西工大—高數(shù)答案—曲線積分及曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分第一節(jié) 第一類曲線積分1.設(shè)平面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧,在點(diǎn)處它的線密度為,用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分表示：（1）這曲線弧的長(zhǎng)度;（2）這曲線弧的質(zhì)量;（3）這曲線弧的重心坐標(biāo)：;（4）這曲線弧對(duì)軸,軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;.解 （1）;（2）; （3）, , （4）, , 2.（1）設(shè)為橢圓,其周長(zhǎng)為,求. （2）設(shè)為圓周,求. 解 （1）：,即,從而 =. （2）：,從而=.13.計(jì)算,其中是以,為頂點(diǎn)的三角形. 解 如圖10.1所示,2：,從,圖 10.1 ：,從, ：,從, .從而 =+ = =.4.計(jì)算,其中為曲線. 解1 的參數(shù)方程為 ： . 計(jì)算出,于是 = =8

2、. 解2 在極坐標(biāo)系下,: .計(jì)算出=,于是=8.5.求空間曲線,的弧長(zhǎng). 解 = =,從而 .6.有一鐵絲成半圓形,其上每一點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo),求鐵絲的質(zhì)量. 解 =. =.7.計(jì)算,其中為球面與平面的交線. 解 由于與對(duì),都具有輪換對(duì)稱性,故 =,=.于是=.其中為圓周的周長(zhǎng),顯然平面過球面的球心,所以為該球面上的大圓,即半徑為,故周長(zhǎng)為.又因?yàn)?0,所以=. 第二節(jié) 第二類曲線積分1.計(jì)算,其中為圓周（按逆時(shí)針方向繞行）.解 :,由0到,從而 = = =.2.計(jì)算,其中是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧. 解 =.3.計(jì)算,其中為擺線圖 10.2,上對(duì)應(yīng)從0到的一段弧（圖10.2）. 解

3、 = = =.4.計(jì)算,其中為上半橢圓,從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解 由可得,代入積分式,得 = =2.5.計(jì)算,其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段. 解 的點(diǎn)向式方程為：,從而得參數(shù)方程為,由0到1. = =32.6.計(jì)算,其中為有向閉折線,這里的,依次為點(diǎn),. 解 如圖10.3,:,由0到1. =;:,由0到1;圖 10.3 =;:,由0到1; =1, 故 =.7.有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn),除受重力的作用外,還受到一個(gè)大小等于該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,方向指向原點(diǎn)的力的作用,設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿螺旋線,從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),求重力與力的合力所作的功. 解 依據(jù)題意,力=,故質(zhì)點(diǎn)所受的合力 在螺旋線上,起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于,終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于,即.因此

4、,力所作的功 = =.第三節(jié) 格林公式1.設(shè)平面上閉曲線所圍成的閉區(qū)域?yàn)?將給定的二重積分與其相應(yīng)的曲線積分用線連接起來. (1) (a) (2) 2 (b) (3) (c)2.利用曲線積分計(jì)算星形線,所圍成圖形的面積.圖 10.4解 如圖10.4，因?yàn)?由到.從而 = = = =.3.證明只與的起始點(diǎn)有關(guān),而與所取路徑無關(guān),并計(jì)算積分.解 ,所以積分與路徑無關(guān), 故 = =.或者 = =.4.計(jì)算,其中為從到的正弦曲線. 解 如圖10.5所示,由格林公式 =圖 10.5 = = = =.其中 = = = =.移項(xiàng)解之,得 .注意 本題易犯兩個(gè)錯(cuò)誤：（1）=.產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是,沒有注意格林公式

5、使用時(shí)的條件：,其中是的取正向的邊界曲線.而本題的閉曲線是的取負(fù)向的邊界曲線,所以二重積分前面必須添加負(fù)號(hào).（2）計(jì)算定積分是連續(xù)兩次使用部分積分法后移項(xiàng)解出來的.對(duì)此積分有些同學(xué)束手無策,有些則在連續(xù)使用分布積分法時(shí),每次選取函數(shù),不注意必須是同類函數(shù)（如選三角函數(shù)作為就一直選三角函數(shù),如選作為就一直選）,結(jié)果就出現(xiàn)了恒等式,即前進(jìn)一步又倒退一步,致使積不出來.5. 已知連續(xù),且,計(jì)算其中是以線段為直徑的上半圓周. 解 如圖10.6所示圖 10.6 = = = = = = =. 本題需注意兩點(diǎn)：（1）同上題一樣,使用格林公式時(shí)要注意邊界曲線的方向,本題因是負(fù)向,故二重積分前必須添上負(fù)號(hào); （

