高中奧林匹克物理競賽解題方法十四：近似法

1、- 1 -高中奧林匹克物理競賽解題方法十四、近似法方法簡介近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進(jìn)行物理實驗、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問 題時,為了分析認(rèn)識所研究問題的本質(zhì)屬性,往往突出實際問題的主要方面,忽略某些次要 因素, 進(jìn)行近似處理 . 在求解物理問題時, 采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法 . 近似法是研究物理問題的基本思想方法之一, 具有廣泛的應(yīng)用 . 善于對實際問題進(jìn)行合理的近 似處理, 是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一 . 縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題, 越來越 多地注重這種能力的考查 .賽題精講例 1:一只狐貍以不變的速度 1沿著直線 AB 逃跑,一只獵犬 以不變

2、的速率 2追擊,其運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍 . 某時刻狐貍在 F 處, 獵犬在 D 處, FD AB ,且 FD=L,如圖 14 1所示,求獵犬的加速 度的大小 . 解析 :獵犬的運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍且速度大小不變, 故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動,根據(jù)向心加速度 r ra , 22=為獵犬所在處的曲率半徑,因為 r 不斷變化,故獵犬的加速度 的大小、方向都在不斷變化,題目要求獵犬在 D 處的加 速度大小,由于 2大小不變,如果求出 D 點(diǎn)的曲率半徑, 此時獵犬的加速度大小也就求得了 .獵犬做勻速率曲線運(yùn)動, 其加速度的大小和方向都在不斷改變 . 在所求時刻開始的一段很 短的時間 t 內(nèi),獵犬運(yùn)動的軌跡可

3、近似看做是一段圓弧,設(shè)其半徑為 R ,則加速度 =a R22其方向與速度方向垂直,如圖 14 1甲所示 . 在 t 時間內(nèi),設(shè)狐貍與獵犬分別 到達(dá)D F ''與 ,獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為 =2t /R而狐貍跑過的距離是:1t L 因而 2t /R 1t /L, R=L2/1圖 14 1圖 14 2甲- 2 -所以獵犬的加速度大小為 =a R22=12/L例 2 如圖 14 2所示,岸高為 h ,人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸,若當(dāng)繩與水平方向為 時, 收繩速率為 ,則該位置船的速率為多大?解析 要求船在該位置的速率即為瞬時速率,需從該時刻起取一小段時間求它的平均速 率,當(dāng)這一小段時間

4、趨于零時,該平均速率就為所求速率 .設(shè)船在 角位置經(jīng) t 時間向左行駛 x 距離,滑輪右側(cè)的繩長縮短 L ,如圖 14 2 甲所示,當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時, ABC 可近似看做是一直角三角形,因而有L =cos x 兩邊同除以 t 得:cos tx tL =,即收繩速率 cos 船 =因此船的速率為 cos =船例 3 如圖 14 3所示,半徑為 R ,質(zhì)量為 m 的圓形繩圈, 以角速率 繞中心軸 O 在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動時,繩中的張 力為多大? 解析 取繩上一小段來研究,當(dāng)此段弧長對應(yīng)的圓心角 很小時,有近似關(guān)系式 . sin 若取繩圈上很短的一小段繩 AB=L 為研究對象,設(shè)這段

5、繩所對應(yīng)的圓心角為 ,這段繩兩端所受的張力分別為 A T 和 B T (方向見圖 14 3甲 ,因為繩圈勻速轉(zhuǎn)動,無切向加 速度,所以 A T 和 B T 的大小相等,均等于 T . A T 和 B T 在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻 速圓周運(yùn)動的向心力, 設(shè)這段繩子的質(zhì)量為 m , 根據(jù)牛頓第二定律有:Rm T 22sin 2=;因為 L 段很短,它所對應(yīng)的圓心角 很小所以 22sin =將此近似關(guān)系和 22=m Rm R m代入上式得繩中的張力為 22R m T = 圖 14 2 圖 14 2甲 圖 14 3圖 14 3甲 - 3 -例 4 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道

