高中數(shù)學第二章平面向量2.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量自主訓練北師大版必修4課件

1、2.3 從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量自主廣場我夯基 我達標1.O 是平行四邊形ABCD 對角線的交點,下列各組向量:與;與;與;與.其中可作為這個平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的是( A.B.C.D.思路解析:平面內(nèi)任意不共線的兩個向量均能構成一組向量基底.通過畫圖可得AD 與不共線;=-,則,所以與共線;與不共線;=-,則,所以與共線.由平面向量基底的概念知可以構成平面內(nèi)所有向量的基底. 答案:B2.如圖2-3-8,矩形ABCD 中,若BC =5e 1,DC =3e 2,則OC 等于( 圖2-3-8A.21(5e 1+3e 2B.21(5e 1-3e 2C.21(3e 2+5e 11(5

2、e 2-3e 1 思路解析:用BC ,DC 表示OC ,再代入向量BC 和DC 的值即可.OC =21AC =21(-=21(+=21(+=21(5e 1+3e 2.答案:A思路解析:如圖2-3-9所示,由題意,知設MB 的中點為P ,連結DP 、PE ,得平行四邊形MDPE ,取向量,為一組基底,則有=2=2(+,=-2,=-2,則有+=0. 圖2-3-9答案:C4.(2006廣東高考卷,3如圖2-3-10所示,D 是ABC 的邊AB 上的中點,則向量為( 圖2-3-10A.-BC +21BAB.-BC -21BAC. BC -21BAD.BC +21BA 思路解析:用基向量,表示向量.=+

3、=-+21.答案:A5.(2006河北石家莊一模,理7在ABC 中,點D 在直線BC 上,且=4=r -s ,則s+t 等于( A.0 B.8D.3 思路解析:如圖2-3-11所示,由題意,得點D 在線段CB 的延長線上.=4,=34. 又=-,=34 (-= 34-34,r=s=34,s+t=38. 圖2-3-11答案:C6.在ABC 中,設=m ,=n ,D 、E 是邊BC 上的三等分點,則=_,=_.思路解析:由D 、E 是邊BC 上的三等分點,可得=31,=32,轉化為已知向量即可. 答案:32m +31n 31m +32n 我綜合 我發(fā)展7.如圖2-3-12,在平行四邊形ABCD 中

4、,點M 是AB 的中點,點N 在線段BD 上,且有BN=31BD ,求證:M ,N ,C 三點共線. 圖2-3-12思路分析:要證M ,N ,C 三點共線,只需證向量MN 與MC 共線即可. 證明:設AB =a ,BC =b (a ,b 不共線,則BD =BC +CD =BC -AB =b -a . N 是BD 的三等分點, =31=31b -31b . 而=MB +=21AB +=21a +31b -31a =61a +31b ,MC =MB +BC =21AB +BC =21a +b ,=31.又、有共同的起點M ,M,N,C 三點共線.8.用向量方法證明:梯形中位線平行于底且等于上、下兩

5、底和的一半.思路分析:用向量證明幾何問題,首先要用向量表示幾何元素,然后進行向量線性運算,最后作出運算結果的幾何意義解釋即可.證明:如圖2-3-13,已知梯形ABCD 中,E 、F 是兩腰、的中點,求證:,且|=21(|+|. 圖2-3-13證明:E、F 分別是AD 、BC 的中點, ED =-EA ,CF =-BF , EF =ED +DC +CF ,=+.EF =21(ED +EA +AB +BF =21(+AB . 又, 設=(R . =21(+=21(+=21+. EF DC .E、F 、D 、C 四點不共線, . 同理,可證EF AB , AB DC 且同向,|EF |=|21(DC

6、 +AB |=21|DC +AB |=21(|DC |+|AB |. |=21(|+|.9.在正六邊形ABCDEF 中,=a ,=b ,求,.思路分析:由平面幾何的知識可知,正六邊形的各邊長相等,相對的邊平行且相等,邊長與其外接圓的半徑也相等.應用平行向量及相等向量的知識、向量的加法運算,容易用a ,b 表示所求的向量. 解:如圖2-3-14,連結FC 交AD 于O ,連結OB ,由平面幾何知識得四邊形ABOF 、四邊形ABCO 均是平行四邊形. 圖2-3-14解法一:根據(jù)向量的平行四邊形法則有AO =AB +AF =a +b .在平行四邊形ABCO 中,AC =AO +AB =a +b +a

7、 =2a +b .由正六邊形知識知,AD =2AO =2a +2b . 又=+,且=-,AE =AD -AB =2a +2b -a =a +2b . 解法二:根據(jù)向量的平行四邊形法則有AO =AB +AF =a +b .AO =BC ,BC =a +b . 根據(jù)向量加法的三角形法則得AC =AB +BC ,AC =a +b +a =2a +b . 又=b ,=+=2a +b +b =2a +2b .=+=-=2a +2b -a =a +2b .10.設x 為未知向量,解方程31x+3a -152b =0. 思路分析:這是一個關于未知向量的向量方程,由于向量具有許多與數(shù)相同的運算性質(zhì),我們可以按

8、照解關于數(shù)的方法來解這個方程. 解:原方程可化為31x +(3a -152b =0, 31x =-(3a -152b .x =-9a +52b .11.如圖2-3-15,在平行四邊形PQRS 中,在PQ 、QR 、RS 、SP 上分別取點K 、L 、M 、N ,其中K 、N 分別為PQ ,PS 的中點,QL=31QR,SM=41SR ,設KM 與LN 交于A 點,PQ =q ,=s ,試用q ,s 表示. 圖2-3-15思路分析:由于+=,而=21PQ ,關鍵是求.又由于與共線,而可用q ,s 表示,這樣可以求得一個關于q ,s 的分解式(含參數(shù).同樣,利用PN ,NL 還可求得另一個PA 關

9、于q ,s 的分解式(也含參數(shù).由于PA 關于q ,s 的分解式的唯一性，就可得到含參數(shù)的兩個方程，解出參數(shù)值，問題得到解決. 解： KA 與 KM 共線， 存在實數(shù) 1，使 KA = 1 KM . KM = KQ + QR + RM ,K 為 PQ 的中點， 1 3 QR , RM =- PQ , QR = PS ， 3 4 1 3 1 KM = PQ + PS +(- PQ = - PQ + PS ， 2 4 4 1 即 KM = - q+s. 4 QL = KA =- l1 q+ 1s. 4 PA = PK + KA ,K 為 PQ 的中點， PA = 1 l1 1 l qq+ 1s，即 PA =（ - 1 q+ 1s. 2 2 4 4 同樣，設 NA = 2 NL ， NL = NS + SR + RL = 1 2 1 1 PS + PQ - PS = PQ - PS =q- s， 2 3 6 6 PA = PN + NA = PN + 2 NL = l 1 1 l 2 s+ q- 2 s=( - 2 s+ 2q. 2 2 6 6 PA 關于 q,s 的分解式是唯一的， 10 1 1 ì ì l1 = , l1 = - l