6、2）因是抽象函數(shù),不可能直接將積出來,請(qǐng)不要先急于積分,先用分布積分法將表示為,則兩項(xiàng)抽象函數(shù)的定積分就抵消了,問題就可得到解決,因此在解題過程中一定要善于思考,從中發(fā)現(xiàn)解題技巧.6.證明在右半平面內(nèi)為某一函數(shù)的全微分,并求出一個(gè)這樣的函數(shù).解 ,由于,所以為某一函數(shù)的全微分.取定點(diǎn),對(duì)于右半平面上任一點(diǎn),令 = = = =.7.已知曲線積分,其中為圓周 ,取逆時(shí)針方向,求的值,使得對(duì)應(yīng)曲線積分的值最大. 解 顯然,在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),由格林公式 = = = =.,令,解得（依題意設(shè)，故將和舍去）,因?yàn)槭窃趦?nèi)唯一的駐點(diǎn),且=,故在處取得最大值,因此,即當(dāng)積分路徑為時(shí),對(duì)應(yīng)曲線積分的值最

7、大.8.求,其中 （1）為圓周的正向;（2）為橢圓的正向.解 令,則當(dāng)時(shí),有,記所圍成的閉區(qū)域?yàn)? （1）:,即,此時(shí),（如圖10.7(a)所示）.圖 10.7(b)圖 10.7(a) 由于,由格林公式, .（2）:,即,此時(shí),以為圓心,以充分小的為半徑作圓周,由0到,取逆時(shí)針方向（如圖10.7(b)所示）.記和所圍成的閉區(qū)域?yàn)?對(duì)復(fù)連通區(qū)域應(yīng)用格林公式,得 ,從而= = =.注意 （2）中由于點(diǎn)位于所圍成的閉區(qū)域內(nèi),需用復(fù)連通域上的格林公式,以避開點(diǎn),考慮到被積函數(shù)的分母為,故取圓周,有同學(xué)不考慮“洞”,即點(diǎn),直接用格林公式,得到是錯(cuò)誤的.9.求,其中、為正常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧.解 添

8、加從點(diǎn)沿到點(diǎn)的有向直線段,則 = = =.第四節(jié) 第一類曲面積分1.設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面,在點(diǎn)處它的面密度為.用曲面積分表示： （1）這曲面的面積=; （2）這曲面的質(zhì)量=; （3）這曲面的重心坐標(biāo)為=,=,=; （4）這曲面對(duì)于軸,軸,軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=,=,=,=. 解 （1）=. （2）=. （3）=,=,=. （4）=, =, =, =.2342.計(jì)算,其中為平面在第一卦限中的部分. 解 如圖10.8所示，:, =,在積分曲面上,被積函數(shù)=,圖 10.8 ,從而 = =.3.計(jì)算,其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面. 解 如圖10.9所示,圖 10.9:,=,.:,= =

9、=.4.計(jì)算=,其中為錐面被柱面所截成的部分. 解 因?yàn)榉e分曲面關(guān)于坐標(biāo)面（即平面）對(duì)稱,是關(guān)于的奇函數(shù),所以=此外,在上,且在面上的投影為,因此 5.計(jì)算,其中為拋物面在面上方的部分. 解 如圖10.10所示,圖 10.10 =, , = = =.6.計(jì)算,其中為球面上的部分. 解 在面上的投影為圓域：, =,故 =由積分區(qū)域的對(duì)稱性可得：=0，=0,又積分區(qū)域的面積為,故 =.7.求柱面在球面內(nèi)部的部分的表面積.解 由對(duì)稱性,所求面積為其位于第一卦限部分面積的4倍,即,其中曲面為,求得面積元素 =,由,消去,得,由此得在坐標(biāo)面上的投影為: , ,因此,曲面的面積 = = =.8.設(shè)為橢球面

10、的上半部分,點(diǎn),為在點(diǎn)處的切平面,為點(diǎn)到平面的距離,求解 設(shè)為上任意一點(diǎn),則的方程為,從而知=,由 ,有=,=,從而 = = =.第五節(jié) 第二類曲面積分1.當(dāng)是面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí),與二重積分的關(guān)系為 （1）=,（2）=. 解 （1）, （2）.注意 因第一類曲面積分與所給曲面的側(cè)無關(guān),所以(1)中應(yīng)填;而第二類曲面積分與曲面的側(cè)有關(guān),所以(2)中應(yīng)填,有個(gè)別同學(xué)常疏忽這一點(diǎn),只填,這是不對(duì)的.2.計(jì)算,其中為半球面的上側(cè). 解 記:,取前側(cè),:取后側(cè),與在面的投影區(qū)域相同,記為. =+ =0.同理 =0,而 =. 從而 = =+ =0+0+=. 注意 常見的錯(cuò)誤是： =+=或 =. 產(chǎn)生錯(cuò)誤的

