重要不等式匯總(例題答案)

1、其他不等式綜合問題例1:（第26屆美國數(shù)學(xué)奧題之一） 設(shè)a、b、cR+,求證：+33冬丄.（1）a3+b3+abc b3+c3+abc c3+a3+abc abc分析；最初，某刊物給出了一種通分去分母的較為復(fù)雜的證法，這里試從分析不等式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，導(dǎo)出該不等式的編擬過程，同時，揭示證明此類問題的真諦，并探索其推廣命題成功的可能性。思考方向：（1）的左邊較為復(fù)雜，而右邊較為簡單，所以，證明的思想應(yīng)該從左至右進(jìn)行，思考方法：（1）從左至右是一個由簡單到復(fù)雜的逐步放大過程，所以，一個簡單的想法就是將各 分母設(shè)法縮小，但考慮到各分母結(jié)構(gòu)的相似性，故只要對其中之一做恰倒好處的變形，并構(gòu)造出右邊 之需要即

2、便大功告成.實施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的不等式：x3+y3x2y+xy2=xy（x+y） （x、yR+）（*）1.1.1 1a：+a； + Eaan丄(a1+a2+anA)n1有了上式，推廣2便不難證明，略.很顯然，對于推廣2，若按（1）的最初的去分母去證明，當(dāng)然是行不通的，這也表明，解決數(shù) 學(xué)問題的關(guān)鍵一著就是要把握問題的實質(zhì)，不要被一些較復(fù)雜的表面現(xiàn)象所迷惑，要善于觀察，善于 分析，善于總結(jié)，善于概括，善于發(fā)現(xiàn)，善于利用，盡力從表象的東西里抽象概括出本質(zhì)性的實質(zhì)性 的規(guī)律，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要旨。2 2 2例2:設(shè)x、y、zR+, 求證： _x_+_匸_+_z_1(4)2*2 + 22

3、+ 22 +_1 知 （1）的左端 xyz(x+y+z)(*)1)時用到的(*)，這是一條有用的思維發(fā)展軌道。x +y +zxy+yz+zx易知-xy=xyz(x+y+z),這樣(*)得證，dR+,求證：送分析：注意到上面的（*）是（*）的發(fā)展，它的由來得益于證明（ 事實上，由高中數(shù)學(xué)課本上熟知的不等式4442 22222X +y +Zx y +y Z +Z Xxyyz+yzzx+zx從而（2）便可仿（1）不難證明，略，推廣2:設(shè)aiR+（i=1、2、3，n）,求證:有了前面的推廣1的證明，這里的推廣z1 -a:- （at +a2 + +an4）3a1a1 an4（a1 +a2 + +anj）

4、y十Z十yz Z十X十zx x十y十xy分析：這是一個并不復(fù)雜的分式不等式，但是若要通過去分母來證明，肯定會走彎路，甚至走到 死胡同。思考方向：（4）的左端較為復(fù)雜，而右邊較為簡單，所以，證明的思想應(yīng)該從從左至右的進(jìn)行。思考方法：（1）從左至右是一個逐步縮小的過程，所以，對于本題，一個簡單的想法就是將個分 母設(shè)法放大，但考慮到分母結(jié)構(gòu)的相似性，故只要對其中之一進(jìn)行恰倒好處的變形，并設(shè)法構(gòu)造出（4）的右邊即可大功告成。實施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的的不等式： 的成功放大，即有如下證明：2 22-x邁- 2x2，只要證明,(5)yzl(yz2)-3(y+z)y +z-22nan推廣1:設(shè)aiR+

5、,（I=1,2,3,，n）求證：送一-1.y 著ak聯(lián)想（4）的證明過程，知關(guān)鍵是對分母中的乘積項利用二元均值不等式進(jìn)行放大，然后運用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的證明也只要對每一個分式中分母乘積項逆用多元算術(shù)一一幾何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，詳細(xì)的證明略。2 2 2另外，如果一不小心，將（4）錯寫為如下形式： 中 中 1.（7）y2+yz+z2z2+zx+x2xxy2那么，雖然（7）與（4）相比，實質(zhì)性的東西并沒有發(fā)生改變，但就其結(jié)構(gòu)而言已經(jīng)發(fā)生了相當(dāng) 大的改變，即（7）的每一個分母中連續(xù)3項依次成等比數(shù)列，而（4）的分母中就不具備這樣的性質(zhì)， 繼而，（7）是

