高考數(shù)學(xué)抽象函數(shù)題型匯編

1、抽象函數(shù)常見題型匯編抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本 文就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下：一、定義域問題（1） 已知,5）的定義域，求 力由幻的定義域，解法：若/的定義域?yàn)閍,則，自（叨中口工虱燈&匕：從中解得團(tuán)的取值范圍即為了國(guó)切的定義域。例題1：設(shè)函數(shù)，的定義域?yàn)?，1,則（1）函數(shù)（/）的定義域?yàn)? （2）函數(shù)/（J7 2）的定義域?yàn)?解析：（1）由已知有口三產(chǎn)工1|,解得,故/（S）的定義域?yàn)?L 1（2）由已知，得0MJF-2V1 ,解得4三I三9 ,故2）的定

2、義域?yàn)? 9（2） 已知，目:幻的定義域，求的定義域。解法：若力雙幻的定義域?yàn)榇薟濯，則由璃£ n三方確定30）的范圍即為的定義域。例題2：函數(shù)尸二/口以霽+1）的定義域?yàn)榭?則尸=/行的定義域?yàn)?。解析：由0MxM9 ,得l£x+ 1£1口，所以（3） 已知力團(tuán):幻的定義域，求,仇（0的定義域。解法：先由丁屋工"定義域求/W定義域，再由， 定義域求得 加定義域。例題3：函數(shù)川=/（工+ 1）定義域是-2, 3,則,=/（2月一 1）的定義域是解析：先求/W的定義域，: & + D的定義域是-2，3 , |a -2 <z<3:IWx+

3、l三4 ,即的定義域是一,4再求力區(qū)（工）的定義域，g-lW2x-1M4|,，0二工式|（2無-1）的定義域是0, |（4） 運(yùn)算型的抽象函數(shù)求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集。, I1例題4：函數(shù),0）的定義域是（0, 1,求g（幻=+6/（花-值）（-$ <1三的定義域。P五十4VI fa M 尤 V 1 一叮解析：由已知，有«，即，0 < A-J <1 1口七工工14。.函數(shù)的定義域由（-值,1 -/ni+0確定一丁匹".函數(shù)且（幻的定義域是（-g1+0a-a <1 +5=1一 口【鞏固1】

4、已知函數(shù)的定義域是1, 2,求f（x）的定義域。解析：/（一）的定義域是1, 2,是指,所以（一）中的小滿足從而函數(shù)f（x）的定義域是1,4【鞏固2】已知函數(shù)的定義域是-1, 2,求函數(shù)/口。*2(3-3)的定義域。解析：/(M)的定義域是T, 2,意思是凡被f作用的對(duì)象都在-1, 2中，由此可得-x) 尸nlMxM?所以函數(shù)G 一3的定義域是1,H241 .【鞏固3】f(x)定義域?yàn)?0, 1),則y= f(x+a) + f(x a)(|a區(qū)一)定義域是_。2.0 ： x a ： 1-a : x ： 1 - a解析：因?yàn)閤+a及x-a均相當(dāng)于f(x)中的x,所以« aaa0 ： x

5、 - a ： 1 a : x ： 1 a 11(1)當(dāng)2 Wa E0 時(shí)，則 x w(a, 1+a); (2)當(dāng) 0 < a W 5 時(shí)，則 x w (a, 1 -a)二、 解析式問題1.換元法：即用中間變量 表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x),這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。x 一 .一例題 5：已知 f () =2x+1，求 f(x).x 1xuu 2 - u2 - x斛析：設(shè)=u,貝 Ux=-1- f(u)=2+1= -1- f(x)=x 11 -u1 -u 1 -u1 -x2.湊合法：在已知f(g(x)=h(x)的條件下，把h(x)并湊成