6、 ABC ,光滑小球從頂點(diǎn) A 處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到 端點(diǎn) C 處所需時間,恰好等于小球從頂點(diǎn) A 處自靜止出發(fā)自 由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn) C 處所需的時間 . 這里假設(shè)鉛垂軌 道 AB 與水平軌道 BC 的交接處 B 有極小的圓弧,可確保小 球無碰撞的拐彎,且拐彎時間可忽略不計 .在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖 14 4中虛線所示的光滑軌道,每一軌道是由 若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成,交接處都有極小圓弧(作用同上 ,軌道均從 A 點(diǎn)出 發(fā)到 C 點(diǎn)終止,且不越出該直角三角形的邊界,試求小球在各條軌道中,由靜止出發(fā)自由地 從 A 點(diǎn)滑行到 C 點(diǎn)所經(jīng)時間的上限與下限之

7、比值 .解析 直角三角形 AB 、 BC 、 CA 三邊的長分別記為1l 、 2l 、 3l ,如圖 14 4甲所示,小球從 A 到 B 的時間 記為 1T ,再從 B 到 C 的時間為 2T ,而從 A 直接沿斜邊到 C所經(jīng)歷的時間記為 3T ,由題意知 321T T T =+,可得 1l :2l :3l =3:4:5, 由此能得 1T 與 2T 的關(guān)系 .因為 21121121T gT l gT l =所以21212T T l l =因為 1l :2l =3:4,所以 1232T T =小球在圖 14 4乙中每一虛線所示的軌道中,經(jīng)各垂直線段所需時間之和為 11T t =,經(jīng)各水平段所需時

8、間之和記為 2t , 則從 A 到 C 所經(jīng)時間總和為 21t T t +=, 最短的 2t 對應(yīng) t 的 下限 min t ,最長的 2t 對應(yīng) t 的上限 . max t小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動分別為勻速運(yùn)動,同一水平段路程放在低處運(yùn)動速度大,所需時間短,因此,所有水平段均處在最低位置(即與 BC 重合時 2t 最短,其值即為 2T ,故 min t =. 35121T T T =+2t 的上限顯然對應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置,實現(xiàn)它的方案是垂直段每下降- 4 -小量 1l ,便接一段水平小量 2l ,這兩個小量之間恒有 cot 12l l =,角 即為 ACB , 水平段到達(dá)斜邊邊

9、界后,再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量,如此繼續(xù)下去,構(gòu)成如圖所示 的微齒形軌道, 由于 1l 、 2l 均為小量, 小球在其中的運(yùn)動可處理為勻速率運(yùn)動, 分別所經(jīng) 的時間小量 (1i t 與 (2i t 之間有如下關(guān)聯(lián):cot ( (1212=l l i t i t于是作為 (2i t 之和的 2t 上限與作為 (1i t 之和的 1T 之比也為 . cot 故 2t 的上限必為1T cot ,即得:. 37cot 111max T T T t =+=這樣 :max t min t =7:5例 5 在光滑的水平面上有兩個質(zhì)量可忽略的相同彈簧, 它們的一對端點(diǎn)共同連接著一個光滑的小物體,另外一對

10、端 點(diǎn) A 、 B 固定在水平面上,并恰使兩彈簧均處于自由長度狀 態(tài)且在同一直線上,如圖 14 5所示 . 如果小物體在此平面上 沿著垂直于 A 、 B 連線的方向稍稍偏離初始位置,試分析判斷它是否將做簡諧運(yùn)動? 解析 因為一個物體是否做簡諧運(yùn)動就是要看它所受的回復(fù)力是否是一個線性力,即回 復(fù)力的大小與位移大小成正經(jīng), 方向相反 . 因此分析判斷該題中的小物體是否做簡諧運(yùn)動, 關(guān) 鍵是求出所受的回復(fù)力的表達(dá)式(即此題中所受合外力的表達(dá)式 . 以 AB 中點(diǎn)為原點(diǎn), 過中點(diǎn)且垂直于 AB 的直線為 x 軸, 如圖 14 5甲所示, 取 x 軸正 方向為正方向,小物體所受回復(fù)力為:sin (20l