6、否從某一方面反映某一普遍意義下的一種特例呢？也就是（ 等比數(shù)列的角度去審視 （7）,就可以探索從改變分母的指數(shù)出發(fā)去聯(lián)想，的分母多項式為3項， 最高指數(shù)為2,分子與分母指數(shù)相同， 左邊為三個式子之和，當(dāng)分母中的多項式指數(shù)增高時，（7）應(yīng)該變成什么樣子，準(zhǔn)確點兒，當(dāng)指數(shù)為何？這就是推廣2:設(shè)xyzR+,求證： _xn二_ _y十+ynz+yn1z2z十+znx+zn七2Hxn+xn+xnK1y2+十yn分析：聯(lián)想與類比有時候是提出問題和解決問題的金鑰匙，相似問題的解決方法在很多場合往往都是十分相似的，在這一點上請同學(xué)們注意領(lǐng)會并掌握。思考方向與思考方法基本同于（4）,只是實施步驟中的不等式：2x

7、y w x2+y2（x、yR）的右邊的指數(shù)2改為n+1時，結(jié)論會變成什么相適應(yīng)的樣子？類似于（*）,由高中課本上知識知（當(dāng)然可從指數(shù)為3,4,5，去探索，這里就省去探索的過2 22xy w x +y （X、yR）,剛好是（4）中分母里xy2證明：s-d汪y +z +yz2x22 2 2送X7了M，這等價于y +z2）!= （y2+z2）（W J2 這由Cauchy不等式便知，從而（4）得證。（4）式刻畫了3個變量的情形，其特點是；左端每一個分式的分母是從 兩個的二次方與這兩個變量之積之和，而分子則是剩下一個變量的二次方?，F(xiàn)在，個數(shù)方面考慮，即再增加若干個變量，結(jié)論會怎樣？證法還靈嗎？經(jīng)過再三考

8、慮，給（5）的兩邊同時加(x2*2+Z2)(送J3,得到2.2y +z3個變量中取兩個，為我們?nèi)绻驹谧兞康玫?6)7）的一般情形是什么？站在 從而得到一個很好的結(jié)論，（7）1，試想， 相應(yīng)的結(jié)論如右邊為n+1時,程了，因為高中課本上已有指數(shù)為3、5時的結(jié)論）：n k k n”、,n+k n+k ., _、i, uM、x y +x y w x +y ,（x、yR+,n、kN+）(14)這是一個有意義的結(jié)論，于是xn+1+xny+xn-1y2+yn+1w(xn+yn+)，即Zn+嘉軋1+n；：n八電.(注意到(5)倒此，推廣2獲證。z +x x +y n + 2實際上，通過剛才對(6,，12或者

9、小于等于23任意多個變量。關(guān)于這點，請讀者參考有關(guān)資料。1 1設(shè)X、y(0,1),求證： +0u (x +y - 2xy)(1 - xy) 0(11)結(jié)合題目條件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命題獲證。這一證明看起來比較簡明，但是，真正實施起來也不是太簡單，請同學(xué)們仔細(xì)領(lǐng)悟。到這里本題的證明已經(jīng)結(jié)束， 但是，如果僅停留在這個層次上就得到的甚少，應(yīng)該及時進(jìn)行反思、總結(jié)、提煉，看看本題有無推廣演變的可能？即能否由此產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)命題？1觀察例3的結(jié)構(gòu)可以看出，(10)的左端可以看成是函數(shù)f(x)=冷在兩個變量X、y處的函數(shù)1 +x值的算術(shù)平均值，右邊是兩個變量X、y在其幾何平均值處的函數(shù)值f

10、(Jxy)，聯(lián)想到Jen sen不等式,可以很容易的將(10)推廣到多個變量時的情形，即n1n推廣1:Xi(0,1)(i=1、2、3，n),求證：- 1,y1時，不等號應(yīng)該反向，于是可得原命題的另一種演變 的推廣，即n1n推廣2: Xi( 1, +8),(i=1、2、3,，n),求證：送ih+xi1屯屯Xi繼續(xù)觀察(10),容易想到，當(dāng)變量個數(shù)再增加時會有怎樣的結(jié)論？即對于三個變量若X、y、z (0,1)，可得,丄,丄2 1+x1 +y 1+xy 2 1 + y 1 +z 1+yz 2 1 +z1 +x 1+zx1 1 1 1 1 11 +x 1 +y1 +z1 +xy 1 +yz 1 +zx

11、這樣我們又得到了一個新的命題。如此繼續(xù)，便得n車X十Jnn 1 2 :n : nn 2:n :2 :“ 2xn卡齊(ynJzn半7)的分析知道，(7)還有從變量個數(shù)方面的推廣，例如變量個數(shù)為4,5,的奇數(shù)(結(jié)論成立)時，結(jié)論的證明就比較復(fù)雜了，況且，也不能推廣到分析:進(jìn)行,1 12十x2+丙M丙(10)(12)(13)這三式相加得:(15)(0,1),(i=1、2、3，n),求證：21iVl-Xi21+人人十n1n1(1,+8),(i=1、2、3,，n),求證：送遼.(Xn+1=X1)(16)i土1 +Xii土1+XiXi卡的證明可仿照(14)的證明進(jìn)行，在此就略去其詳細(xì)的證明了。很多數(shù)學(xué)命題

