平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解(精)

1、第3卷第3期2001年9月 遼寧師專學(xué)報(bào)Journal ofLiao ning T eachers CollegeV ol. 3N o. 3Sep. 2001文章編號(hào):1008-5688(2001 03-0008-04平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解王瑞(遼陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼陽(yáng)111004摘 要:探討了一種新的關(guān)于平面度誤差評(píng)定的數(shù)學(xué)模型與算法，研究了平面度誤差評(píng)定的目標(biāo)函數(shù)及約束條件，對(duì)樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了坐標(biāo)變換的處理，建立了評(píng)定平面度誤差 的線性規(guī)劃模型，對(duì)模型的可靠性進(jìn)行了分析，并用二階段單純形法進(jìn)行求解關(guān)鍵詞:平面度誤差評(píng)定；最小區(qū)域；線性規(guī)劃；目標(biāo)函數(shù)；約束條件中圖分類 號(hào):O 241

2、11文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1概述國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)G -.如圖1. 同時(shí),度誤差值即評(píng)定基準(zhǔn)不同時(shí)，得到的平面度誤差值也不同因此, 在評(píng)定實(shí)際面的平面度誤差時(shí)，要求理想要素的位置應(yīng)符合最小條件，即被測(cè)實(shí)際 要素對(duì)其理想要素的最大變動(dòng)量為最小.” 常用的平面度誤差的評(píng)定基準(zhǔn)有以下 四種：(1以通過被測(cè)實(shí)際面上相距最遠(yuǎn)的三點(diǎn)的理想平面為評(píng)定基準(zhǔn)(2以通過被測(cè)實(shí)際面的一條對(duì)角線且與另一條對(duì)角線平行的理想平面為評(píng)定基準(zhǔn)；(3以通過被測(cè)實(shí)際面的最小二乘平面為評(píng)定基準(zhǔn)；(4以符合最小條件的理想 平面為評(píng)定基準(zhǔn)1用以上四種不同的評(píng)定基準(zhǔn)評(píng)定平面度誤差的方法依次稱為平面度誤差的三點(diǎn)法、對(duì)角線法、最小二乘法和最小條件法因?yàn)橛米钚?/p>

3、條件評(píng)定所得到的平面度的 誤差值在上述幾種方法中是最小的，因而是平面度誤差評(píng)定發(fā)生爭(zhēng)議時(shí)的仲裁法.按 最小條件法對(duì)平面度誤差進(jìn)行評(píng)時(shí)對(duì)于包容實(shí)際面的理想包容區(qū)域是否達(dá)到最小要 按下面的判別準(zhǔn)則進(jìn)行判別：(1由兩平行平面包容被測(cè)實(shí)際表面時(shí)，至少有三點(diǎn)或四點(diǎn)相接觸，且一個(gè)最高 (底點(diǎn)在另一包容面上的投影位于三個(gè)最低(高點(diǎn)所形成的三角形內(nèi)，如圖2(a、(b . (2兩個(gè)最高點(diǎn)連線與兩個(gè)最低點(diǎn)連線在包容平面上的投影相交，如圖2(c .收稿日期:20010721作者簡(jiǎn)介:王瑞(19722 ,女，遼寧遼陽(yáng)市人,講師,主要從事機(jī)械制造及其自動(dòng)化 研究,發(fā)表論文3篇1王瑞平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解9(

4、3 一個(gè)最高(低點(diǎn)在另一包容平面上的投影位于兩個(gè)最低(高點(diǎn)的連線上,如圖2(d .代表最高點(diǎn)代表最低點(diǎn)cChina AcudcmicAll rights reserved.1994-2010Journal Ekircnic Publishing House, hltp 一/hvww* enkiat由于符合最小包容區(qū)域判別法的四個(gè)點(diǎn)很難選準(zhǔn)，而選點(diǎn)的準(zhǔn)確與否將會(huì) 使計(jì)算量成倍增加因而本文將在最小條件的基礎(chǔ)上，采用有約束的最優(yōu)化方法，建 立線性的求解平面度誤差的目標(biāo)函數(shù)和一系列的約束條件，并用二階段單純形法求解，和速度方面有所突破2目標(biāo)函數(shù)及約束條件的建立,如圖31.China AcademicA

