彈性桿動力學模型及其數(shù)值方法

1、青島大學碩士學位論文彈性桿動力學模型及其數(shù)值方法姓名:賈美娟申請學位級別:碩士專業(yè):應用數(shù)學指導教師:趙維加20090605 第一章預備知識蘭/蘭j=l彳(紡,仍e一,(仍白=。 c, . 2-7 i =11f彳(紡,仍e一,(仍b=o (1.J 由y&的任意性,即q,乞,勺的任意性,可得出線性方程組彳(紡,紀0=,(仍,(1f(1.2.8三次樣條函數(shù):三次樣條函數(shù)的概念:在區(qū)間【口,6】上,給定療+1個互不相同的節(jié)點a=xo<五<<毛寶6(1.2-9函數(shù)少=,(x在這些節(jié)點的值為廠(=乃,i=o,l,。如果分段表示的函數(shù) s(x滿足下列條件(Is(x在予區(qū)間【薯,薯

2、+?！可系谋磉_式置(x都是次數(shù)不超過3的多項式;(2s(玉=咒;(3s(xC2【口,b】.則稱y=廠(x為三次樣條插值函數(shù),簡稱為三次樣條。三次樣條函數(shù)具有良好的數(shù)學性質,它是C2類函數(shù),能滿足工程設計關于光滑 性的要求,且不論型值點增加多少,在兩個相鄰節(jié)點之間均為分段3次多項式。 7青島大學碩士學位論文第二章彈性桿動力學模型2.1一階動力學平衡方程給定慣性坐標系(D一勿f中,把坐標軸分別記為%,%,設彈性桿中心線 r(s,t為弧坐標s和時問t的二元連續(xù)函數(shù)。記55a a磊瓦i瓦分別是對慣性坐標系和局部坐標系下對弧長s和時間t的導數(shù)。在時刻t,任取兩點 r(s,t,r(s+As,t記為只,Q,

3、在時間點f+&時,對應兩點r(s,t+At, r(s+As,t+At記為P、Q.假設彈性桿不發(fā)生扭曲、剪切和拉伸形變時,則向量冠 平行與向量異Q。假設彈性桿尸、Q是發(fā)生扭曲、剪切和拉伸形變后的點,則可 以把昂Q到P蠶可以看成兒個步驟,如圖2.1.1圖2.1.1假設截面是剛性的。先平移瓦孬到面,則PQ=PoPo=紕=e3口As再把截面剛性旋轉角p得到新的坐標系記為el,島,島,使得硒旋轉到砸。 (2.1-1第二章彈性桿動力學模型尸Q2=(%+秒×缸 (2.1.2 由于截面剛性的假設,剪切應變只能發(fā)生在(仍f和(參f平面,相應平面的剪切量 分別記為島,島。拉伸只發(fā)生在f軸,拉伸量

4、記為,則有百亙=(乞島+,島×島+j島厶=(qP,+乞e2-4-se,厶 (2.1.3 所以冠=,=萬丟+躉蠶=(島巳+e2e:+(1+島島g (2.1-4 則(喜。;刀,f,=cel,e2,1+e3,r c2.-一5, 記J:墼盟,則得到F描述了彈性桿的剪切拉伸,稱為剪切拉伸變量。設7=掣,=Tar(s,t它們分別是速度和剪切拉伸變量。以,(s,f上任意一點P為原點,在彈性桿的截面 .卜建立截面主軸坐標系(Pd,d:以作為局部坐標系1131,與文獻【20】巾的局部坐標不 同,我們取一(s,t,吒(J,f為位于彈性桿截而上的兩個相互垂直的單位向量;在彈 性桿不發(fā)生拉伸變形的情況下,即

5、當rl=,2=o,3=l時,心(s,t為在點尸處,(J,t 的單位切向量,其中,l,廠2,3是指,的3個分量,下同。記為角速度,Q為彎扭度,則有誓以;誓一畋。設為彈性桿的能量密度函數(shù),則p=等,掰=蕓,=蒡,膨=誓p 2百肛面H2而朋。面9青島大學碩士學位論文分別為動量,角動量,內力和內力矩。將,分解為它=t七s其中乞表不彈性桿的動能密度函數(shù),鬈表不彈性勢能密度函數(shù),即乞=要【島。y.,+.,.國】乞=吉(廠一J。c(,一J。+(Q一臼。D(Q一臼。其中如為線密度,.,為慣量矩陣,C、D為彈性常量矩陣,F4、口。分別為原始剪 切拉伸量和原始彎扭度。設彈性桿各向同性,此時C、D為對角陣,且C=d

