基于遺傳算法和最速下降法的函數(shù)優(yōu)化混合數(shù)值算法

1、基于遺傳算法和最速下降法的函數(shù)優(yōu)化混合數(shù)值算法趙明旺(武漢冶金科技大學(xué)自動(dòng)化系, 430081 摘要在遺傳算法中嵌入一個(gè)最速下降算子, 并定義適當(dāng)?shù)倪m應(yīng)度函數(shù)和子代個(gè)體的選擇算子, 從而可結(jié)合遺傳算法和最速下降法兩者的長(zhǎng)處, 得到既有較快收斂性, 又能以較大概率得到全局極值的新的用于連續(xù)函數(shù)全局優(yōu)化的混合數(shù)值算法。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明了本文方法顯著優(yōu)于求解函數(shù)優(yōu)化的遺傳算法和最速下降法。關(guān)鍵詞遺傳算法最速下降法函數(shù)優(yōu)化適應(yīng)度A H yb rid N um erical A lgo rithm fo r Functi onOp ti m izati on Based on Genetic A lgo

2、 rithmand Steepest D ecen t A lgo rithmZhao M ingw ang(D ep t . of A u tom ati on , W uhan Yejin U n iversity of Science &T echno logy , 430081Abstract In th is paper , th rough a steepest decen t operato r is em bedded in to the genet 2ic algo rithm and a p roper fitness functi on and a selecti

3、ng operato r fo r son generati on aredefined , a hyb rid algo rithm fo r global op ti m izati on of con tinuou s functi on , com b ined theadvances of bo th of genetic algo rithm and steepest decen t algo rithm , is go t w ith fastconvergence and great p robab ility fo r global op ti m izati on . T

4、he num erical compu ting re 2su lts show n that the m ethod is distinctly superi o r to the genetic algo rithm and steepestdecen t algo rithm .Keywords genetic algo rithm ; steepest decen t algo rithm ; functi on op ti m izati on ; fit 2ness1引言對(duì)連續(xù)可微函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題, 傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法(如最速下降法、N ew ton 法和共軛梯度法等 有相對(duì)較快的收斂

5、速度, 計(jì)算精度高, 在實(shí)際函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題求解中得到廣泛應(yīng)用6。但傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法求得的是局部最優(yōu)解。對(duì)全局優(yōu)化問(wèn)題, 目前存在確定性和非確定性?xún)深?lèi)方法。前者方法以B rian in 的下降軌線(xiàn)法1、L evy 的隧道法2和R 1Ge 的填充函數(shù)法3為代表。該類(lèi)方法雖然有收斂快, 較高計(jì)算效率, 但算法復(fù)雜, 求得全局極值的概率不大。非確定性方法以M on te 2Garlo 隨機(jī)試驗(yàn)法, H artm an 的多始點(diǎn)方法4, So lis 和W ets 的結(jié)合梯度信息的搜索方法5, 模擬退火方法6等為代表。該類(lèi)方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求低、容易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定性好, 但收斂較慢、效率低、求得全局極值的概率較

6、低。近年來(lái), 模擬生物進(jìn)化中“物競(jìng)天擇”原則的計(jì)算智能(compu tati onal in telligen t 方法遺傳算法吸引了眾多科學(xué)領(lǐng)域中的研究人員, 并在函數(shù)優(yōu)化、模式識(shí)別、圖像處理、人工智能得到廣泛應(yīng)用711。在不可微函數(shù)甚至不連續(xù)函數(shù)的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題中, 遺傳算法以其能以較大概率求得全局最優(yōu)解、計(jì)算時(shí)間相對(duì)1997年7月系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐第7期本文于1996年1月23日收到本文工作得到武漢市科委“晨光計(jì)劃”和冶金工業(yè)部理論研究基金資助較少、具有較強(qiáng)魯棒性等特點(diǎn)得到廣泛重視。但對(duì)于可微連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題, 遺傳算法由于受到收斂性相對(duì)較慢、編碼長(zhǎng)度對(duì)精度影響大、求解全局最優(yōu)解需群體(