6、以g(u)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f(x).此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。1 a 1例題 6：已知 f(x+) =x3 + 二，求 f(x) x x11c 111c解析： f(x+_) =(x+_)(x2 7 +=)= (x+_)(x+_)23)xx xxx-11.23又| x+ 1=| x | 十>1, f(x)=x(x 3) = x 3x, (| x | > 1) x |x|3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。2.例題 7:已知 f (x) 一次頭函數(shù)，且 f (x+1)+ f (x 1) = x +2x+4，求 f

7、(x).解析：設(shè) f (x) =ax2+bx + c ,則f (x 1) f (x -1)=a(x 1)2 b(x 1) c a(x -1)2 b(x-1) c2(a c) =422= 2ax +2bx+2(a+c) =x +2x+4 比較系數(shù)得_,1 .34 2a = 1=a= ,b=1,c = 一 222b =2f(x) =1x2 x 34.利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.例題8：已知y = f (x)為奇函數(shù)，當(dāng)X>0時(shí)，f(x)=lg(x+1)，求f(x)解析： f (x)為奇函數(shù)，f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求 x<0時(shí)的表達(dá)式。,- x&

8、gt;0,f (-x) =lg(x +1) = lg(1 -x),f(x)為奇函數(shù)，lg(1x) = f(x) = f(x)lg(1 x), x - 0. 當(dāng) x<0 時(shí) f (x) = lg(1 x)f (x) = W '-lg(1 -x),x <0例題9：f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且有 f(x) + g(x) =x -1,求 f(x), g(x).解析：, f(x)為偶函數(shù)，g(x)為前函數(shù)，f(-x)= f(x), g(-x) = -g(x),不妨用-x代換f (x) + g(x)=1x -1中的x ,1 f(-x)+g(-xxrispf(x)-g(x) =

9、1. .x顯見+即可消去g(x),求出函數(shù)f (x)=再代入求出g(x)=x -1x -15.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式例題10：設(shè)f (x)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f (x+1) = f (x) + f (y)+xy ,及f(1)=1，求 f (x)解析： f(x)的定義域?yàn)镹,取y=1,則有f (x+1)= f(x)+x + 1f (1)=1, ： f(2) = f(1)+2, f(3) = f(2)+3f(n) = f (n1) + n以上各式相加，有 f (n) =1+2+3+ n = n(n-1)f (x)=1x(x+1),xw N22【鞏固4

10、】 設(shè)函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，g(x) = f(x), h(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x + y=0對(duì)稱，則函數(shù)h(x) =1 一A. -f (x) B, -f(-x)C. -f (x) D, -f (-x)解析：要求y = h(x)的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求y = h(x)圖象上任一點(diǎn)P(x0, y0)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。點(diǎn)P(x0, y0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)(-y0, -x0)適合丫=1(乂)，即一x = g(一y°)。又 g(x) = f -*(x),，一 x0 =f (y°)= yO = f(-x°)= V。=-f (一x0),即 h(x) = f(

11、x),選 Bo【鞏固5】設(shè)對(duì)滿足冗¥ 口，兀.1的所有實(shí)數(shù)X,函數(shù)/(X)滿足T 1/M+K)=1+兀,求f(x)的解析式。XTT - 1T" - 1解析：在/a)+/()= 十齊中以代換其中x,得：汗X五x-1 齊再在(1)中以-代換X,得x-11 T 2/(-)+/()=-(可x-1X -1(!)一(2) +(可化簡(jiǎn)得：/二12x( x-1)評(píng)析：如果把X和分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是X解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè) 變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。三、求值問題這類抽象函數(shù)一般給出定義域，某些性質(zhì)及

12、運(yùn)算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問題具體化?；蚓o扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例題11:已知定義域?yàn)槌?的函數(shù)f(x),同時(shí)滿足下列條件：/=1, /(6) = g ；/(工)=/+/()，求f(3) , f(9)的值。解析：取工=2, y = 3,得了= /(2) + /(3)一，1 一 4因?yàn)?) = 1, 丁(6)=5，所以(可二-三又取 k = P=3,得，(9)=/(3) + /(3) = -|例題12： 定義在R上的函數(shù)f (x)滿足：f (