11、 l k F x -= 其中 k 為彈簧的勁度系數(shù), 0l 為彈簧的自由長度, l 為彈簧伸長后的長度, 為彈簧伸長后與 AB 直線的夾角 . 由幾何知識可得 lx =sin 220x l l +=將、代入式得:2322212200211(12(12l kx x l xk x xl l k F x -=-=+-=由此可見, 小物體受的合外力是一個非線性回復(fù)力, 因此小物體將不做簡諧運(yùn)動 . 同時本- 5 -題表明,平衡位置附近的小振動未必都是簡諧運(yùn)動 .例 6 三根長度均為 m 2,質(zhì)量均勻的直桿,構(gòu)成一正三角形框架 ABC , C 點(diǎn)懸掛在一 光滑水平轉(zhuǎn)軸上, 整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動 . 桿

12、AB 是一導(dǎo)軌, 一電動玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動, 如圖 14 6所示,現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動,而框架卻靜止不動,試論證松鼠的運(yùn)動是 一種什么樣的運(yùn)動 . 解析 松鼠在 AB 軌道運(yùn)動,當(dāng)框架不動時,松鼠受到軌道 給它的水平力 F 作用,框架也受到松鼠給它的水平力 F 作用, 設(shè)在某一時刻,松鼠離桿 AB 的中點(diǎn) O 的距離為 x ,如圖 14 6所示,松鼠在豎直方向?qū)?dǎo)軌的作用力等于松鼠受到的重力 mg , m 為松鼠的質(zhì)量 . 以 C 點(diǎn)為軸,要使框架平衡,必須滿足 條件 FL FL mgx 2360sin =,松鼠對 AB 桿的水平力為3/(2L mgx F =,式中 L 為桿的長度

13、. 所以對松鼠而言,在其運(yùn)動過程中,沿豎直方向受到的合力為零,在水平方向受到桿 AB 的作用力為 F ,由牛頓第三定律可知 F =F,即kx L mgx F =-=' 3/(2其中 Lm k 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力 F 作用下的運(yùn)動應(yīng)是以 O 點(diǎn)為平衡位置的簡諧運(yùn)動,其振動的周期為 . 64. 22/322s g L k m T =當(dāng)松鼠運(yùn)動到桿 AB 的兩端時,它應(yīng)反向運(yùn)動,按簡諧運(yùn)動規(guī)律,速度必須為零,所以松鼠做簡諧運(yùn)動的振幅小于或等于 L/2=1m. 由以上論證可知,當(dāng)框架保持靜止時,松鼠在導(dǎo)軌 AB 上的運(yùn)動是以 AB 的中點(diǎn) O 為平 衡位置,振幅不大于 1m

14、、周期為 2.64s 的簡諧運(yùn)動 .例 7 在一個橫截面面積為 S 的密閉容器中,有一個質(zhì)量 為 m 的活塞把容器中的氣體分成兩部分 . 活塞可在容器中無摩 擦地滑動,活塞兩邊氣體的溫度相同,壓強(qiáng)都是 p ,體積分別 是 V 1和 V 2,如圖 14 7所示 . 現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平 衡位置,然后放開,活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運(yùn)動 . 容器保持靜止,整個系統(tǒng)可看做是恒溫的 .(1求活塞運(yùn)動的周期,將結(jié)果用 p 、 V 1、 V 2、 m 和 S 表示;(2求氣體溫度 0=t 時的周期 與氣體溫度 '=30時的周期 '之比值 . 解析 (1活塞處于平衡時的位置 O

