實(shí)驗(yàn)講義常微分方程數(shù)值解

1、數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)常微分方程初值問題數(shù)值解法穩(wěn)定性分析實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 掌握借助MATLAB軟件包求微分方程數(shù)值解的龍格庫塔方法；2 掌握借助MATLAB軟件包作微分方程相圖方法；3 了解微分方程穩(wěn)定性對(duì)數(shù)值解的影響；基本方法原理1 常微分方程數(shù)值解的歐拉方法和龍格庫塔方法簡(jiǎn)述考慮一階常微分方程的初值問題我們知道：對(duì)于一般的，我們不能求出方程的通解和問題的精確解；因此我們轉(zhuǎn)而求問題的數(shù)值近似解。即：如果我們?nèi)〔介L為h，并令，我們希望能求出函數(shù)在各點(diǎn)處的函數(shù)值的近似值。用來求這些近似值的方法有很多，這里介紹三種：（1） 歐拉方法對(duì)方程兩邊從到積分得，由于h通常取得很小，右邊的積分可用矩形公式、梯形公式等近似

2、。若右邊的積分采用矩形公式近似，則有，以此類推，得到歐拉方法的計(jì)算公式易知：歐拉方法的精確程度不高。一般地，如果假定是準(zhǔn)確的，而按某種算法得到的滿足，我們說該算法具有階精度。歐拉方法具有一階精度。（2）改進(jìn)的歐拉方法如果上述積分用梯形公式近似，則有。由于通常不能直接得到，所以稱這種公式為隱式公式。通常取歐拉方法計(jì)算得到的作為初值，代入上述公式右端作迭代，直到求出滿意的值為止。為簡(jiǎn)便起見，通常僅迭代一次就轉(zhuǎn)入下一步計(jì)算。即。這里歐拉算法算出的值可看著預(yù)估值，而后一公式算出的值可看著對(duì)預(yù)估值的校正。進(jìn)一步地，上述校正實(shí)際上是對(duì)連接、的線段的斜率值的校正。可以證明：改進(jìn)的歐拉方法具有二階精度。（3）

3、四階龍格庫塔（RungeKuta）法根據(jù)上面的演算，我們可以猜想：若對(duì)斜率值進(jìn)行適當(dāng)?shù)男Ｕ?，?yīng)該可以得到精度更高的算法。具有四階精度的四階龍格庫塔方法就是這樣得到的。常用的四階龍格庫塔法計(jì)算格式是對(duì)于二階常微分方程的初值問題可通過變換，將原問題化成一階線性方程組相應(yīng)的龍格-庫塔計(jì)算公式可參見相關(guān)書籍。2 常微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介對(duì)于一階微分方程我們把使的點(diǎn)稱為平衡點(diǎn)(或奇點(diǎn))。當(dāng)時(shí)，稱是穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。對(duì)于一階微分方程組我們通常在相平面上研究解的性質(zhì)。（1） 基本概念：相平面、相軌線、奇點(diǎn)及分類（2） 穩(wěn)定性及其判別模型實(shí)例1 蟲口問題模型1 基本模型2 數(shù)值解及其分析模型實(shí)例2 強(qiáng)迫振動(dòng)下的單擺運(yùn)動(dòng)1 數(shù)學(xué)模型2 無強(qiáng)迫力下的