13、x) = f (4 x)且f (2 x) + f (x 2) = 0 , 求f (2000)的值。解析：由 f(2x) + f(x2)=0,以 t=x2代入，有 f(t)=f(t),二f (x)為奇函數(shù)且有f (0) = 0 又由f(x 4) = f4-(-x) = f (-x) = -f (x),. f (x 8) = -f(x 4) = f (x)f (x)是周期為8的周期函數(shù)， -f (2000) = f (0) = 0【鞏固6】已知f (x)的定義域?yàn)镽+,且f (x + y) = f (x) + f (y)對(duì)一切正實(shí)數(shù)x, y都成立，若f(8)=4,則f(2)=。解析：在條件f (x

14、+y) = f (x)+f (y)中，令x = y = 4 ,得f(8) = f(4) + f(4)=2f(4)=4,二 f(4) = 2又令 x =y =2 ,得 f (4) = f (2) + f (2) =2 ,二 f (2) = 1 f (1) =1997,求 f (2001)的值。【鞏固7】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足:f (x+2)1 f (x)=l+ f (x),解析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f(x)是周期函數(shù)，顯然f(x)#1,于是f (x 2)=1 f (x)1 -f(x)f (x 4)1 f(x 2)1 - f(x 2) 1 f(x)11 - f(x) _1

15、11f (x); _而一 1 - f(x)1所以f(x+8) = -'一=f(x),故f(x)是以8為周期的周期函數(shù), f (x 4)從而 f (2001)= f (8 250 1) = f (1)=1997四、值域問題例題13:設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,總成立，且存在工i羊 使得了(個(gè))工(河)，求函數(shù)”工)的值域。解析：令 K = y = 0 ,得 /(0) =/(0)2 ,即有/(0) = 0 或/(0)= 1。若/(0)=0,則/)=(1+0)二/(五)(0)二0,對(duì)任意無e尺均成立，這與存在實(shí)數(shù)G二打，使得應(yīng))手g)成立矛盾，故(O) w 0 ,必有(

16、。)二1。由于，0 + 丁)二(幻，0)對(duì)任意篩ywR均成立,因此，對(duì)任意 彳三尺，有/W =居吟=©)/($ = /(加之0下面來證明，對(duì)任意 ,設(shè)存在/ ER ,使得 /(%)=0 ,則 /(0) = f(x0-x0) =口)，(一湎)=Q這與上面已證的矛盾，因此，對(duì)任意xeR，(工)。所以. ：評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。【鞏固8】已知函數(shù)f (x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y有f (x + y) = f (x) + f (y),且當(dāng)x > 0時(shí)f (x) >0, f (-1) =-2,求 f (x)在-2,

17、1上的值域。解析：設(shè) x1 M x2 且 x1 , x2 W R ,則 x2 - x1A 0 ,由條件當(dāng) x>0時(shí)，f(x) >0，0 f(x2%)>0又 f(X2)= f(X2 x) +x = f(X2 Xi) + f (Xi) > f (Xi)f (x)為增函數(shù),令 y = -X,則 f (0) = f (X) + f (-X)又令 X = y =0，得 f (0) =0，, f (x) = f(X),故 f (x)為奇函數(shù)，二 f(1) =_f (1) =2, f (-2) =2f(-1) = Y二f(x)在2, 1上的值域?yàn)?, 2五、求參數(shù)范圍或解不等式這類參

18、數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉" f ”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的 作用。例題14:已知f(x)是定義在(1,1)上的偶函數(shù)，且在(0, 1)上為增函數(shù)，滿足f (a -2) - f (4 -a2) <0,試確定a的取值范圍。解析：: f(x)是偶函數(shù)，且在(0, 1)上是增函數(shù)，f (x)在(-1, 0)上是減函數(shù)，-1 ：a -2 ：1由2得 y'3 <a < J5。-1 ：4 -a ： 1(1)當(dāng) a =2 時(shí)，f (a2) = f (4a2)= f (0),不等式不成立。

