【教學(xué)】第六章 第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法(理)

1、編輯ppt編輯ppt1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.編輯ppt編輯ppt1.數(shù)學(xué)歸納法的適證對象數(shù)學(xué)歸納法的適證對象數(shù)學(xué)歸納法是用來證明關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法是用來證明關(guān)于命題的一種方法，若命題的一種方法，若 n0是起始值，則是起始值，則n0是使命題成立的是使命題成立的.正整數(shù)正整數(shù)最小正整數(shù)最小正整數(shù)編輯ppt2.數(shù)學(xué)歸納法的步驟數(shù)學(xué)歸納法的步驟用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，其步驟如下：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，其步驟如下：(1)當(dāng)當(dāng)n時，驗證命題成立；時，驗證命題成立；(2)假設(shè)假設(shè)n時命題成立，推證當(dāng)時命題成立，

2、推證當(dāng)n時時命題也成立，從而推出對所有的命題也成立，從而推出對所有的 命題成立命題成立.k1n0(n0N*)k(kn0，kN*)nn0，nN*編輯ppt思考探究思考探究數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的作用分別是什么？數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的作用分別是什么？提示：提示：數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推叫歸納遞推.兩者缺一不可兩者缺一不可.編輯ppt1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為邊形的對角線為n(n3)條時，第一步檢驗條

3、時，第一步檢驗n等于等于()解析：解析：因為因為n3，所以，第一步應(yīng)檢驗，所以，第一步應(yīng)檢驗n3.答案：答案：C編輯ppt2.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(a1)，在驗證在驗證n1時，等式左端計算所得的項是時，等式左端計算所得的項是()aaa2aa2a3解析：解析：因為當(dāng)因為當(dāng)n1時，時，an1a2，所以驗證，所以驗證n1時，時，等式左端計算所得的項是等式左端計算所得的項是1aa2.答案：答案：C編輯ppt3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”時，從時，從“nk”變到變到“nk1”時，左邊應(yīng)增乘的因式是時，左邊應(yīng)增乘的因

4、式是()k1B.2(2k1)C.D.編輯ppt解析：解析：當(dāng)當(dāng)nk(kN*)時，左式為時，左式為(k1)(k2)(kk)；當(dāng)當(dāng)nk1時，左式為時，左式為(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，則左邊應(yīng)增乘的式子是則左邊應(yīng)增乘的式子是2(2k1).答案：答案：B編輯ppt4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗證左式是第一步應(yīng)驗證左式是，右式是右式是.解析：解析：令令n1則左式為則左式為1，右式為，右式為 .答案：答案：編輯ppt5.記凸記凸k邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸，則凸k1邊形的內(nèi)角和邊形的內(nèi)角和 f(k1)f(k).解析：解析：由凸由凸k邊形變

5、為凸邊形變?yōu)橥筴1邊形時，增加了一個三角邊形時，增加了一個三角形，故形，故f(k1)f(k).答案：答案：編輯ppt編輯ppt1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式問題，關(guān)鍵用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式問題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項，在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項，由由nk到到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項；難點在于尋求等式中怎樣的項；難點在于尋求等式中nk和和nk1時之間時之間的聯(lián)系的聯(lián)系.編輯ppt2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式時，通常采用的用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式

6、時，通常采用的步驟為：步驟為：(1)找出找出f(k1)與與f(k)的遞推關(guān)系；的遞推關(guān)系；(2)把歸納假設(shè)把歸納假設(shè)f(k)g(k)代入；代入；(3)作恒等變形把作恒等變形把f(k1)化為化為g(k1).編輯ppt特別警示特別警示運用數(shù)學(xué)歸納法需注意以下幾點：運用數(shù)學(xué)歸納法需注意以下幾點：nn0時，時，n0的取值；兩個步驟，缺一不可；證的取值；兩個步驟，缺一不可；證nk1成立時成立時必須用上歸納假設(shè)必須用上歸納假設(shè).編輯ppt對于對于nN*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2).思路點撥思路點撥編輯ppt課堂筆記課堂筆記設(shè)設(shè)f(n)1n