15、 為坐標(biāo)原點(diǎn) . 0=x 當(dāng)活塞運(yùn)動到右邊距 O 點(diǎn) x 處 時,左邊氣體的體積由 V 1變?yōu)?V 1+Sx ,右邊氣體的體積由 V 2變?yōu)?V 2Sx - ,設(shè)此時兩邊氣體的壓強(qiáng)分別為 1p 和 2p ,因系統(tǒng)的溫度恒定不變,根據(jù)玻意耳定律有:222111 ( (pV Sx V p pV Sx V p =-=+而以上兩式解出:1(2, 1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+= 按 題 意 , 活 塞 只 稍 許 離 開 平 衡 位 置 , 故 上 式 可 近 似 為 :, 1(11x V S p p -1(22x V S p p +, 于是活塞受的合力為

16、. 11(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的運(yùn)動方程是 x V V V V pSx V V pS ma 2121221211(+-=+-=其中 a 是加速度,由此說明活塞做簡諧運(yùn)動,周期為 (221221V V pS V mV +=(2設(shè)溫度為 t 時,周期為 ,溫度為 t '時,周期為 '. 由于T p Tp ''=,得出T T T T V V pS V mV V V S p V mV '='+=+'=' (2(22122121221所以T T '=',將數(shù)值代入得 95. 0:='

17、; 例 8 如圖 14 8所示,在邊長為 a 的正三角形三個 頂點(diǎn) A 、 B 、 C 處分別固定電量為 Q 的正點(diǎn)電荷,在其中 三條中線的交點(diǎn) O 上放置一個質(zhì)量為 m ,電量為 q 的帶正 電質(zhì)點(diǎn), O 點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置,設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某 一中線稍稍偏離平衡位置,試證明它將做簡諧運(yùn)動,并求 其振動周期 . 解析 要想證明帶電質(zhì)點(diǎn)是否做簡諧運(yùn)動,則需證明 該帶電質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置時,所受的回復(fù) 力是否與它的位移大小成正比,方向相反 . 因此該題的關(guān)鍵 是求出它所受回復(fù)力的表達(dá)式,在此題也就是合外力的表 達(dá)式.以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn),以 AOD 中線為坐標(biāo) x 軸,如圖 14 8

18、甲所示,設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)在該軸上偏移 x , A 處 Q 對其 作 用 力為 1F , B 、 C 處 兩 個 Q 對 其作 用 的合 力 為 2F , 取 x 軸 方 向 為正 方 向 . 有22211(-=-=rx rkQq x r kQq F因為 a OC OB OA r 33=+=-rx rx 211(2當(dāng) x 很小時可忽略高次項所以 361(321ax aQq kF +-=232222222( 2(2( 2( ( 2(2-+=+=x h a x h kQq x h a x h x h akQq F232224(2-+=hx h ax h kQq (略去 2x 項232333(2-+=ax

19、ax h kQq2323231(3(2-+=x aax h kQq3231(363x aax h kQq-+=233(363x hx a h aQq k+-= (略去 2x 項2331(363hx x ah aQq k+-=231(33x aaQq k+=因此帶電質(zhì)點(diǎn)所受合力為 qx aQ kx aax q aQ kF F F x 3221239 2336(3-=-=+=由此可知,合外力 x F 與 x 大小成正比,方向相反 . 即該帶電質(zhì)點(diǎn)將做簡諧運(yùn)動,其振動周期為kQqam a km T 32322= 例 9 欲測電阻 R 的阻值,現(xiàn)有幾個標(biāo)準(zhǔn)電阻、一個電池 和一個未經(jīng)標(biāo)定的電流計,連成如

20、圖 14 9所示的電路 . 第一次與 電流計并聯(lián)的電阻 r 為 50.00,電流計的示度為 3.9格;第二 次 r 為 100.00,電流計的示度為 5.2格;第三次 r 為 10.00, 同時將待測電阻 R 換成一個 20.00k 的標(biāo)準(zhǔn)電阻,結(jié)果電流計的 示度為 7.8格 . 已知電流計的示度與所通過的電流成正比,求電阻 R 的阻值 .解析 在測試中,除待求量 R 外,電源電動勢 E ,電源內(nèi)阻 r ,電流計內(nèi)阻 g R 以及電 流計每偏轉(zhuǎn)一格的電流 0I ,均屬未知 . 本題數(shù)據(jù)不足,且電流計讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字,故 本題需要用近似方法求解 .設(shè)電源電動勢為 E ,電流計內(nèi)阻為 g R