7、popu lati on 規(guī)模相對(duì)大等因素的影響, 與運(yùn)籌學(xué)中的常用數(shù)值優(yōu)化方法相比, 并不具有優(yōu)勢(shì)。本文利用遺傳算法中雜交(cro ssover 算子、變異(m u tati on 算子和選擇算子在全變量空間, 以較大概率搜索全局極值的特點(diǎn), 以及函數(shù)數(shù)值優(yōu)化中最速下降法收斂快、計(jì)算數(shù)值精度高的特點(diǎn), 給出了一個(gè)適用于函數(shù)數(shù)值優(yōu)化的混合優(yōu)化算法。該混合算法具有雜交算子、變異算子和最速下降算子三種基本運(yùn)算方式, 并定義了適合于連續(xù)函數(shù)全局優(yōu)化問(wèn)題的用于子代群體的適應(yīng)度函數(shù)和選擇算子。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明了本文方法既有較快的收斂性, 又能以較大概率求得全局最優(yōu)解, 顯著優(yōu)于求解函數(shù)優(yōu)化的遺傳算法和最

8、速下降法。2問(wèn)題描述考慮如下有限空間的連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題m in a i x b ii =1, n f (x (1其中a i 和b i 為優(yōu)化問(wèn)題中變量x i 的上下限, n 為變量向量x 的維數(shù)。對(duì)(1 式所示的有限空間連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題, 下面先引出目前的數(shù)值優(yōu)化方法和遺傳算法。211最速下降法最速下降法是數(shù)值優(yōu)化方法中最早的算法。該方法直觀(guān)、簡(jiǎn)單、不需要求解函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣(H es 2sian 矩陣 。許多更有效的數(shù)值優(yōu)化方法都是在最速下降法的啟發(fā)下獲得的。最速下降法求解式(1 所示的連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程如下12:最速下降法選定初始迭代點(diǎn)R epeat作線(xiàn)性搜索

9、x k +1=linear 2search (x k , - f (x k 計(jì)算f (x k +1 , f (x k +1U n til (結(jié)束迭代邏輯條件滿(mǎn)足最速下降法雖然實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單, 有一階收斂速度, 但其求得的是局部最優(yōu)解, 而不能保證是全局最優(yōu)解。對(duì)于有限空間的連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題, 目前還沒(méi)有簡(jiǎn)便且有效的求解方法, 實(shí)際應(yīng)用中只能通過(guò)在多個(gè)初始迭代點(diǎn)上多次使用傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法來(lái)盡可能地求取全局最優(yōu)解, 但該種處理方法求得全局極值的概率不高、可靠性低。建立以盡大可能(概率 求解連續(xù)函數(shù)的全局最優(yōu)解的算法仍是一個(gè)重要的問(wèn)題。212遺傳算法如引言中所述, 遺傳算法對(duì)于有限空間的連續(xù)可微

10、函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題, 與數(shù)值優(yōu)化方法相比并不具有優(yōu)勢(shì)。即便如此, 遺傳算法的雜交算子、變異算子和子代群體選擇算子在求取全局最優(yōu)解中的效能對(duì)有限空間的連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題還是具有指導(dǎo)作用的。遺傳算法求解式(1 所示的連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程如下:8,10:遺傳算法隨機(jī)產(chǎn)生初始父代群體并計(jì)算其適應(yīng)度對(duì)初始父代群體的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編碼R epeat 選擇群體中兩個(gè)(或多個(gè) 個(gè)體以概率P c 進(jìn)行雜交運(yùn)算選擇群體中個(gè)體以概率P m 進(jìn)行變異運(yùn)算06系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐1997年7月對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行解碼并計(jì)算其適應(yīng)度選擇子代群體(適者繁殖, 不適者被淘汰U n til (結(jié)束迭代邏輯條件滿(mǎn)足遺傳算法應(yīng)