7、2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)當(dāng)當(dāng)n1時，左邊時，左邊1，右邊，右邊1，左邊右邊，等式成立；，左邊右邊，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk時等式成立，即時等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，則當(dāng)則當(dāng)nk1時，時，編輯pptf(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3).nk1時等式也成立時等式也成立.由由(1)(2)可知，當(dāng)可知，當(dāng)nN*時等式都成立時等式都成立.編輯ppt用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式一般有兩用數(shù)學(xué)歸納法證明與正

8、整數(shù)有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求證明；二是種具體形式：一是直接給出不等式，按要求證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小給出兩個式子，按要求比較它們的大小.對第二類形式往對第二類形式往往先對往先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，再用數(shù)學(xué)值開始都成立的結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納法證明.編輯ppt特別警示特別警示如果在數(shù)學(xué)歸納法證題的過程中，沒有運如果在數(shù)學(xué)歸納法證題的過程中，沒有運用歸納假設(shè)，不論形式上多么相似，也不能稱此證明方用歸納假設(shè)，不論形

9、式上多么相似，也不能稱此證明方法為數(shù)學(xué)歸納法法為數(shù)學(xué)歸納法.編輯ppt已知數(shù)列已知數(shù)列an，an0，a10，1.求證：當(dāng)求證：當(dāng)nN*時，時，anan1.思路點撥思路點撥編輯ppt課堂筆記課堂筆記(用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明)(1)當(dāng)當(dāng)n1時，因為時，因為a2是方程是方程x2x10的正根，的正根，所以所以a1a2.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，時，0akak1，因為因為編輯ppt(ak21)(ak11)(ak2ak1)(ak2ak11)0，所以所以ak1ak2，即當(dāng)即當(dāng)nk1時，時，anan1也成立也成立.根據(jù)根據(jù)(1)和和(2)，可知，可知anan1對任何對任何nN*都成立

10、都成立.編輯ppt把題設(shè)條件中的把題設(shè)條件中的“an0”改為改為“當(dāng)當(dāng)n2時，時，an1”，其，其余條件不變，求證：當(dāng)余條件不變，求證：當(dāng)nN*時，時，an1an.證明：證明：(1)當(dāng)當(dāng)n1時，因為時，因為a2是是x2x10的負(fù)根，的負(fù)根，所以所以a1a2.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，時，ak1ak，編輯ppt(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即當(dāng)即當(dāng)nk1時，命題成立時，命題成立.由由(1)(2)可知，當(dāng)可知，當(dāng)nN*時，時，an1，(8分分)編輯ppt|xn1xn|xnxn1|()2|xn1xn2|()

11、n1|x2x1|()n1.(11分分)綜上：綜上：nN*時，時，|xn1xn|()n1.(12分分)編輯ppt自主體驗自主體驗設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，對一切，對一切nN*，點，點(n，)都在函數(shù)都在函數(shù)f(x)x的圖象上的圖象上.(1)求求a1，a2，a3的值，猜想的值，猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；納法證明；編輯ppt(2)將數(shù)列將數(shù)列an依次按依次按1項、項、2項、項、3項、項、4項循環(huán)項循環(huán)地分為地分為(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(

12、a17，a18，a19，a20)；(a21)，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為bn，求，求b5b100的值的值.編輯ppt解：解：(1)因為點因為點(n，)在函數(shù)在函數(shù)f(x)x的圖象上，的圖象上，故故n，所以所以Snn2an.令令n1，得，得a11a1，所以，所以a12；令令n2，得，得a1a24a2，所以，所以a24；令令n3，得，得a1a2a39a3，所以，所以a36.編輯ppt由此猜想：由此猜想：an2n.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)當(dāng)n1時，由上面的求解知，猜