19、(2)當(dāng) J3 <a <2時(shí)，M <a-2<0f (a -2) < f (4 -a2) = f (a2 -4) u1<a2-4<0= V3<a <2-2.、a - 2 > a - 4(3)當(dāng) 2 ca c J5 時(shí)，f(a -2):二 f(4-a2)=f (a2-4)已<0<a-2<1«0<a2-4<1= 2<a<75-2.,a 2 < a 4綜上所述，所求a的取值范圍是(V3, 2)U(2, J5)。例題 15：“乂)是定義在(-00, 1上的減函數(shù)，若 f (m2sinx)

20、 w f (m+1+cos2 x)對(duì)x乏R恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。2.八m sin x <3解析：$m 十 1 十cos2 x <322m -sin x 之 m+1 + cos x2對(duì)x RR恒成立um - sinx - 3m2 - sinx - m 1 cos2 x22 c m -3<sinx對(duì)x w R恒成立2 221 25m -m _1 _ sinx cos x = -(sin x -)-m2 -3 -1-1- 10 . _對(duì)x w R恒成立，25x/2 < m <為所求m m -1 之一2工4【鞏固9】已知函數(shù)f(x)是定義在(，1上的減函數(shù)，且對(duì)一

21、切實(shí)數(shù) x,不等式 f (k -sinx) > f (k2 -sin2 x)恒成立，求 k 的值 22k -sin x < 1解析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得k -sin x 三 k2 -sin2 x2 22k £1 十sin x (1)一 211 2k - k 十 一 之(sin x -)、42由題意知兩式對(duì)一切 xwR 恒成立匚2 2、,、k £(1 十 sin x)min =1, 211/ .1、29 二 k 一 -1k -k 4 -(sinx-2)max =4【鞏固10】已知函數(shù)f (x)對(duì)任意x, y w R有f (x) + f (y) =2+ f (

22、x+ y),當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2, f (3) =5,求不等式 f (a2 2a2) <3 的解集。解析：設(shè) Xi、x? W R 且 x1Mx2 則 x2 - x1A 01 2f (x2 - x1) > 2 ,即 f (x2 - x1) - 2 > 0f(X2) = f(X2-X1)X1= f(X2-X1)f(X1)-2f(X1),f (X2)f (X1)故f (x)為增函數(shù)，又 f (3) = f(2 1) = f(2) f (1) -2 =3f(1) -4=522二 f(1)=3,. f (a2 -2a -2) <3= f (1),即 a2 2a2&

23、lt;1,. 1 <a<3因此不等式f(a2 -2a -2) <3的解集為a|1<a<3。六、 單調(diào)性問題 例題16： 設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng) 天口時(shí)，(幻)1,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y, 有*或+y)=,求證：/母)在r上為增函數(shù)。證明：在/0+b)二/(力。0中取了 二)匚0,得/(。)=/(0)產(chǎn) 若(0) = 0 ,令工0,用=0 ,則/。)=0 ,與/(幻1矛盾所以(Q)#o,即有(0) 二 1當(dāng)天 口時(shí)，/W 10；當(dāng)冗口時(shí)，一兀0, 丁(一力 1 0而/。/(»=/=1,所以，。)二 又當(dāng)式=。時(shí)，/(0) = 1 o ,所以對(duì)任意芥三R

24、 ,恒有了。) 0設(shè)一 8工I <心<+oa , WJ心一工>0, 丁6 - 占):1=/I或1 + 0? -/)=/g/g- x。>八/),y-/w在r上為增函數(shù)例題17:已知偶函數(shù) “Y、在m +*、上是減函數(shù)，問在,. z上是增函是f(x)(0,十叼f(x)(-00, 0)減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。證明：如圖所示，易知f (x)在(3, 0)上是增函數(shù)，證明如下：任取 x1 ：x20= -x1-x20因?yàn)閒 (x)在(0, +8)上是減函數(shù)，所以f(x1) M f(x2)。又 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x1)= f(x1), f (x2)= f(x2),從而f(

