伏B 空氣中的磁感應(yīng)強度(高斯L L 線圈的繞線長度(米V 相對運動速度(米 /秒這種拾振器轉(zhuǎn)換的電壓信號 E 與物體振動速度成正 比 又稱為速度型拾振器 若增設(shè)積分電路則可測 比,又稱為速度型拾振器。若增設(shè)積分電路則可測 位移,微分電路可測加速度。按預先標定可直接讀 出位移 速度 加速度之數(shù)值出位移、速度、加速度之數(shù)值。

7、3.3系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)(任意干擾力 1、系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)(任意干擾力圖示彈簧、阻尼、質(zhì)量系統(tǒng),受任意激振力 F (t作用。 現(xiàn)在問題是求 t 瞬時質(zhì)量 m 的位移 x (t 。取流動坐標 0 t ,r k那么在 瞬時 m 的振動微分方程是:(1(Fkxx rxm =+我們用杜哈梅積分(FF(Duhamel 求方程(1的解。d0t t2012/10/30362-單自由度系統(tǒng)的自由振動 避免與利用共振共振時系統(tǒng)的振動特別強烈,動應(yīng)力很大,對 結(jié)構(gòu)強度及儀表使用造成威脅 因此 在結(jié)構(gòu)設(shè) 結(jié)構(gòu)強度及儀表使用造成威脅。因此,在結(jié)構(gòu)設(shè) 計中,避免發(fā)生共振是很重要的問題。如 螺旋 就 個 個 例

8、如直升飛機的螺旋槳就是一個振源,而整個 飛機通過起落架與地面接觸,這有一定的固有頻 率,如果兩者頻率相等,就會在直升飛機著陸的 一瞬間發(fā)生地面共振,可能在幾秒鐘內(nèi)造成機毀 人亡的嚴重后果,其速度之快使飛行員來不及或 無法采取措施。因此,不但在飛機設(shè)計過程中要 盡量避免,而且在造出這樣的飛機后還須作地面 試驗以檢驗是否滿足要求。 防止共振總的來說有兩方面:防止共振總的來說有兩方面a 、 消除振源。 例如做動平衡試驗,發(fā)現(xiàn)有慣性力偶 作用時用加配重方法調(diào)整作用時用加配重方法調(diào)整。b 、 若振源無法完全消除,則要使激振力頻率與系統(tǒng) 固有頻率之比 遠離共振區(qū)范圍工作。 這又分為兩種情況:若 已定,則要調(diào)整設(shè)計使 n遠離 ;若 n 已定,則設(shè)法使 遠離 n。這里要說明一點,若一系統(tǒng)須穩(wěn)定在 =1以右較遠處 工作時 這樣就必須越過共振區(qū)。從實踐和理論上都表 工作時,這樣就