11、用于式(1 所示的連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題的困難之處在于:1 雜交運(yùn)算概率P c 和變異運(yùn)算概率P m 的選擇。2 群體規(guī)模的確定。3 編碼方法和編碼長(zhǎng)度。4 如何控制群體向某個(gè)或某幾個(gè)個(gè)體集中的速度。若該速度快, 則求得全局極值的概率將變小; 若過(guò)慢, 則遺傳算法將退化為M on te 2Carlo 完全隨機(jī)試驗(yàn)算法。5 適應(yīng)度函數(shù)的確定。3基于遺傳算法和最速下降法的函數(shù)優(yōu)化混合數(shù)值算法針對(duì)上述最速下降法和遺傳算法在連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化上的不足, 綜合兩種方法各自的優(yōu)勢(shì), 本文提出如下混合算法?；旌纤惴S機(jī)產(chǎn)生初始父代群體并計(jì)算其適應(yīng)度R epeat選擇群體中兩個(gè)個(gè)體以概率P c 進(jìn)行編

12、碼、雜交、解碼運(yùn)算, 將父代和子代都加入新的子代群體對(duì)新的子代群體中每個(gè)個(gè)體以概率P m 進(jìn)行編碼、變異、解碼運(yùn)算, 將父代和子代都加入新的子代群體對(duì)新的子代群體中每個(gè)個(gè)體以概率P s 計(jì)算f (x k , f (x k , 并進(jìn)行線(xiàn)性搜索x k +1=linear 2search(x k , - f (x k , 將子代取代父代加入新的子代群體對(duì)每個(gè)個(gè)體計(jì)算適應(yīng)度以既定的群體規(guī)模, 選擇下一次繁殖的子代群體(適者繁值, 不適者被淘汰U n til (結(jié)束迭代邏輯條件滿(mǎn)足對(duì)上述混合算法, 說(shuō)明如下:311適應(yīng)度函數(shù)定義由于待優(yōu)化的函數(shù)f (x 的值可正可負(fù), 而適應(yīng)度函數(shù)需恒為正, 再者進(jìn)行雜

13、交運(yùn)算和子代選擇時(shí)所需的概率與適應(yīng)度是成正比的。因此, 適應(yīng)度函數(shù)的定義將對(duì)整個(gè)遺傳算法和本文的混合算法有全局性的影響, 是算法成功求得全局極值的關(guān)鍵之一。本文的上述混合算法的適應(yīng)度函數(shù)g (x 定義為g (x =f m ax -f (x +k 1(f m ax -f m in (2其中f m ax 和f m in 分別為當(dāng)前群體中的最大函數(shù)值和最小函數(shù)值; k 1為控制當(dāng)前群體中最大適應(yīng)度與最小適應(yīng)度之比的參數(shù)。由上式可知, 在每次繁殖的群體中最大適應(yīng)度與最小適應(yīng)度之比為(1+k 1 k 1。若k 1過(guò)大, 該比值趨近于1, 即當(dāng)前群體中最大函數(shù)值的個(gè)體和最小函數(shù)值的個(gè)體有較接近的適應(yīng)度和選

14、擇概率, 則雜交算子和變異算子的作用將退化至接近于完全的隨機(jī)搜索。若k 1過(guò)小, 該比值趨近于, 將使得當(dāng)前群體中函數(shù)值較大的個(gè)體的適應(yīng)度和選擇概率過(guò)小, 失去繁殖的機(jī)會(huì), 從而導(dǎo)致群體快速向某個(gè)個(gè)體或某幾個(gè)個(gè)體集中, 使得求得全局極值的概率下降。一般情況下, k 1的取值在0. 010. 1之間較適宜, 相應(yīng)的同代群體中個(gè)體間的最大適應(yīng)度和最小適應(yīng)度之比為11101之間。由于算法中每代的f m ax 和f m in 隨群體不同而變化, 使得本文的混合算法在確定適應(yīng)度和選擇概率上具有自適應(yīng)性和魯棒性。312群體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和編碼方法遺傳算法的主要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是數(shù)字位串, 一般常用的是二進(jìn)制。當(dāng)遺傳算