6、iag(4,蜀,c1,D=西昭(4,墾,巴,其中4,罵為截面繞哦軸和以軸的抗剪剛度,G為截面繞以軸的抗拉剛度,4,墾為 截面繞d。軸和d:軸的抗彎剛度,Q為截面繞噥軸的抗扭剛度。.所以有=三幾】,】,+,-,緲+(廠一,。c(J一J。+(Q一臼”D-(口一口。(2.16 注意到p=成?！?肌=勘,F=C(F-F。,M=D(QQ。(2.1.7在慣性坐標系(D一勿f中,利用連續(xù)性得到 豢:睪 (2.I-8 af孤7方程(2.18在截面主軸坐標系(P一以吐以中的投影為【28】 堅+緲×J:耋+口×】, (2.1-9 Ot Os 。另外在(D一勿f中,由于52以一52dkmm 3t

7、3s利用國和口的定義得到塑型:避型(2.1-10O t dS lO第二章彈性桿動力學模型注意到在(尸一d,以以中,喀是坐標軸,當然此時喀是常向量,故在【P一以吐以上 摯:o,塑:o (2.1-11 Os dt方程(2.1一lo在(P-d,畋以的投影為警×畋+×(Q×畋=等×以+Q×(×以(2.1-12 利用向量積恒等式×(Q×畋+(×畋×Q=(×Q×以 (2.1-13 方程(2.1-12化為爭一卦例,k=1,2,3(2.1-14, 注意到以線性無關,故對于任何向量口,都有爭一

8、一卦刪(2.1-15,即有擎+×Q:挈 (2.1-16 dt ds設彈性桿在力和力矩作用下任意運動,考慮弧坐標分別為s和s+As的尸和,點 之間的微元弧段。設尸點的負截面在t時刻受臨近截而作用的內力和內力矩分別為 一F和一M,點的正截而在f+f時刻受臨近截而作用的內力和內力矩分別為 F+AF和M+塒,和M均為s和t的二元連續(xù)函數(shù)。假設弧段上作用的單位長 度分布力g和分布力偶h,將全部作用力對P點簡化,jj保留各增量的一階小量, 根據(jù)牛頓力學的動量定理和對質心的動量矩定理,得到【20】肌如鏟: (2.1-17af ,l 1” 塒+,×F+廳厶:厶竺dtI一式各項除以紐。令血一

9、0,可得 第三章平衡方程的離散與求解C(s一%(s一。一2(s一%+2(s一%小凼=一等(2當l=刀一l時I諺彩幽=萬1eI-N(s一%M(s一%2(2(J一%一(J一%。一+(s一%+2ds h2=一一60I力珈=吾(s一%一(s一%2(J一%+2(J一%一凼=嘉 (3當,=刀+l時f力么出=古e。(s一。一(s一%2(2(s一&一(J一卜+(s一%小2dsh一-_-一60f諺私=吾C”(s一.(s一%2(J一%+2(J一毛H一凼=芻 (4當,=玎一N時l力珈=嘉(一刊2(t+扣“(去一珈1凼+ f一嘉嘉(s一%一2(s一%_(-一去(s一%一凼=一去+嘉 I諺咖=。吉卜洲一一2(一

10、吾÷吾(+秘飛-卜 f一嘉(s一磊(5一毛糾2(一i5F+嘉(t+去(s一%一凼 155h=一一.一一一104h26Jll lO(5當,=刀一1一時r諺彤凼=,r(ss+。一。(SSN+n2(,+去cs一毛(吾一t一(去一砉(s一%出h2=一一27青島大學碩士學位論文I力酗=嘉(s一曲州(8-SN+n2吾(s一%+2(s一%。凼=嘉(6當,=刀+lN時賽巍成ds=f。(一去(s一。一2(-+詈(J一%¨一古(2(s一%(J一%+.+(J一%+.2出=一嘗 f諺私=f(一去(S-Sn+l_N2(+i2(%吾(%+2(葉+I拈29.。 對r純諺嚨丞和r群嫩凼同上面的討論也有17