12、都是在認(rèn)真分析已有命題的基礎(chǔ)上，命題進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)、提煉，得到描述問題的本質(zhì)，在原有問題及其求解思路的基礎(chǔ)上，運用 自己所掌握的數(shù)學(xué)知識通過思維的遷移加工就可得到一系列新的數(shù)學(xué)命題，這也是許多命題專家的研 究心得，更是解題者應(yīng)該多多注意的一個方面，也是我們輔導(dǎo)老師應(yīng)該向?qū)W生介紹的重要一環(huán)一一展 示知識發(fā)生、發(fā)展的全過程。研究某些不等式的推廣是十分有意義的工作，有事實表明，近多年來的高層次競賽就多次涉及到多個 變量的復(fù)雜不等式證明問題，而且，有些問題本身就是一些固有問題的發(fā)展和演變，故應(yīng)引起參加競 賽的同學(xué)的重視。推廣3:推廣4:XiXi(16)(15)、從這幾個推廣命題的由來我們可以看出

13、,對原例4已知a,b,c,m為正數(shù).求證：a +b3 込 +込 +込. b C a b +m c +m a +m證明：不妨設(shè)a c,b c，則b c+- +-3c aa .b c丄fb丄c a “baa b2(a _b2+(a -c fb _c ab2(ab)acb +m(a c b -c(a +m jjb +m ) (a如H(b +m(a +m Jb +m a +m丄b如- +一2 b a-如a+b如+cbc如ac4如如+m jijp +m+ma如Jc如)b +m1丿例5 5設(shè)正數(shù)x,y,z,a,b,c滿足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函數(shù)f(x,y,z)=X22y_ +

14、2的最小值.解：由cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c容易解得：1-2 2b +cX =-2-a2bec2+a2-b2,y =-2ca2亠|_22a +b -c冃,z=-,且2aba+bc,b+ca,c+ab.2由對稱性不妨設(shè)abc,從而f(x,y,z)=藝x =1_三(b2+c2-a2)2、_1送(b2+c -a2)21+x 2(a+b+ bqb+c-a)2(a+b+ W bQb+c-a)1_r2十b22)2Ju 3務(wù)4+。4+2 I：b2e222 b2e22(a+b +c) S bb+c-a)2+2b3c 檢 be3-3 瓦 a2bcua4+b4+c4+空abc遼b3be -(1

15、5)2 2 2 2 2 2 2 2a (a-c)(a-b)+b (b-a)(b-c)+c (c-a)(c-b)Ou a (a-b) +a (b-c)(a-b)+b (b-a)(b-c)+c (c-a)(c-b)2 2 2 2 2=a (a-b) +(a -b )(b-c)(a-b)+c (c-a)(c-b)O,最后的不等式顯然成立,X2111所以送1 + X- 2，其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c且x=y=z=，故函數(shù)f(x,y,z)的最小值為-例6 6設(shè)n是給定的正整數(shù)，且n3,對于n個實數(shù)Xi,x2，,Xn,記兇-刈(iw ijn)的最小值為m.若XI2+X22+Xn2=1,試求m的最大值。

16、解:不妨設(shè)X1X2WW Xn,則有送(xixj)3m送(j i)1j1m2n=送2k(k +1)(k +2) -3k(k +1)6 y22 2 2=n -(2 xk)w n. mn (n -1) m,X3-x2m,X4-x3m,Xn-xn-im.Xj-xi(j-i)m(1ijn)= m2-k(k+1)(2k+1)k土 S (Xi1-Xj)2= n 1一2 2 xixj1X = -,y =(無 Xi)2住n(WXi)4yn-Z XiXj(Xi2+Xj2) =2： XiXj(2 Xk)22送XiXjk壬2(2； XiXj)2-Z XiXjXk(Xi+xj +Xk) S XiXj(Xi12 21-2

17、x +x y -2x +x y蘭一8其中等號成立僅當(dāng)n+ Xj2) k=t=O二無XiXjXk=O且無Xi=2 XiXj二X1,X2,，Xn中任意三項之積為O,最多有兩項Xi、i Xj不為0，滿足Xi2+Xj2=2XiXj即Xi=Xj.c中等號成立二X1,X2,，Xn中有兩項相等（可以為0），其8余全為02n_2n_ 006006, ,例8 8、(2007年CMO試題5)設(shè)有界數(shù)列aan n(n1)(n1)滿足a an n芝y y九 卜1 10=40=4 2323求證:n n芻k k + +1 1 2n2n + + 20072007 , ,-,-,1 1a an nV V ,n,n= =1,2,31,2,3，n n將其代入（1），得bb 0,10000000,1000000再次利用（1），可以得：如果當(dāng)n n N N + +1 1時b bn n 0 0，