15、法應(yīng)用于連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化計(jì)算16第7期基于遺傳算法和最速下降法的函數(shù)優(yōu)化混合數(shù)值算法時(shí), 位串長(zhǎng)度和編碼方法對(duì)計(jì)算精度和群體中個(gè)體之間的距離具有決定性影響, 并直接影響全局極值的求解。本文的混合算法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用混合式數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 在群體中每個(gè)個(gè)體采用實(shí)型數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 只有在個(gè)體被確定進(jìn)行雜交運(yùn)算和變異運(yùn)算時(shí)才進(jìn)行編碼, 運(yùn)算結(jié)束后產(chǎn)生子代的要進(jìn)行解碼才能入新的子代群體。采用混合數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是可以避免編碼的有限字長(zhǎng)對(duì)精度的影響, 充分發(fā)揮最速下降算子精度高以及能局部細(xì)致地搜索極值的特性。本文的混合方法在雜交運(yùn)算和變異運(yùn)算中個(gè)體的編碼方法采用遺傳算法中常用的二進(jìn)制位串編碼方法。個(gè)體的各變量x i

16、 (i =1, 2, , n 的二進(jìn)制位串以順序排列, 其中變量x i 的二進(jìn)制位串x i 的編碼算法為x i =int b i -a i (2N -1 (3其中N 為二進(jìn)制位串的長(zhǎng)度, 函數(shù)in t (為取整函數(shù)。313線(xiàn)性搜索算子為了加速遺傳算法在連續(xù)可微函數(shù)全局優(yōu)化問(wèn)題上的收斂性, 發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化算法在計(jì)算速度與計(jì)算精度上的優(yōu)勢(shì), 本文的混合算法中嵌入了一個(gè)最速下降算子。該最速下降算子主要進(jìn)行的是傳統(tǒng)最速下降法中的線(xiàn)性搜索運(yùn)算。在每次繁殖中產(chǎn)生的新的子代, 都要以概率P s 判斷是否需要進(jìn)行線(xiàn)性搜索運(yùn)算。由于最速下降法的線(xiàn)性搜索運(yùn)算是一種能保證迭代產(chǎn)生的點(diǎn)序列是函數(shù)單調(diào)下降的良好的局部

17、極值數(shù)值優(yōu)化算法, 因此經(jīng)最速下降算子的線(xiàn)性搜索運(yùn)算產(chǎn)生的新的個(gè)體繼承了其父代的優(yōu)良品質(zhì), 故可將子代取代父代進(jìn)入代候選群體以待選擇新的子代, 而不需要父代和子代都進(jìn)入子代候選群體。本文的最速下降算子所進(jìn)行的具體運(yùn)算為:最速下降算子過(guò)程R epeat對(duì)群體中第i 個(gè)體產(chǎn)生0, 1間隨機(jī)數(shù)。若該隨機(jī)數(shù)大于既定最速下降算子概率P s 則進(jìn)行下述運(yùn)算計(jì)算f (x k , f (x k 用黃金分割法進(jìn)行線(xiàn)性搜索x k +1=linear 2search (x k , - f (x k 將產(chǎn)生的子代取代父代加入新的子代群體U n til (搜索完整個(gè)群體可以這么說(shuō), 本文混合算法中的遺傳算子雜交算子、變