11、中情況下不為o,這里不再一一列出。 (三當?shù)度∵吔?即丹【l,N,N+I,2N-I】時,和上面同樣的思想一一得出其非0項。 記乙(f=屯(t,則(3.1.14、(3.1.15式可分別化為一p糞嘭(,r力彤出N N+pZZ(a。(f×z,(rr歡嗚吮凼一一p嘭(,f。力彤出 。(f×z,(fr。歡嗚吮凼一,=O I=1k=l 。=c善q(r(堿岳一旃彩晤+r力咖+善N善N(6,(,×(ca。(,r飭7喀7純蓀+島(f×(cr。r力形出一JoLgOods,刀=o,±l,±所,(3.2.io %(,=。薯島(,(堿晤一諺形晤+j諺珈+羔1=

12、1蘭k:l(%(,×乙(,r織旃諺,凼+N N,善善勿(f×(D以(fIL力么7仡凼+島(f×(加。Il。飭么幽+丟N善N口,(,×(ca。(,r諺7織瓴出+口小×(or9r諺餞凼+I.諺,凼 當訂=2,3,Nl時,把上面結果代入上面兩式,再由其中 hi×乃2Kj(1f擰=0,±l,±拂,(3.2-11 (3.2-12第三章平衡方程的離散與求解E 2雕引 一苧蕓竽玩廠警坂一齋吃+,丟壇制一(一西31+.168。1h、/hih一喪髓脅.,+i94ho Kd+2633h。K。廳¨+元h2(瓦協(xié),+置屯.,+蓋

13、瓦.。吒+等瓦以 +蓋眉。+,吼+互4532h0、"K+¨一置+。+,吒+i94h。、"K。一以+,矗。+。+瓦h2(五一置+,五川+了h西3丘.v制口.,一jh而3B+。應脅.,+瓦h2E.,五州+芝4532h。2K,",一面h3(戤椰,+置+,dN+n+j14h2i五+魯X州+X。I一面h3Kk州+生315k。壙面43h2x氮一瓦h2E+.矗+.=E其巾J為三階單位矩陣,屁。=qE=E(an.1,a.,a。+,a|Iv+¨,as+n,a,v+。+J,屯.J,屯,鞏+J,bN+¨,bN+。,bN+。+J Gh=Gnon。.1,at,

14、aF+l,aNt.1,aN+n,aNt+l,bt.|,bt,b"+l,bN-.1,bN,bNvl, z_.,乙,z月+J,z+。.,ZN+n z+J (3.2-13 (3.2-14用nXm表示一個m階的向量看作向量的分量,在這個分量下向量是刀階的。令 K4(n=2,3,N一1為2×3行的行向量,其第"一1個分量為(3.2.13式左邊西¨的系數(shù);第刀個分量為西。的系數(shù);第療+1個分量為的it州系數(shù);其第N+n-1個分量 為(3.213式左邊西+“的系數(shù);其第N+n個分量為(3。213武左邊應+。的系數(shù); 其第N+n+1個分量為(3.213式左邊廳”,的系數(shù)

15、;其余分量為0。青島大學碩士學位論文分別取擰=l,刀=N時得到K¨和KV”。取詹=(眉(J,K,K(r戶=(E,E,7吞=(GJ,嘭,G7則(3.2.13式化為玄(五,也,廳2=戶當?shù)?N+I,N+2,2N時同理可推出玄,P和吞。取置=,=G=(耋M:卜L 歹j其中M和K同階,則(3.2.13和(3.2.14式可化為如下方程組J置(西p舀p,廳州藝2F(3.2-15 IM(之,乞,2:。=G3.3數(shù)值結果借助于動力學比擬方法,對于固定的f,把超細長彈性桿的表面看作是一條封閉 的平面曲線點集X。=x(o,t沿著空間曲線(s=r(s,f移動和旋轉得到的,即設點 30第三章平衡方程的離散與

16、求解集墨(s=X(s,f是點集K摩經過向起點位置(0=,(o,t平移,旋轉以及由c(平移 到(s的復合運動得到,則置(s=4(s(x(o一(o+(s (3.3一I 其中4(s=彳(J,t=(d,(J,td2(s,t嘭(J,啪,4(s是由置。一,:(o所在平面到 X(s一(O所在平面的旋轉矩陣。在(3.3-1式中對s微分得到警=苦(耶h(0+相 (3.3-2 注意到歐拉矩陣4(s是正交矩陣,利用彳左乘方程組(3.3-2得到X(O-r(O,f=4(s7(置(曲一C(s” (3.33 將(3.33式代入(3.32式得到求解曲面網(wǎng)線X(曲的微分方程初值問題idX,=警4(s7(墨(s一,:(J”+吹J