21、,電流計每偏轉(zhuǎn)一格的電流為 0I ,用歐姆定律對 三次測量的結(jié)果列式如下:09. 3150505050I R R R rR R R E ggg gg =+R R R Eggg gg =+R R Eggg gg =+從第三次測量數(shù)據(jù)可知,當(dāng)用 20k 電阻取代 R ,而且 r 阻值減小時電流計偏轉(zhuǎn)格數(shù)明 顯增大,可推知 R 的阻值明顯大于 20k ,因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計,與 R 相比,電圖 14 9流計內(nèi)阻 g R 與 r 的并聯(lián)值對干路電流的影響同樣也可以忽略不計,故以上三式可近似為:09. 35050I R R E g =+02. 5100100I R R E g=+08. 7101

22、020000I R E g=+待測電阻 R=120k解、三式,可得 g R =50 例 10 如圖 14 10所示,兩個帶正電的點(diǎn)電荷 A 、 B 帶電量均為 Q ,固定放在 x 軸上的兩處,離原 點(diǎn)都等于 r . 若在原點(diǎn) O 放另一正點(diǎn)電荷 P ,其帶電量 為 q ,質(zhì)量為 m ,限制 P 在哪些方向上運(yùn)動時,它在 原點(diǎn) O 才是穩(wěn)定的?解析 設(shè) y 軸與 x 軸的夾角為 ,正電點(diǎn)電荷 P 在原點(diǎn)沿 y 軸方向有微小的位移 s 時,A 、 B 兩處的點(diǎn)電荷對 P 的庫侖力分別為 A F 、 B F ,方向如圖 14 10所示, P 所受的庫侖力 在 y 軸上的分量為 cos cos B A

23、 y F F F -= 根據(jù)庫侖定律和余弦定理得 cos 222rs s rkqQF A +=cos 222rs s rkqQF B +-=cos 2cos cos 22rs s r s r +=cos 2cos cos 22rs s r s r +-=將、式代入得:23222322c o s 2( c o s (c o s 2( c o s (rs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+-+=圖 14 10因為 s 很小,忽略 2s 得:c o s 21(c o s c o s 21(c o s 23233r s s r r s s r r k q QF y -+

24、=又因為 1cos 2, <rs r s所以利用近似計算 x x 2311(23±-得cos 31(cos ( cos 31(cos (3rs s r rs s r rkqQ F y +-+忽略 2s 得 1cos 3(23-=rkqQs F y當(dāng)(0 1cos 32>-時 y F 具有恢復(fù)線性形式,所以在 31cos 2>范圍內(nèi), P 可圍繞原點(diǎn)做微小振動,所以 P 在原點(diǎn)處是穩(wěn)定的 .例 11 某水池的實際深度為 h ,垂直于水面往下看,水池底的視深為多少?(設(shè)水的折射率為 n 解析 如圖 14 11所示,設(shè) S 為水池底的點(diǎn)光源, 在由 S 點(diǎn)發(fā)出的光線中選取

25、一條垂直于面 MN 的光線, 由 O 點(diǎn)垂直射出,由于觀察者在 S 正方,所以另一條光 線與光線 SO 成極小的角度從點(diǎn) S 射向水面點(diǎn) A ,由點(diǎn) A 遠(yuǎn)離法線折射到空氣中,因入射角極小,故折射角也很小, 進(jìn)入人眼的兩條折射光線的反向延長線交于點(diǎn) S ,該點(diǎn)即為我們看到水池底光源 S 的像,像點(diǎn) S 到水面的距離 h ',即為視深 .由幾何關(guān)系有 , /tan , /tan h AO i h AB r ='=所以 h h i r '=/tan /tan ,因為 r 、 i 均很小,則有 i i r r sin tan , sin tan ,所以 h h i r 