25、Xi)<f(X2),故f(x)在(g, 0)上是增函數(shù)?！眷柟?1】如果奇函數(shù)f (x)在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)且有最小值為 5,那么f(x)在區(qū)間-7, -3上是A.增函數(shù)且最小值為 -5B.增函數(shù)且最大值為 -5C.減函數(shù)且最小值為 -5D.減函數(shù)且最大值為 -5解析：畫出滿足題意的示意圖1,易知選Bo7、 奇偶性問題例題18:已知函數(shù)/W(x 凡K工0)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù) 樸 句都有了51勺)=/(瓦)+(勺)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解析：取 = -1 向:1 得:=,所以/二。又取勺=出=-1得：二了 (-1),所以丁 LD = 0再取工I=七通=-1則/(一口=/(一1

26、)+/0),即/(一0 二/(乃因?yàn)?(X)為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。【鞏固12 若函數(shù)y= "乂)(”乂)=0)與y=-f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 求證：函數(shù)y= f(x)是偶函數(shù)。證明：設(shè)y = f (x)圖象上任意一點(diǎn)為 P ( x0, y0): y = f (x)與y = - f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二P(xo, yo)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(x0, 一 丫。)在丫 = 一 f(x)的圖象上，y。二 一f (xo)yo = f (xo)又 yo =f (xo),二 f (xo) = f (xo)即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意 x都有f (-x) = f (x),所以y = f (

27、x)是偶函數(shù)。8、 周期性問題幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)y = f (x )滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù) x (其中a為常數(shù))，1. f(x)=f(x+a ),則y=f(x )是以T = a為周期的周期函數(shù)；2. f (x+a )=-f (x ),則£僅)是以丁 =2a為周期的周期函數(shù)；13. f(x+a)=±,則f(x洲以T =2a為周期的周期函數(shù)；f x4. f (x+a尸f (x a),則f(x)是以T =2a為周期的周期函數(shù)；5. f(x+a) =1- f(x),則f(x)是以T =2a為周期的周期函數(shù).1 f(x)6 . f (x + a) = -1

28、 f(x)，則f (x )是以T = 4a為周期的周期函數(shù).1 f(x)7 . f(x+a) J f(x),則f(x)是以T =4a為周期的周期函數(shù). 1-f(x)8 . 函數(shù)y = f (x)滿足f (a +x) = f (a -x) ( a >。)，若f (x)為奇函數(shù)，則其周期為T =4a,若f(x)為偶函數(shù)，則其周期為 T=2a.9 .函數(shù)y = f (x) (xw R )的圖象關(guān)于直線x=a和x = b(a<b)都對(duì)稱，則函數(shù) f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)；10 .函數(shù)y = f (x) (xw R)的圖象關(guān)于兩點(diǎn) A( a, y0B(b,y0 )(a <

29、; b)都對(duì)稱，則函數(shù)f (x)是以2(b-a )為周期的周期函數(shù)；11 .函數(shù)y = f (x) (xw R )的圖象關(guān)于 A(a,y0)和直線x = b(a<b)都對(duì)稱，則函數(shù)f (x)是以4(b-a)為周期的周期函數(shù)；例題19：設(shè)f (x)定義在R上且對(duì)任意的x有f (x) = f (x + 1) - f (x+2),求證：f(x)是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。解析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出f(x+T) = f(x) (T為非零常數(shù))則f(x)為周期函數(shù)，且周期為 To證明： f (x) = f (x 1) - f (x

30、2)(1).f (x 1) = f (x 2) - f (x 3)(2)+(2)得 f(x)=-f(x+3)(3)由(3)得 f (x 3) =-f(x 6)(4)由(3)和(4)得 f (x) = f (x+6)。上式對(duì)任意xWR都成立，因此f(x)是周期函數(shù)，且周期為6。例題20：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R且對(duì)任意的x, y有f (x + y) +f (x y) =2f(x) -f (y),并存在正實(shí)數(shù) c, f(|) = 0。試問 f(x)是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說明理由。HT解析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：y = cosx滿足題設(shè)條件，且co