13、想成立時，由上面的求解知，猜想成立.假設(shè)假設(shè)nk(k1，且，且kN*)時猜想成立，即時猜想成立，即ak2k成立，成立，則當(dāng)則當(dāng)nk1時，注意到時，注意到Snn2an(nN*)，故故Sk1(k1)2ak1，Skk2ak.兩式相減，得兩式相減，得ak12k1ak1ak，所以所以ak14k2ak.編輯ppt由歸納假設(shè)得，由歸納假設(shè)得，ak2k，故故ak14k22k2(k1).這說明這說明nk1時，猜想也成立時，猜想也成立.由知，對一切由知，對一切nN*，an2n都成立都成立.編輯ppt(2)因為因為an2n(nN*)，所以數(shù)列，所以數(shù)列an依次按依次按1項、項、2項、項、3項、項、4項循環(huán)地分為項循

14、環(huán)地分為(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每一次循環(huán)記為一組每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有由于每一個循環(huán)含有4個括個括號，故號，故b100是第是第25組中第組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和個括號內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律由分組規(guī)律知，由各組第知，由各組第4個括號中所有第個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第同理，由各組第4個括號中所有第個括號中所有第2個個數(shù)、所有第數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組

15、成的數(shù)列個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是也都是編輯ppt等差數(shù)列，且公差均為等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第故各組第4個括號中各數(shù)之和個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第注意到第一組中第4個括號個括號內(nèi)各數(shù)之和是內(nèi)各數(shù)之和是68，所以所以b1006824801988.又又b522，所以，所以b5b1002010.編輯ppt編輯ppt1.如果命題如果命題p(n)對對nk成立，則它對成立，則它對nk2也成立也成立.若若p(n)對對n2也成立，則下列結(jié)論正確的是也成立，則下列結(jié)論正確的是()A.p(n)對所有正整數(shù)對所有正整數(shù)n都成立都成立B.p(n)對所有正

16、偶數(shù)對所有正偶數(shù)n都成立都成立C.p(n)對所有正奇數(shù)對所有正奇數(shù)n都成立都成立D.p(n)對所有自然數(shù)對所有自然數(shù)n都成立都成立編輯ppt解析：解析：由題意由題意nk成立，則成立，則nk2也成立，又也成立，又n2時成時成立，則立，則p(n)對所有正偶數(shù)都成立對所有正偶數(shù)都成立.答案：答案：B編輯ppt2.設(shè)設(shè)f(n)，nN*，那么，那么f(n1)f(n)()A.B.C.D.編輯ppt解析：解析：用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題時，分清等式兩邊的用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題時，分清等式兩邊的構(gòu)成情況是解題的關(guān)鍵構(gòu)成情況是解題的關(guān)鍵.顯然，當(dāng)自變量取顯然，當(dāng)自變量取n時，等式的時，等式的左邊是左邊是n項和的

17、形式項和的形式.答案：答案：D編輯ppt3.下列代數(shù)式下列代數(shù)式(其中其中kN*)能被能被9整除的是整除的是()67k7k1C.2(27k1)D.3(27k)解析：解析：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題.(1)當(dāng)當(dāng)k1時，顯然只有時，顯然只有3(27k)能被能被9整除整除.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時，命題成立，即時，命題成立，即3(27n)能被能被9整除，那么整除，那么3(27n1)21(27n)36.這就是說，這就是說，kn1時命題也成立時命題也成立.答案：答案：D編輯ppt4.猜想猜想11,14(12),149123，第，第n個個式子為式子為.答

18、案：答案：149(1)n1n2(1)n1(123n)編輯ppt5.設(shè)平面內(nèi)有設(shè)平面內(nèi)有n條直線條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點相平行，任意三條直線不過同一點.若用若用f(n)表示這表示這n 條直線交點的個數(shù)，則條直線交點的個數(shù)，則f(4)；當(dāng)；當(dāng)n4時，時， f(n)(用用n表示表示).編輯ppt解析：解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一條直線，交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù)每增加一條直線，交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù).f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.編輯ppt累加，得累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2).f(n)(n1)(n2).答案：答案：5(n1)(n2)編輯ppt6.求證：當(dāng)求證：當(dāng)n1(nN*)時，時，(1