11、原因是忽視了將第二類曲面積分化為二重積分時(shí),應(yīng)根據(jù)積分曲面的側(cè)選擇二重積分前的正、負(fù)號(hào). =, =, =. 將第二類曲面積分化為二重積分時(shí),究竟什么時(shí)候二重積分前面寫正號(hào),什么時(shí)候?qū)懾?fù)號(hào),這與所給曲面的側(cè)有關(guān).切記：上側(cè)取正,下側(cè)取負(fù);前側(cè)取正,后側(cè)取負(fù);右側(cè)取正,左側(cè)取負(fù);3.計(jì)算,其中是平面,所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解 如圖10.11所示,其中各自對(duì)應(yīng)于四面體的一個(gè)表面,可表示為1 : 下側(cè); : 左側(cè);1: 后側(cè); : 上側(cè).由于在平面上,故在上的曲面積分為0;圖 10.111同理,在,上的曲面積分也都為0,所以,所求積分=由得方程得,在面上的投影域?yàn)?,于是 = =.4

12、.計(jì)算,其中為球面的外側(cè). 解 由題設(shè),的單位法向量 =.由兩類曲面積分的關(guān)系,可得= = =.5.計(jì)算=,其中為連續(xù)函數(shù),為平行六面體表面的外側(cè). 解 =, =, =,從而 =.注意 本題易犯的錯(cuò)誤是利用高斯公式來解,題目中僅告訴我們,為連續(xù)函數(shù),又如何對(duì)求導(dǎo)呢?6.計(jì)算,其中為連續(xù)函數(shù),是平面在第四卦限部分的上側(cè).解 平面的法線向量為=,方向余弦為,則 = = = = =.第六節(jié) 高斯公式 通量與散度1.設(shè)計(jì),其中為平面,所圍成的立體的表面的外側(cè). 解 由高斯公式, = = 設(shè)該正方體的形心坐標(biāo)為,則,而 ,所以 .從而 =.本題巧妙地利用了重心坐標(biāo)公式,將利用高斯公式后得到的三重積分的計(jì)

13、算轉(zhuǎn)化為計(jì)算,從而使問題得到解決.2.計(jì)算,其中是球面外側(cè)的上半部分. 解 補(bǔ)充平面取下側(cè),= =. 注意 易犯的錯(cuò)誤是 （1）=產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是,沒有注意到僅是球面的上半部分,并非封閉曲面,不能直接用高斯公式.盡管本題中沿曲面的積分：,致使題目答案未受任何影響,但對(duì)不封閉的曲面直接用高斯公式,顯然是不對(duì)的. （2）有同學(xué)在補(bǔ)充平面時(shí),不寫取什么側(cè),這也不妥.3.計(jì)算,其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),為柱面及平面所圍成立體的表面外側(cè).解 利用高斯公式,有= = =.4.計(jì)算,其中為球面的內(nèi)側(cè). 解 = =. 注意 易犯的錯(cuò)誤是 =.這里有兩個(gè)錯(cuò)誤：(1) 不注意高斯公式使用的條件：應(yīng)是空間閉區(qū)域的整個(gè)邊

14、界曲面的外側(cè). 本題所給的閉曲面是球面的內(nèi)側(cè). 因此在將閉曲面上的曲面積分化成三重積分時(shí),前面必須寫上負(fù)號(hào).(2) 將曲面積分與三重積分的計(jì)算法混為一談. 計(jì)算三重積分時(shí),因?yàn)闉榍蝮w：,因此不能將三重積分中的被積函數(shù)用代入,這種做法是常犯的錯(cuò)誤. 只有計(jì)算曲面積分時(shí),才能將曲面方程代入被積函數(shù).5.計(jì)算,其中積分曲面為拋物面的上側(cè).解 令,取下側(cè),則構(gòu)成封閉曲面,取內(nèi)側(cè). 于是= =.由于在平面上,在坐標(biāo)面上的投影為直線段,故=0,在坐標(biāo)面上的投影域?yàn)?于是= =. 所以 =.6.計(jì)算,其中是由及 所圍成的閉曲面的外側(cè),是此曲面的外法線的方向余弦. 解 在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋? = = = =

15、 = = =.7.已知向量場(chǎng),求的散度以及穿過流向指定側(cè)的通量,其中為以及三個(gè)坐標(biāo)面在第一卦限所圍立體全表面的外側(cè). 解 令,則的散度 .通量 = = = =.第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)量與旋度1.利用斯托克斯公式計(jì)算,這里為曲線從軸正向看去,為逆時(shí)針方向. 解 平面的上側(cè)法線的方向余弦為 設(shè)為平面上由圓周所圍成的面域,取上側(cè),相應(yīng)的單位法向量. 于是= = =.2.求向量場(chǎng)的旋度. 解 =.3.求平面向量場(chǎng)沿閉曲線的環(huán)流量,其中是,所圍成的正向回路. 解 環(huán)向量 =.4.利用斯托克斯公式計(jì)算,其中是用平面截球面所得的截痕,若逆軸正向看去,取逆時(shí)針的方向. 解 由斯托克斯公式=,其中是平面上以圓

16、為邊界的平面,其側(cè)與的正向符合右手規(guī)則.顯然,在坐標(biāo)面上的投影為一線段,所以. 在坐標(biāo)面上的投影為一橢圓域,且的法向量與軸成鈍角, 從而= = =.第十章 曲線積分與曲面積分（總習(xí)題）1.填空. （1）設(shè)平面曲線為下半圓周,則曲線積分的值是; （2）向量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度. （3）設(shè)為取正向的圓周,則曲線積分的值是.解 （1）=. （2）=,從而 . （3） =.2.計(jì)算,是以點(diǎn)位頂點(diǎn)的正方形正向邊界. 解 法1 .此法是先將正方形的邊界代入被積函數(shù)后,再用格林公式求解. 法2 因 .從而 = = =0. 法2是分段分別計(jì)算,比較一下還是法1簡(jiǎn)便.但切記不可直接對(duì)用格林公式.請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)腦筋想一下,

17、這是為什么？3.計(jì)算,為螺線,=,由點(diǎn)到點(diǎn)的弧段. 解 = = = =.4.設(shè)為連接點(diǎn)與的某曲線弧,又設(shè)與直線段所包圍圖形的面積等于,計(jì)算曲線積分.(直線段與曲線弧除點(diǎn)外無其它交點(diǎn),曲線弧不與軸相交,且自身不相交). 解 , ,則, 直線段,由2到1,記與所圍成的閉區(qū)域?yàn)?由于要用到格林公式,所以要分兩種情況討論： （1）取逆時(shí)針方向（如圖10.12(a)）圖 10.12= = =. （2）取順時(shí)針方向（如圖10.12（b）所示）. = = =.注意 常見錯(cuò)誤是不討論是取逆時(shí)針方向,還是取順時(shí)針方向,就直接利用了格林公式,這是不對(duì)的.5.計(jì)算曲線積分. （1）是圓周的正向; （2）是曲線的正向

18、.解 , ,當(dāng)時(shí),記曲線所圍成的閉區(qū)域?yàn)? （1） 如圖10.13（a）所示,此時(shí)在所圍成的閉區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),由格林公式： . 圖 10.13c （2）如圖10.13（b）所示,此時(shí)在所圍成的閉區(qū)域上有不連續(xù)點(diǎn),以為圓心,以充分小的為半徑作圓周,取逆時(shí)針方向,記和所圍成的閉區(qū)域?yàn)?對(duì)復(fù)連通域應(yīng)用格林公式,有從而 = = =.6.計(jì)算曲線積分,其中是以為中心,為半徑的圓周,逆時(shí)針方向. 解 , , 當(dāng)時(shí),所圍成的閉區(qū)域記為,究竟在不在以為中心,為半徑的圓內(nèi),要分兩種情況討論：（1）時(shí),（圖10-14(a)）,則;（2）時(shí),作足夠小的橢圓,1取逆時(shí)針方向（圖10.14(b)）1（a）（b）圖 10.14于是由格林公式,有,從而 = =. 注意 易犯錯(cuò)誤是不分兩種情況討論,未注意閉曲線所圍成的閉區(qū)域內(nèi)有無“洞”,即是否為“單連通域”？7.設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且,計(jì)算的值. 解 ,因曲線積分與路徑無關(guān), ,由,則,從而. =.8.質(zhì)點(diǎn)沿著以為直徑的圓周,從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中受變力的作用,的大小等于點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離,其方向垂直于線段且與