26、9;/sin /sin 又因 ir n sin sin =所以視深 n h h /='針對訓(xùn)練 1.活塞把密閉氣缸分成左、右兩個氣室,每室各與 U 形管壓強(qiáng) 計的一臂相連,壓強(qiáng)計的兩臂截面處處相同 .U 形管內(nèi)盛有密度為 = 7.5 ×102kg/m3 的液體.開始時左、右兩氣室的體積都為 V0=1.2×10 2m3，氣壓都為 0 = 4.0 ×103Pa，且液體的液面處 在同一高度，如圖 1412 所示.現(xiàn)緩緩向左推動活塞，直到液體在 U 形管中的高度差 h=40cm.求此時左、右氣室的體積 V1、V2.假 定兩氣室的溫度保持不變.計算時可以不計 U 形

27、管和連接管道中 氣體的體積.取 g=10m/s2. 2一汽缸的初始體積為 V0，其中盛有 2mol 的空氣和少量的水（水的體積可忽略） ，其平衡 時氣體的總壓強(qiáng)是 3.0 大氣壓.經(jīng)過等溫膨脹使其體積加倍，在膨脹過程結(jié)束時，其中的 水剛好全部消失，此時的總壓強(qiáng)為 2.0 大氣壓.若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使其體積再次加 倍，試計算此時： （1）汽缸中氣體的溫度； （2）汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)； （3）汽缸中氣體的總壓強(qiáng). （假定空氣和水蒸氣均可當(dāng)做理想氣體處理） 31964 年制成了世界上第一盞用海浪發(fā)電的航標(biāo)燈，它的氣 室示意圖如圖 1413 所示.利用海浪上下起伏力量，空氣 能被吸進(jìn)來，壓縮后再

28、推入工作室，推動渦輪機(jī)帶動發(fā)電 機(jī)發(fā)電.當(dāng)海水下降時，閥門 S1 關(guān)閉，S2 打開，設(shè)每次吸 入壓強(qiáng)為 1.0×106Pa、溫度為 7的空氣 0.233m3（空氣可 視為理想氣體） ，當(dāng)海上升時，S2 關(guān)閉，海水推動活塞 絕熱壓縮空氣，空氣壓強(qiáng)達(dá)到 32 ×105Pa 時，閥門 S1 才 圖 1413 打開.S1 打開后，活塞繼續(xù)推動空氣，直到氣體全部推入工 作室為止，同時工作室的空氣推動渦輪機(jī)工作.設(shè)打開 S1 后，活塞附近的壓強(qiáng)近似保持不 變，活塞的質(zhì)量及活塞筒壁間的摩擦忽略不計.問海水每次上升時所做的功是多少？已知 空氣從壓強(qiáng)為 1 、體積為 V1 的狀態(tài)絕熱的改變到

29、壓強(qiáng)為 2 、體積為 V2 的狀態(tài)過程中， 近似遵循關(guān)系式 1 / 2 =（V2/V1）5/3，1mol 理想氣體溫度升高 1K 時，內(nèi)能改變?yōu)?3R/2.R=8.31J/(mol·K 4如圖 1414 所示，在 O x 軸的坐標(biāo)原點(diǎn) O 處， 有一固定的電量為 Q (Q > 0 的點(diǎn)電荷，在 x = L 處，有一固定的、電量為 2Q 的點(diǎn)電荷，今有一 正試探電荷 q 放在 x 軸上 x > 0 的位置，并設(shè)斥力 為正，引力為負(fù). （1）當(dāng) q 的位置限制在 O x 軸上變化時，求 q 的受力平衡的位置，并討論平衡的穩(wěn)定性； （2）試定性地畫出試探電荷 q 所受的合力 F 與 q 在 O x 軸上的位