中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克賽前培訓(xùn)練習(xí)1

1、中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克賽前培訓(xùn)練習(xí)11.求出所有的整數(shù)x，使得多項(xiàng)式f (x) = x6 + 15 x5 + 85x4+ 225x3 + 274x2 + 120x + 1 的值是完全平方數(shù)。2.設(shè) 三角形ABC的外接園為，M 為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且在角A 的平分線上，設(shè) AM,BM,CM與交于 A1, B1,C1 , P 為 A1C1 與 AB 的交點(diǎn)，Q 為 A1B1 與 AC 的交點(diǎn)。證明：PQ 平行于BC.3. 某羽毛球俱樂(lè)部的 2n 名成員為 n 對(duì)夫妻。 俱樂(lè)部準(zhǔn)備為所有成員安排一輪回避配偶的混合雙打比賽。規(guī)定配偶夫妻在賽程中既不作為搭檔，也不作為對(duì)立面出現(xiàn)。要求：( i)同性別的每?jī)擅蓡T恰

2、作為對(duì)立面在一場(chǎng)混雙比賽中相遇；4. 設(shè)數(shù)軸的0 ， 1 區(qū)間里有六個(gè)質(zhì)點(diǎn)，依照從0 到1 的次序?qū)⑦@六個(gè)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為p1 , p2 , p6 .初始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置都在區(qū)間內(nèi)部；相鄰質(zhì)點(diǎn)p1與p2 , p2與p3 , p3與p4 , p4與 p5, p5 與p6 的距離分別是, ,；并且各質(zhì)點(diǎn)都以相同的不變速度沿?cái)?shù)軸朝指向0 點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)， 在以后的運(yùn)動(dòng)中，如果某個(gè)質(zhì)點(diǎn)碰到區(qū)間端0 或 1，那么該質(zhì)點(diǎn)立即折返，以同樣大小的不變速度值反向運(yùn)動(dòng)，如果某兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相向運(yùn)動(dòng)發(fā)生對(duì)撞，那么這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)立即各自折返，都以同樣大小的不變速度值反向運(yùn)動(dòng)。約定以fij(n) 表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)第n 次對(duì)撞的位

3、置坐標(biāo)，試求所有可能的fij (n) 。5、求所有自然數(shù)n>1,使得 n2 不整除 (n-2)!參考答案1.求出所有的整數(shù)x，使得多項(xiàng)式 f (x) = x6 + 15 x5 + 85x4 + 225x3+ 274x2 + 120x + 1 的值是完全平方數(shù)。解： fx= xx + 1x + 2x + 3x + 4x + 5+ 1 ，則 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 時(shí)， fx= 1 為完全平方數(shù)，f2= f 7= 71 2，也為完全平方數(shù)， 進(jìn)一步驗(yàn)證， x = 1, 3, 4, 5, 6 時(shí)，fx 不是完全平方數(shù)。下面證明：只有上述8 個(gè)數(shù)使得 fx為完全平方數(shù)。 fx=

4、 fx5， 只需考慮 x > 0的情況：當(dāng) x 7 時(shí)， 2x + 5 19，令 u = 2x + 5，則 u 19 為奇數(shù)。 64 fx= u 635u2+ 259u2 161，126 35u 42 161。 u令 v = 8 f 2，則考慮不定方程 v= u+ 259u 19 為奇數(shù)。令 v = u 335 u +1 a，aZ，則 v2=u3 35u +1a2= u6 35u 4+ 259u22222 161，整理得 ha= a2+35u2u3a +u3+189u 235u+161+1 1424= 0， h0< 0，h2> 0，求 ha= 0 的整數(shù)根， h1= 0，即

5、4u3 = 189u 2 + 70u + 645*若 u 47，則 4u 3 188u 2 189u 2；若 u 48，則 4u 3 189u 2 + 70u + 74u >189u 2 + 70 u + 645，這表明*不成立，因此本題沒(méi)有 u 19 的奇數(shù)解。故 x = 7,5, 4, 3, 2, 1, 0, 2時(shí)， fx 為完全平方數(shù)。3. 某羽毛球俱樂(lè)部的 2n 名成員為 n 對(duì)夫妻。 俱樂(lè)部準(zhǔn)備為所有成員安排一輪回避配偶的混合雙打比賽。規(guī)定配偶夫妻在賽程中既不作為搭檔，也不作為對(duì)立面出現(xiàn)。要求：( i) 同性別的每?jī)擅蓡T恰作為對(duì)立面在一場(chǎng)混雙比賽中相遇；解：給俱樂(lè)部的成員按家

6、庭用0, 1, n 1 編號(hào)。第 i 個(gè)家庭成員記為hi 和 wi，其中 hi是丈夫、 wi 是妻子。將 n× n 方格表的行用0, 1, n 1 編號(hào)，列也用 0, 1, , n 1 編號(hào)。仿照第 1 題解答中的辦法填寫(xiě) n× n 方格表，按照所填方格表安排賽程，規(guī)定：如果i j ， aij = k， aji= l，那么就安排 hi 與 wk 作為搭檔， hj 與 wl 作為搭檔，雙方進(jìn)行一場(chǎng)混和雙打比賽。在所填 n× n 方格表上，主對(duì)角線的第i 格填寫(xiě)的是 i。因此，如果 ij ， aij = k，aji =l，那么 k i , j ， l i, j 。因而

7、配偶回避，既不作為搭檔，也不作為對(duì)立面。任何兩個(gè)非配偶的不同性別成員，恰作為搭檔一次，也作為對(duì)立面一次。因?yàn)槊啃惺?,1, n1 的一個(gè)排列，每列也是任兩同性別成員恰作為對(duì)立面一次。對(duì)于不同的 i, j，由 aij 和 aji 安排的混雙比賽恰讓i和 hj作為對(duì)立面一次。不同的k 和 l 恰作為aijji(i < j) 出現(xiàn)一次，于是 wk與h, awl恰作為對(duì)立面一次。4. 設(shè)數(shù)軸的0 ， 1 區(qū)間里有六個(gè)質(zhì)點(diǎn)，依照從0 到 1的次序?qū)⑦@六個(gè)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)記為p1 , p2 , , p6 . 初 始 時(shí) ， 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 都 在 區(qū) 間 內(nèi) 部 ； 相 鄰 質(zhì) 點(diǎn) p1與p2 , p2與p3 , p3與p4 , p4與 p5 , p5 與p6 的距離分別是,；并且各質(zhì)點(diǎn)都以相同的不變速度沿?cái)?shù)軸朝指向0 點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)， 在以后的運(yùn)動(dòng)中， 如果某個(gè)質(zhì)點(diǎn)碰到區(qū)間端0 或 1，那么該質(zhì)點(diǎn)立即折返，以同