18、異算子和選擇算子的作用是宏觀(guān)搜索, 處理的是大范圍搜索問(wèn)題, 而最速下降算子中的線(xiàn)性搜索過(guò)程的作用是極值局部搜索, 即微觀(guān)搜索, 處理的是小范圍搜索問(wèn)題和搜索加速問(wèn)題。最速下降算子概率P s 的大小應(yīng)能保證在繁殖(迭代 過(guò)程中, 對(duì)群體中的每個(gè)個(gè)體都有機(jī)會(huì)得到一定次數(shù)的進(jìn)行最速下降算子的線(xiàn)性搜索運(yùn)算。因此, 確定最速下降算子概率P s 的大小需考慮的因素為:1 所優(yōu)化的函數(shù)的線(xiàn)性搜索迭代的收斂性。若其線(xiàn)性搜索迭代收斂較快, 則相應(yīng)的P s 可取小一些。否則, 則取大一些。2 預(yù)定的繁殖代數(shù)(迭代次數(shù) ; 若預(yù)定的繁殖代數(shù)較大, 則相應(yīng)的P s 可取小一些。否則, 則取大一些。314選擇算子、選

19、擇概率和控制個(gè)體間的距離遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法比較, 其之所以其以較大概率求得全局極值, 是因?yàn)槠渌惴ㄋ枷胫畜w現(xiàn)了兩個(gè)基本原則:一為適者生存, 二為選擇的相對(duì)隨機(jī)性。而選擇算子、選擇概率和控制個(gè)體間的距離是體現(xiàn)這些原則的最重要的手段。本文的混合算法對(duì)選擇算子、選擇概率和控制個(gè)體間的距離等的主要考慮是:1 雜交運(yùn)算和變異運(yùn)算后, 子代和父代都同時(shí)都進(jìn)入子代候選群體, 而由于最速下降運(yùn)算的子代較好地繼承了其父代的特性故只有子代進(jìn)入候選群體。2 在選擇下次繁殖的子代群體時(shí), 每次以候選群體中個(gè)體的概率隨機(jī)地選擇兩個(gè)體, 其中適應(yīng)度大26系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐1997年7月的個(gè)體進(jìn)入子代群體, 直至產(chǎn)生完

20、所有繁殖所需的下代群體為止。這樣既可保證有相對(duì)和適直生存, 又使選擇具有一定的隨機(jī)性。3 為避免在繁殖中群體向某個(gè)個(gè)體或有限幾個(gè)個(gè)體快速集中, 降低求得全局極值的概率, 在選擇算子運(yùn)算中還必須計(jì)算群體中各個(gè)體間的距離(常用的有2-范數(shù), -范數(shù), H amm ing 距離等 , 相鄰較近的兩個(gè)個(gè)體必須剔出其一。由于本文的混合算法中的最速下降算子能局部地、細(xì)致地進(jìn)行優(yōu)化搜索, 故在控制群體中個(gè)體間的距離時(shí), 可考慮讓群體中個(gè)體之間的相對(duì)距離較大(一般相對(duì)誤差可在10以上 , 使能在更大的空間范圍內(nèi), 以較大概率搜索全局極值。4數(shù)值計(jì)算和結(jié)束語(yǔ)本節(jié)考慮如下連續(xù)可微函數(shù)的有限區(qū)間的全局極值問(wèn)題f (

21、x =x 21+2x 22-10sin (2x 1 sin (x 3 +0. 5co s (x 1+2x 2+x 21x 23-5sin (2x 1-x 2+3x 3 -10x i 10i =1, 2, 3(4 由上式可知, 該函數(shù)f (x 在其變量空間中存在多極值點(diǎn), 傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法不易求得全局極值。該函數(shù)的全局極值發(fā)生在(-0. 676256, -0. 381582, -1. 282868 , 其全局極值為-12. 765473。本文利用混合算法進(jìn)行了大量計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬計(jì)算, 計(jì)算過(guò)程和結(jié)果如下所述:1 先隨機(jī)產(chǎn)生-10, 10間的900組3維隨機(jī)向量, 每30組作為初始繁殖群體, 共進(jìn)

