高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材(6)

1、高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材第六講 平面向量（2）例1：（1）點(diǎn)P 是ABC 的外心，且PA +PB =PC ，則角C 的大小為_(kāi) （2）在ABC 中，|BC |GA +|AC |GB +|AB |GC =0，其中G 為ABC 的重心，則ABC 的形狀是_（3）設(shè)ABC 的外心為O ，H 是它的垂心，求證：OH =OA +OB +OC（4）已知O 為ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|OA |2+|BC |2=|OB |2+|CA |2=|OC |2+|AB |2，求證：點(diǎn)O 是ABC 的垂心。（5）O 為ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則O 為ABC 的垂心的充要條件是： O A O B =O B O C

2、=O C O例2：已知向量|k a +b |a =(c o s，sin ，b =(cos，sin ，且a與b 之間有關(guān)系式 ：b ，其中k 0 （1）證明：(a +b (a -b ；（2）試用k 表示a |a -k b |例3：已知平面上的三個(gè)向量a , b , c 的模均為1，它們相互之間的夾角都是120 ， （1） 求證：(a -b c （2）若|ka +b +c |>1, (k R ，求k 的取值范圍。12例4： 已知向量a =-1 , b =(, ，存在實(shí)數(shù)k , t ，使得向量x =a +(t -3 b , y =-ka +tb ,2 k +t 2且x y ，（1）試將k 表示

3、為t 得函數(shù)k =f (t ；（2）求得最小值。ta 例5已知向量a =(cosx ,sin x , b =(sin2x ,1-cos2x , c =(0,1, x (0, （1）向量, b 是否共線？（2）求函數(shù)f (x =|b |-(a +b c 的最大值。例6：在Rt ABC 中，已知A =90 ， BC=a ，若長(zhǎng)為2a 的線段PQ 以點(diǎn)A 為中點(diǎn)，問(wèn)PQ 與BC 的夾角取何值時(shí)BP CQ 的值最大？并求出這個(gè)最大值.強(qiáng)化訓(xùn)練：1已知ABC 滿足AB =AB AC +BA BC +CA CB ，則ABC 的形狀是（ ）A 等邊三角形 B 銳角三角形 C 直角三角形 D 鈍角三角形2已知

4、, , 為非零的平面向量. 甲：a b =a c , 乙:b =c , 則甲是乙的 （ ）條件 A 充分條件但不是必要 B 必要條件但不是充分 C 充要條件 D 既非充分也非必要433已知平面上直線l 的方向向量e =(-, , 點(diǎn)O （0，0）和A （1，2）在l 上的射''影分別是O 和A ，則O A =e ，其中= （ ）''255A 115B -115C 2D 24已知e 1, e 2是夾角為45 的兩個(gè)單位向量，a =e 1+2e 2, b =2e 1-e 2, 則a , b 的夾角為_(kāi)5如果向量a 與b 的夾角為，那么我們稱a b 為向量a 與b 的

5、“向量積”，a b 是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度|a b |=|a |b |sin ，如果|a =|a b |=_3b , =|a 2b =, ，-則6對(duì)于n 個(gè)向量a 1, a 2, a 3, , n a ，, 若存在n 個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k 1, k 2, , k n ，使得成立，則稱向量k 1a 1+k 2a +k a =0a , a , a , , a 2n n 123n , 是“線性相關(guān)”的。按此規(guī)定，能說(shuō)明a 1=(1,0 , a 2=(1, -1 , a 3=(2,2“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k 1, k 2, k 3的一組取值為_(kāi)7設(shè)向量a =(cos23,cos 67, b =(cos53,c

6、os37, 則a b = _38已知向量m =(1,1 ，向量n 與m 的夾角為，且m n =-1，則n =_49在ABC 內(nèi)求一點(diǎn)P ，使AP 2+BP 2+CP 2的值最小。10已知a =(1,3 , b =(1,1 , c =a +b ，是否存在實(shí)數(shù)，使a 與c 的夾角為銳角？說(shuō)明你的理由。11 已知向量a =(cos ,sin ,b =(cos ,sin , |a -b |=5135（1）求cos (- 的值；（2）若0<<, -<<0, 且sin 22=-, 求sin 的值12 已知向量a =(2sinx ,cos x , b =x ,2cos x , 定義函

7、數(shù)f (x =a b -1. （1）求函數(shù)f (x 的最小正周期； （2）求函數(shù)f (x 的單調(diào)減區(qū)間； （3）畫(huà)出函數(shù)g (x =f (x , x -75, 的圖象，由圖象研究并寫(xiě)出g (x 1212的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.參考答案例1：（1）60 （2） 等邊三角形 （3） 如圖，聯(lián)結(jié)BO 并延長(zhǎng)交三角形外接圓于點(diǎn)D ，AHCD 為 DA CH AH DCOH =OA +AH =OA +DC =OA +OC -OD =OA +OC +OBD（4） 略 （5）略 例2：（1）|a |=|b |=1k 2+1（2）a b =4k例3：（2）k 2-2k >0k >2, k <07

8、t 3-3t k +t 217例4：（1）f (t = （2）=(t +2 2-，當(dāng)t =-2時(shí)取最小值-44t 44例5：（1）共線 ； （2）f (x =-2sin 2x +sin x ；f (x max =例6：04湖北高考題BP CQ =-a 2+a 2cos ，所以當(dāng)=0時(shí)，取最大值0 強(qiáng)化練習(xí)：1 C 2 B 3 D 4 (0,-1 或(-1,018 5 6 -4, 2,1 789設(shè)AB =a , AC =b , AP =x ，則2 2 2 2 2 2AP +BP +CP =|x |2+(x -a 2+(x -b 2=3x -2(a +b x +a +b1 2 21 =3x -(a +b 2+a +b -(a +b 233 所以當(dāng)x=1(a +b 3時(shí)取最小，易證此時(shí)點(diǎn)P 為三角形ABC 的重心。 10(-52,0 (0,+11（1）cos(- =3 （2）3356512 解：f (x =a b-1=x cos x +2cos 2x -1 s i n x 2+c x o s =22x 6