31、;=0,2猜測(cè)f(x)是以2c為周期的周期函數(shù)。ccccccf(x c)勺 f(x )- =2f(x =)f(=) =0222222.f (x c) = -f (x)f (x 2c) = -f (x c) = f (x)故f (x)是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期?！眷柟?3】 設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱。對(duì)任意一 1xi, x2 0,都有 f (x1+x?) = f (x1)f 誨)。證明 f(x)是周期函數(shù)。2證明：依題設(shè)y = f(x)關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，故f(x)= f(2x), xwR又由f(x)是偶函數(shù)知f(x) = f(x), xWR二 f(x)

32、 = f (2x), xWR,將上式中x以 x代換，得 f(x)=f(x + 2), x= R這表明f (x)是R上的周期函數(shù)，且 2是它的一個(gè)周期f(x)是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是 f(x)的圖象關(guān)于直線 x = 0對(duì)稱又f(x)的圖象關(guān)于x = 1對(duì)稱，可得f(x)是周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到思考一：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 x = a(a#0)對(duì)稱，證明f (x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期。證明：f(x)關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱: f (x) = f (2ax), x = R又由 f(x)是偶函數(shù)知 f(x) = f(x), x WR,. f

33、 (x)= f(2a x), xR將上式中x以x代換，得f (x) = f (2a+x), xWR二f(x)是R上的周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期思考二：設(shè)f(x)是定義在 R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a和x = b(a#b)對(duì)稱。證明f(x)是周期函數(shù)，且 2(ba)是它的一個(gè)周期。證明：: f (x)關(guān)于直線x=a和x =b對(duì)稱.f(x) = f (2a-x), x R, f(x) = f (2b-x), x R,. f (2a - x) = f (2b - x), x R將上式的x以x代換得f (2a+x) = f (2b+x), xwR二 fx+2(b-a) = f(x-2a) +2

34、b = f(x-2a)+2a = f(x), x R二f(x)是R上的周期函數(shù)，且2(b-a)是它的一個(gè)周期若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)” ，f(x)還是不是周期函數(shù)？我們得到思考三：設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 x = 1對(duì)稱。證明f(x)是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期。，證明：:£他)關(guān)于乂=1 對(duì)稱，二 f (x) = f (2x), xWR又由 f(x)是奇函數(shù)知 f(x) = f(x), xw R,二 f(2-x) = -f(-x), xw R將上式的x以x代換，得f(2+x) = f (x), xWRf(x 4) = f2 (x 2) = -

35、 f (x 2) = -f (x) = f(x), x R二f(x)是R上的周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期f(x)是奇函數(shù)的實(shí)質(zhì)是 f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0, 0)中心對(duì)稱，又f(x)的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，可得f(x)是周期函數(shù)，且 4是它的一個(gè)周期。由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到思考四：設(shè)f (x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M(a, 0)中心對(duì)稱，且其圖象關(guān)于直線x=b(b#a)對(duì)稱。證明f(x)是周期函數(shù)，且 4(ba)是它的一個(gè)周期。證明：f(x)關(guān)于點(diǎn) M(a, 0)對(duì)稱，f (2ax) = f(x), x= R; f(x)關(guān)于直線x=b對(duì)稱，f(x) = f(2b-x),

36、 x R,. f (2b-x) =-f (2a-x), x R將上式中的x以x代換，得f (2b x) = - f (2a x), x Rf x 4(b - a) = f2b (x 2b-4a) = f2a (x 2b -4a)=-f2b (x -2a) = f2a (x 2a) = f (x), x R二f(x)是R上的周期函數(shù)，且4(b-a)是它的一個(gè)周期由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在R上的函數(shù)f(x),其圖象若有兩條對(duì)稱軸或一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸，則f (x)是R上的周期函數(shù)。進(jìn)一步我們想到，定義在R上的函數(shù)f(x),其圖象如果有兩個(gè)對(duì)稱中心，那么f (x)是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到思