22、行30次計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如表1所示。表1計(jì)算結(jié)果情況1情況2情況3情況4情況5情況6參數(shù)(P c , P m , P s 0. 9, 0. 1, 0. 50. 9, 0. 1, 0. 10. 9, 0. 1, 0. 010. 9, 0. 1, 0. 00. 0, 1. 0, 0. 00. 0, 0. 0, 1. 0計(jì)算次數(shù)303030303030繁殖代數(shù)50050050015001500500搜索到全局極值的次數(shù)3030221011搜索到全局極值的概率1. 01. 00. 7330. 0330. 00. 367說(shuō)明:1 情況4中P s =0. 0, 則混合算法退化為一般的遺傳算法。2 情況5中P

23、 c =P s =0. 0, P m =1. 0, 則混合算法則相當(dāng)于完全隨機(jī)的M onte 2Carlo 方法。3 由于情況4和情況5收斂較慢, 故數(shù)值模擬時(shí), 每次繁殖1500代。4 情況6中P c =P m =0. 0, P s =1. 0, 則混合算法則相當(dāng)于在30個(gè)初始迭代點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行搜索的最速下降算法。2 同1 的-10, 10間的900組3維隨機(jī)向量, 對(duì)不同的線(xiàn)性搜索概率P s 進(jìn)行計(jì)算, 觀(guān)察P s 對(duì)求得全局極值的概率和迭代收斂性的影響。表2在P c =0. 9, P m =0. 1時(shí), 在30次計(jì)算中不同的P s 得到的全局極值的計(jì)算結(jié)果, 圖1是表2數(shù)據(jù)中求得全局次數(shù)與P

24、 s 關(guān)系曲線(xiàn)。圖2是在同一次計(jì)算中不同的P s 的迭代計(jì)算收斂過(guò)程。由上述數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知, 本文的基于遺傳算法和最速下降法的函數(shù)優(yōu)化混合數(shù)值算法在連續(xù)可微函數(shù)的全局優(yōu)化問(wèn)題運(yùn)用中, 其求得全局極值的概率顯著地大于M on te 2Carlo 完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法、最速下降法和遺傳算法, 而且具有較好的收斂性, 是一種可行的求解連續(xù)可微函數(shù)全局優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值算法。36第7期基于遺傳算法和最速下降法的函數(shù)優(yōu)化混合數(shù)值算法64 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐 表 2計(jì)算結(jié)果 (P c = 0. 9, P m = 0. 1 參數(shù) P s 計(jì)算次數(shù) 繁殖代數(shù) 搜索到全局 極值的次數(shù) 搜索到全局 極值的概率 0. 0

25、30 1500 1 0. 005 0. 01 0. 015 0. 02 0. 035 0. 05 30 500 15 30 500 22 30 500 23 30 500 25 30 500 29 30 500 30 0. 08 30 500 30 0. 1 30 500 30 0. 2 30 500 30 1997 年 7 月 0. 5 30 500 30 0. 033 0. 50 0. 733 0. 767 0. 833 0. 967 1. 0 1. 0 1. 0 1. 0 1. 0 圖 1求得全局次數(shù)與 P s 的關(guān)系曲線(xiàn) 參考文獻(xiàn) 圖 2不同的 P s 的迭代收斂過(guò)程 1 B ra i

26、n F H. So lu tion of non linea r DC netw o rk p rob lem via d ifferen tia l equa tion s . In t. IEEE Conf. on sys2 tem s netw o rk s & com p u ters, O ax tep ex,M ex ico, 1971. 2 L evy A V. T he tunelling a lgo rithm fo r the g loba l m in i m iza tion of function. T he D undee Conf. on N u 2 m

27、erica l ana lysis, D undee, Sco tland, 1971. 3 Ge. R A filled function m ethod fo r find ing a g loba l m in i . T he m izer of a function of severa l va riab les D undee B ienn ia l Conf. on N um erica l ana lysis, D undee, Sco tland, 1983. 4 H a rtnan J K. Som e exp eri m en t in g loba l op ti m iza tion. N ava l Po stg radua te Schoo l, M on terey, Ca lifo rn ia N p sssHH 73041A , 1972.