17、 (3.3-4 lK(o=置。從而我ff"-I得到五(曲,模擬出彈性桿。下面是一些數(shù)值結果為:6.2圖3.3.1當f=0時桿的姿態(tài) 46.2圖3.3.2當t=4桿的姿態(tài) 42之 與 書七4 2乏 七 七缶 致謝 致謝 本文是在我的導師趙維加教授的親切關懷和悉心指導下完成的。在此我要對趙 老師致以誠摯的謝意。在論文的寫作過程中，趙老師給了我許多的幫助和關懷。趙 老師學識淵博、治學嚴謹、平易近人。趙老師的悉心指導，不僅使我學到了扎實的 專業(yè)知識，在怎樣處人處事等方面也收益很多。同時他對工作的積極熱情、認真負 責、有條不紊、實事求是的態(tài)度，給我留下了深刻的印象，使我受益匪淺。在此我 謹向趙

18、老師表示衷心的感謝和深深的敬意。 同時，我要感謝我們學院給我們授課的各位老師，正是由于他們的傳道、授業(yè)、 解惑，讓我學到了專業(yè)知識，并從他們身上學到了如何求知治學、如何為人處事。 另外，衷心感謝我的同窗同學們和學長學妹們，在我畢業(yè)論文寫作中，與他們 的探討交流使我受益頗多，尤其是黃健飛，楊斌，在本文的寫作過程中一直提供無 私的幫助和支持，我再次深表謝意。 最后，感謝一直支持我家人，特別是百忙之中評閱論文的專家、教授。 彈性桿動力學模型及其數(shù)值方法 作者： 學位授予單位： 賈美娟 青島大學 相似文獻(10條 1.會議論文 薛紜.翁德瑋.陳立群 超細長彈性桿精確模型的幾何描述 2008 以DNA等

19、生物大分子鏈為背景的彈性細桿力學受到關注，基于Kirchhoff動力學比擬，連續(xù)的彈性桿離散化，動力學的概念和方法得以充分應用，形 成以時間和弧坐標為雙自變量的彈性桿動力學。對于考慮拉/壓、剪切、扭轉和彎曲變形的精確模型，給出基本假定，用映射的概念刻畫了這一離散化模 型，描述了彈性桿的位形和運動，給出了桿的運動方程，用截面的位移表示了桿的變形，導出了存在拉/壓變形時彎扭度和角速度的關系；定義了截面的 虛位移，表示為弧坐標和時間變分均為零的變分法則，在微分和變分運算次序可以交換的前提下，導出了截面虛角位移的導數(shù)與截面彎扭度以及角速度 變分的關系。為建立超細長彈性桿精確模型動力學的分析力學方法準備

20、幾何基礎。 2.期刊論文 賈美娟.趙維加.黃健飛.JIA Mei-juang.ZHAO Wei-jia.HUANG Jian-fei 一類彈性桿動力學方程及其數(shù) 值仿真 -巢湖學院學報2008,10(6 從彈性桿的能量函數(shù)出發(fā),建立了彈性桿在受分布外力作用下的動力學模型.模型考慮了彈性桿運動中的扭曲、拉伸和剪切作用,是動力學模型的推廣 .建立了模型求解的數(shù)值分析方法并給出了數(shù)值結果和相應的分析 3.學位論文 黃健飛 彈性桿擬動力學模型和動力學模型的研究 2009 彈性桿是一種重要的力學模型，許多工程構件和生物體如海底電纜、纖維、生物和有機物大分子等，在一定條件下都可以模型化為彈性細桿討論。 近

21、40年來，隨著生物和遺傳工程的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)：DNA是具有彈性特性的長鏈，可以利用彈性細桿模型進行動力學分析。因此，人們將彈性力學的方法 和分子生物學的知識相結合對DNA進行了研究，取得了大量成果。 本文研究了彈性桿的數(shù)學建模和數(shù)值仿真問題。內容包括彈性桿的曲面模型、Kirchhoff彈性桿的擬Hamilton方程及其辛算法、彈性桿動力學方程解 的存在性及數(shù)值模擬，具體工作為： (1基于彈性桿的Kirchhoff假設并使用Kirchhoff比擬，從新的角度提出了超細長彈性桿曲面模型的微分方程組。 (2引入歐拉參數(shù)給出了超細長彈性桿的Kirchhoff模型的擬動力學方程組?，F(xiàn)有的結果中，這種模型