37、考五：設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) M(a, 0)和N(b, 0) (a#b)對(duì)稱。證明f(x)是周期函數(shù)，且 2(ba)是它的一個(gè)周期。證明：f(x)關(guān)于 M(a, 0), N(b, 0)對(duì)稱二 f (2a -x) = f (x), x WRf (2bx) = -f (x), xWR二 f (2a -x) = f (2b -x), x w R將上式中的-x以x代換，得f (2a x) = f (2b x), x Rfx +2(ba) = f2b + (x-2a) = f2a +(x2a) = f(x), x£ R二f(x)是周期函數(shù)，且2(b-a)是它的一個(gè)周期九、

38、對(duì)稱性問題(1)對(duì)稱性的概念及常見函數(shù)的對(duì)稱性1、對(duì)稱性的概念軸對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸。中心對(duì)稱：如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完 全重合，則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心。2、常見函數(shù)的對(duì)稱性(所有函數(shù)自變量可取有意義的所有值)常函數(shù)；一次函數(shù)；二次函數(shù)；反比例函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)：嘉函數(shù)： 正弦函數(shù)；正弦型函數(shù)y =Asin(eox+。)既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱；余弦函數(shù)；(11)正切函數(shù)：耐克函數(shù)；三次函數(shù)：顯然三次函數(shù)中的奇

39、函數(shù)是中心對(duì)稱，對(duì)稱中心是原點(diǎn)，而其他的三次函數(shù)是否具備對(duì)稱性得因題而異。(14)絕對(duì)值函數(shù)：這里主要說的是y = f (| x|)和y =| f (x) |兩類。前者顯然是偶函數(shù)，它會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱后者是把x軸下方的圖像對(duì)稱到x軸的上方，是否仍然具備對(duì)稱性，這也沒有一定的結(jié)論，例如 y =l ln x|就沒有對(duì)稱性，而 y =|sinx|卻仍然是軸對(duì)稱。Q5)形如y =axb(c0,ad #bc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x=-dcx dc(由分母為零確定)和直線y=,(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，對(duì)稱中心是點(diǎn)(-d，7)0cc c(2)抽像函數(shù)的對(duì)稱性1、函數(shù)y = f (x)圖像

40、本身的對(duì)稱性(自對(duì)稱問題)(1)軸對(duì)稱 y = f (x)的圖像關(guān)于直線 x = a 對(duì)稱 u f (a + x) = f (a - x) u f (x) = f (2a - x):二 f (-x) = f (2a x) f (a+x) = f (b-x) = y = f (x)的圖像關(guān)于直線 x = (a + x)+(b - x) = a + b 對(duì)稱.22特別地，函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f (x) = f (-x).(2)中心對(duì)稱 y = f (x)的 圖像關(guān) 于 點(diǎn)(a，b)對(duì)稱 u f (a + x) + f (a - x) = 2b uf(x) f(2a

41、-x) -2bu f (x) + f (2a+x) =2b f (a+x) + f (bx) = 2c u y = f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a*b ,c)對(duì)稱.2特別地，函數(shù)y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的充要條件是f (x) + f (x) = 0 .(3)對(duì)稱性與周期性之間的聯(lián)系若函數(shù)f(x)既關(guān)于直線x = a對(duì)稱，又關(guān)于直線 x =b對(duì)稱(a # b),則函數(shù)f(x)關(guān) 于無數(shù)條直線對(duì)稱，相鄰對(duì)稱軸的距離為b-a ；且函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，周期T =2b a ；特別地：若y = f(x)是偶函數(shù)，圖像又關(guān)于直線x = a對(duì)稱，則f(x)是周期為2 a的周 期函數(shù)；若函數(shù)