5、ll rights reserved*1994-2010Journal Ekctrcmic Publishing House, http:/www, W 00W 01W 02 W On W 10W 11W 12 W 1n W 20W 21W 22W 2nW nn則按平面度誤差數(shù)據(jù)處理的解析法，將被測(cè)表面上各測(cè)點(diǎn)對(duì)測(cè)量基準(zhǔn)平面 進(jìn)行坐標(biāo)變換.坐標(biāo)變換可以認(rèn)為是通過兩次旋轉(zhuǎn)完成的.第一次旋轉(zhuǎn)是使各測(cè)點(diǎn)繞 通過起始點(diǎn)W 00且平行于X軸的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),第二次旋轉(zhuǎn)是使各測(cè)點(diǎn)繞通過點(diǎn) W 00且平行于丫軸的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)；則任一測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值與經(jīng)過變換后的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)值 W ij的關(guān)系是：W ij ' =W

6、 ij +JX +IY(1設(shè)變換后任意兩點(diǎn)的高度差為 W ,則 W =W ij -W pq '=(W ij -W pq +(j -q X +(i -p Y(2若W AB , W ab分別為所有測(cè)量值中的一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則目標(biāo)函數(shù)可寫成min Z = W =W AB ' -W ab '=(W AB -W ab +(B -b X +(A -a Y 即10遼寧師專學(xué)報(bào)2001年第3期min Z =X 0+C 1X 1+C 2X 2(3其中X 0=W AB -W ab , C 1=B -b , C 2=A -a(4除以上兩點(diǎn)外，其余各點(diǎn)均為目標(biāo)函數(shù)的約束點(diǎn)并且各點(diǎn)的測(cè)量

7、值在經(jīng)過變換后,仍不得大于W AB '且不得小于W ab '由此形成約束條件,即Wij -W AB 'W0w ij -W ab ' >0(5其中W ij為排除最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)的任意點(diǎn),i =1,2,m=1,2,n.將式(2代入式(5可得約束方程(j -B X +(i - A Y < W AB-W ij(j -B X +(i - a Y > W abW iji =1,2, 3,m , j =1,2,n因而為了與前面的符號(hào)保持一致，用X 1, X 2代替X , 丫貝Umin z =X0+C 1X 1+C 2X 2s. t. a p X 1+a p

8、 X 2< b p p =12,a q X 1+q q 1u , n(6 10-W a =j -B , a p 2=i -A , b p =W AB -W ij , C 1=B -b , C 2=A -a , 1j -b , a q 2=i -a , b q =W ab -W ij因?yàn)樵谄矫娑日`差評(píng)定中旋轉(zhuǎn)矢量無(wú)非負(fù)的要求，在用二階段單純形法求解時(shí) 需要消除自由變量，令X 1=X 1 -X 2 ' , X 2=X 3X 4 其中X 1' >0, X 2 ' >0. X 3 ' >0. X 4 ' >0則此時(shí)的X 1, X 2

9、值可正可負(fù)，為了與前面變量的代號(hào)保持一致，用X 1, X 2, X 3, X 4代替X 1' , X 2 ' , X 3原線性規(guī)劃模型可表示為min Z =X 0+C 1X1-C 1X 2+C 2X 3-C 2x 4 s. t. a p 1(X 1-X 2 +a p 2(X 3-X 4 < b p p =1, 2,ua q 2(X 1-X 2 +a q 2(X 3+X 4> b q q =u +1, u +2,n(7X i > 0, i =1,2, 3, 4.在具體計(jì)算平面度誤差是，為了計(jì)算方便，可以簡(jiǎn)化約束條件.將約束點(diǎn)選為代 表性較強(qiáng)的一些次高點(diǎn) W pq

