2012中考數(shù)學(xué)壓軸題 函數(shù)等腰三角形問題(一)

1、2012中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(一)例1 如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長(zhǎng)（不必寫解答過程）圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11湖州24”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APD的三個(gè)頂點(diǎn)有四次機(jī)會(huì)可以落在對(duì)邊的

2、垂直平分線上雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)雙擊按鈕“第(2)題”可以切換思路點(diǎn)撥1用含m的代數(shù)式表示表示APD的三邊長(zhǎng)，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備2探求APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解3猜想點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)難題不變的是直角，會(huì)不會(huì)找到不變的線段長(zhǎng)呢？RtOHM的斜邊長(zhǎng)OM是定值，以O(shè)M為直徑的圓過點(diǎn)H、C滿分解答（1）因?yàn)镻C/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4m)（2）在APD中，當(dāng)APAD時(shí)，解得（如圖3）當(dāng)PAPD時(shí)，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時(shí)，解得（如圖5）或

3、（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時(shí)，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為考點(diǎn)伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單：如圖3，當(dāng)APAD時(shí)，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當(dāng)PAPD時(shí)，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過點(diǎn)H，也就是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，COH45°，CGH90°圖6 圖7例2 如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù)

4、的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖像中可以看到，APR的面積

5、有一個(gè)時(shí)刻等于8觀察APQ，可以體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在APAQ的情況；P在CA上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，APQ是等腰三角形思路點(diǎn)撥1把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題2求APR的面積等于8，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們?cè)賮碛懻揚(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP2(