22、是用Euler角（）為變量描述的。由于當 =時Euler角出現(xiàn)奇點，給數(shù)值計算造成困難。我們利用歐拉參數(shù)代替Euler角，建立了以歐拉參數(shù)為變量的描述超細長彈性桿的擬Hamilton方程 ，并采用辛算法建立了彈性桿長距離保結構計算的數(shù)值計算模式并給出了數(shù)值結果。 (3根據(jù)Lax方程解的存在性，證明了彈性桿動力學方程組解的存在性；在給出了二次型形式的彈性勢能函數(shù)的情況下，給出動態(tài)彈性桿在一段時間 內的數(shù)值模擬。 4.會議論文 賈美娟.趙維加.黃健飛 一類彈性桿動力學方程及其數(shù)值仿真 2008 從彈性桿的能量函數(shù)出發(fā)，建立了彈性桿在受分布外力作用下的動力學模型。模型考慮了彈性桿運動中的扭曲、拉伸和

23、剪切作用，是動力學模型的 推廣。建立了模型求解的數(shù)值分析方法并給出了數(shù)值結果和相應的分析。 5.期刊論文 張光輝.趙維加.ZHANG Guang-hui.ZHAO Wei-jia DNA彈性桿模型數(shù)值仿真和圖形處理的四元數(shù)方法 系統(tǒng)仿真學報2007,19(17 超細長彈性桿動力學模型在DNA分子結構模型的平衡、穩(wěn)定性等問題的研究中有重要的應用.為了便于其數(shù)值仿真、圖形后處理以及研究表面接觸等 問題的處理,需要建立彈性桿的表面模型.利用Kirchhoff彈性桿模型的動力學比擬技巧,建立了由四元數(shù)的描述超細長彈性桿曲面的常微分/積分方程組 ,利用Adames方法和遞推方法設計了方程的數(shù)值解法,并給

24、出了超細長彈性桿的數(shù)值仿真和圖形處理的計算實例. 6.期刊論文 趙業(yè)鑫.王秀娥.ZHAO Ye-xin.WANG Xiu-e Euler彈性桿變形的研究 -中央民族大學學報（自然科學版 ）2005,14(4 研究一端固定一端自由Euler彈性桿在集中外力作用下的變形規(guī)律.根據(jù)變形彈性桿的幾何特征和力學平衡條件,通過建立其變形的動力學模型和運動 學模型,進而討論模型的數(shù)值解、變形桿的形狀以及相關的多解性和分岔. 7.期刊論文 黃健飛.趙維加.賈美娟.楊斌.HUANG Jian-fei.ZHAO Wei-jia.JIA Mei-juan.YANG Bin Kirchhoff彈性 桿擬動力學的四元數(shù)

25、表示 -青島大學學報（自然科學版）2008,21(4 研究靜力學Kirchhoff彈性桿,Kirchhoff動力學比擬是重要的技巧.擬動力學方程通常是用Euler角表示的,但Euler角在=k處存在奇異性,不適合 數(shù)值計算.為了解決這個問題,本文引入四元數(shù)并建立了擬動力學模型的擬Lagrange方程和擬Hamilton方程. 8.學位論文 楊斌 彈性桿模型方程的數(shù)值譜方法 2009 彈性桿是科學研究和工程開發(fā)應用的重要物理模型，近年來在生物學研究中也發(fā)揮了重要作用。而數(shù)值仿真是彈性桿研究的重要方法之一。本文基 于譜離散方法給出了運動彈性桿的高精度數(shù)值算法，主要工作包括 (1彈性桿結構動力學模型的譜離散方法。算法對基于Kirchhoff假設導出的描述彈性桿結構的非線性Schrodinger方程采用復三角譜離散得到高精度 的數(shù)值計算方法。與實Galerkin方法比較，這樣的離散在相同精度的前提下，大大節(jié)省了計算量。 (2基于Kirchhoff假設的彈性桿動力學方程是非線性偏微分/代數(shù)方程組。文獻中的相應的譜精度算法一般是用來求解邊值問題的，通常只用于對空 間變量，時間變量的離散采用Runge-Kutta方法等傳統(tǒng)的方法離散，這樣離散一般達不到譜精度。本文將空間變量的譜離散方法和時間變量的譜延遲修正 技術相結合，給出了新的數(shù)值計算方法。這一算法不但精度達到了譜精度，而且是