10、和次低點(diǎn)W ij ,來減小約束方程的數(shù)目，使結(jié)果的計(jì)算 速度加快.另外,本文建立的目標(biāo)函數(shù)中X 0的值與所要求的平面度誤差值的大小有直接的關(guān)系，因而在用標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃二階段單純形解法程序求解時(shí)，可先輸入X 0的值，待計(jì)算出X的最優(yōu)點(diǎn)X 3后再求目標(biāo)函數(shù)的值Z =X 0+Z 3即可.3計(jì)算實(shí)例被測(cè)實(shí)際輪廊面上各測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量值如表2,求平面度誤差值.王瑞平面度誤差線性規(guī)劃模型的建立與求解11表2平面度誤差測(cè)量值單位：ym015204518161661203017122231516根據(jù)文中建立的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，對(duì)本例建立如下的規(guī)劃：表中的最高點(diǎn)為 W 13,最低點(diǎn)為 W 00,代入式(7可得目標(biāo)函數(shù)

11、min Z=61+3(X 1-X 2 (X 3-X 4由表中的次高點(diǎn) W 03, W 21, W 31;次低點(diǎn) W 30, W 23建立約束條件如下:s. t.-X 3+X 4 < 16-2X 1+2X 2+X 3-X 4 < 3-X 1+X 2+X 3-X 4 < 19BX 3+3X 4 邃3X 1-3X 2+2X 3-21求得最優(yōu)值Z =4.本文建立的數(shù)學(xué)模型的形式與標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃的形式基本相同，它是嚴(yán)格按照誤差定義來處理的，不存在由評(píng)定方法 引起的誤差，并且在求解時(shí)應(yīng)用二階段單純形法不存在給定精度的問題 .為進(jìn)一步驗(yàn) 證本算法的計(jì)算精度，又對(duì)下面五組數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算，平面度

12、誤差測(cè)量數(shù)據(jù)(單位：卩m數(shù)據(jù)13454342311222數(shù)據(jù)2256895789126789117767976668數(shù)據(jù)3-64150-64138-67126-81117-38129-65150-63157-38149-85126-41154-24106-35115-54109-31124-22125-77110-62134-61111-19197-36100數(shù)據(jù)4-8218-7815-7310-8418-8211-7315-7217-4110-7817-7415-7116-7519-7819-7114-7419-7416-7610-74-7919-7415（下轉(zhuǎn)16頁(yè)616遼寧師專學(xué)報(bào)200

13、1年第3期此例說明復(fù)合函數(shù)可積但構(gòu)成它的內(nèi)、外函數(shù)均可以是不可積函數(shù)綜合以上例4、例5、例&例7可得出這樣的結(jié)論：兩個(gè)函數(shù)的可積性對(duì)于由它們 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的可積性而言即非充分也非必要注見劉玉鏈，傅沛仁編：數(shù)學(xué)分折講義上冊(cè)第333頁(yè)練習(xí)題8. 2第13題.參考文獻(xiàn)：1 劉玉鏈，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)M.北京:高等教育出版社，1981.2 klambauer , G.數(shù)學(xué)分析M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1981.（責(zé)任編輯任冬（上接11頁(yè)數(shù)據(jù)50018111941016131818110171-7138-6165-5124-3117-01821190-14166-13193- 12

14、129-10122-71-51-2110-2056-1853-1665-26103-24109-21186119-1-31142-191-1- 18126-1331-27190-24150-2210424-16-05-3166-3166-2811-2543-43193-43141-41193-37113-37113-33168-31171結(jié)果如表3所示.表3平面度誤差計(jì)算結(jié)果單位：ym數(shù)據(jù)組最小二乘法步長(zhǎng)加速法特征點(diǎn)法線性規(guī)劃法12. 361.98001.96111.961225. 904. 86874. 86364. 863830. 190. 17560. 14650. 1465443. 8141. 8541.8341. 8459. 2108. 7648. 765從表3的計(jì)算結(jié)果可以看出，線性規(guī)劃法的計(jì)算結(jié)果與特征點(diǎn)的計(jì)算值很接近， 說明了用線性規(guī)劃法可以解出平面度誤差的較為準(zhǔn)確的值，表明了本文建立的模型和算法可靠參考文獻(xiàn)：1 薛嘉慶.最優(yōu)化原理與方法M.北京:冶金工業(yè)出版社，199212 劉平.最小條件平面度誤差快速精確算法J1儀