42、f(x)既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(a#b),則函數(shù)f(x)關(guān)于無 數(shù)個(gè)點(diǎn)對(duì)稱，相鄰對(duì)稱中心的距離為 b-a；且函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，周期T=2b-a； 若函數(shù)f(x)既關(guān)于直線x = a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(a * b),則函數(shù)f(x)關(guān)于 無數(shù)個(gè)點(diǎn)和直線對(duì)稱，相鄰對(duì)稱軸和中心的距離為b-a ,相鄰對(duì)稱軸或中心的距離為2 b-a|；且函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，周期T=4b-a。特別地：若y = f (x)是奇函數(shù)，圖像又關(guān)于直線 x = a對(duì)稱，則f(x)是周期為4 a的周 期函數(shù)。2、兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱性(互對(duì)稱問題)(1)函數(shù)y = f (a +x)與y =

43、f (a - x)圖像關(guān)于直線x = 0對(duì)稱。(2)函數(shù)y = f (x)與y = f (2a -x)圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱(3)函數(shù)y = f (x)與y = f (2a + x)圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱(4)函數(shù)y = f (a + x)與y = f (b - x)圖像關(guān)于直線(a+x) - (b - x) = 0對(duì)稱即直線b - aX = 2對(duì)稱(5)函數(shù)y = f(x)與y =f(x)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱。(6)函數(shù)y = f (X)與y = f (X)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。(7)函數(shù)y - f(x)與a-x = f(a - y)圖像關(guān)于直線x + y a成軸對(duì)稱。(8)函數(shù)y f(x)

44、與x-a = f(y+a)圖像關(guān)于直線x-y = a成軸對(duì)稱。 函數(shù)y = f (乂)與丫= f,(x)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱。(10)函數(shù)y = f (乂)與丫 = f,(x)的圖像關(guān)于直線y = -x對(duì)稱。(11)函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則 y= f華+ 乂)和y = f,(a + x)的圖像關(guān)于直線y =x+a對(duì)稱。(12)函數(shù)y = f(x)與y=2b f(2ax)的圖像關(guān)于點(diǎn) (a,b)成中心對(duì)稱。特別地，函數(shù)y = f (x)與y = f (x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。例題21： 函數(shù)尸=/W滿足/W+/(-j) = 2。02 ,求+，-工(2002 -力值。 解析：已知式即在對(duì)

45、稱關(guān)系式 /g +工)+(口一)二2匕中取。=口，b = 2002 ,所以函 數(shù)y的圖象關(guān)于點(diǎn)(0, 2002)對(duì)稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y =/TQ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2002, 0)對(duì)稱。所以一二：二：)一： '，一 將上式中的x用元-1Q0】代換，得了"*) +/-1(2002-/=0評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè) a、b均為常數(shù)，函數(shù)y - /3)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足/g + x) +/(i x) = 2s ,則函數(shù) 少二/Q)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, b)成中心對(duì)稱圖形。十、 綜合問題1)比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)

46、稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例題22:已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，x<0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，若x1 <0 ,x2 A 0,且 |x1|<|x2|,則 f (一x1), f (-x2)的大小關(guān)系是 。解析：1x1<0,x2A 0且 |x1|<|x2| ,0 <X1< x2 =x2cxi< 0又 x<0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，, f (x2)< f (xj; f(x)是偶函數(shù)，, f (_x1)= f(x1),故 f (-x1)> f (-x2)2)討論方程根的問題例題23： 已知

47、函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足f(1+x)= f (1-x),并且f(x) = 0有 三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和是 。分析：由f(1+x) = f(1-x)知直線x = 1是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸。又f(x) = 0有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知x1 =1必是方程的一個(gè)根，其余兩根x2, x3關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以 x2 十x3 =2 父1 =2 ,故 x1 +x2 +x3 =3。3)研究函數(shù)的圖象這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例題24： 若函數(shù)y = f (x+2)是偶函數(shù)，則y = f (x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱左移2個(gè)單位,，一一 一一入 右移2個(gè)單位解析：y = f(x)的圖象y=f(x+2)的圖象，而y = f (x + 2)是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是x=0,故y=