拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題._第1頁
拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題._第2頁
拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題._第3頁
拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題._第4頁
拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題._第5頁
免費(fèi)預(yù)覽已結(jié)束,剩余1頁可下載查看

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、典型例題 例 1 過拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn) P、Q,通過點(diǎn) P 和拋物 線頂點(diǎn) 的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn) M ,如何證明直線 MQ 平行于拋物線的對稱軸? 解:思 路一:求出 M、Q 的縱坐標(biāo)并進(jìn)行比較,如果相等,則 MQ/x 軸,為 此,將方程 聯(lián)立,解出 直線 OP 的方程為 即令,得 M 點(diǎn)縱坐標(biāo) 得證 由此可見,按這一思 路去證,運(yùn)算較為繁瑣 思路二:利用命題 “如果過拋物線 線相交,兩上交點(diǎn)的縱 坐標(biāo)為 、,那么 的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物 ”來證 設(shè)去 x,得到 、 ,則 有結(jié)論 ,并從 ,即 及中消 又直線 OP 的方程為 ,得 因?yàn)?在拋物線上, 所以 從而 這一證法運(yùn)算較小

2、 思路三:直線 MQ 的方程為 的充要條件是 將直線 MO 的方程 和直線 QF 的方程 聯(lián)立, 它的解 x ,y) (就是點(diǎn) P 的坐標(biāo), 消去 的充要條件是點(diǎn) P 在拋物 線上, 得證 這 一證法巧用了充要條件來進(jìn)行逆向思維,運(yùn)算量也較小 說明: 本題中過拋物線焦點(diǎn)的直線與 x 軸垂直時(shí)(即斜率不存在),容易證 明成立 選 題角度:熟悉拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線幾何性質(zhì)的運(yùn)用; 例 2 已知過拋物線 的焦點(diǎn)且 斜率為 1 的直線交拋物線于 A、 B 兩點(diǎn),點(diǎn) R 是含拋物線頂點(diǎn) O 的弧 AB 上一 點(diǎn),求RAB 的最大面積 分析:求 RAB 的最大面積,因過焦點(diǎn)且斜率為 1 的 弦長為定值,故可

3、以 為三角形的底,只要確定高的最大值即可 解:設(shè) AB 所在 的直線方程為 將其代入拋物線方程 ,消去 x 得當(dāng)過 R 的直線 l 平行于 AB 且與 拋物線相切時(shí), RAB 的面積有最大值 設(shè)直線 l 方程為 代入拋物線方程得 由 得 ,這時(shí) 它到 AB 的距離為 RAB 的最大面積為 選題角度: 利用過拋物 線焦點(diǎn)的、 斜率為 1 的弦長為定值求三角形面積的最 大值;例 3 如圖所示:直線 l 過拋物線 的焦點(diǎn),并且與這拋物線相交于 A 、B 兩點(diǎn), 求證:對于這拋物線的任何給定的一條弦 CD,直線 l 不是 CD 的垂直 平分線 分 析: 本題所要證的命題結(jié)論是否定形式, 一方面可根據(jù)垂

4、直且平分列方程 得矛盾 結(jié)論;別一方面也可以根據(jù) l 上任一點(diǎn)到 C、D 距離相等來得矛盾結(jié)論 證法一: 假設(shè)直線 l 是拋物線的弦 CD 的垂直平方線,因?yàn)橹本€ l 與拋物線 交于 A 、B 兩 點(diǎn),所以直線 l 的斜率存在,且不為零;直線 CD 的斜率存在,且不 為 0 設(shè) C、 D 的坐標(biāo)分別為 與則 l 的方程為 直線 l 平分弦 CD CD 的中點(diǎn) 在直線 l 上, 即 ,化簡得: 由 知 CD 的垂直平分線 得到矛盾, 所以直線 l 不可能是拋 物線的弦 證法二:假設(shè)直線 l 是弦 CD 的垂直平分線 焦點(diǎn) F 在直線 l 上, 由 拋物線定義, 到拋物線的準(zhǔn)線 的距離相等 , 與

5、直線 l 和拋物線有兩上交點(diǎn)矛盾,下略 CD 的垂直平分線 l : 選題 角度:利用反證法證明拋物線過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì) 例 4 設(shè)過拋物線 的頂點(diǎn) O 的兩弦 OA、OB 互相垂直, 求拋物 線頂點(diǎn) O 在 AB 上射影 N 的軌跡方程 分析:求與 拋物線有關(guān)的軌跡方程,可先把 N 看成定點(diǎn) 的關(guān)系后再用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 換,簡化運(yùn) 算 解法一:設(shè) ;待求得 來表示,也可結(jié)合幾何知識(shí),通過巧妙替 則: , , 即, 把 N 點(diǎn)看作定點(diǎn), AB 所在的直線方程為: 則顯然 代入 化簡整理 得: , 由、得: 用 x、 y 分別表示 得: ,化簡得解法二:點(diǎn) N 在以 OA、OB 為直徑的兩圓的交點(diǎn)(非原點(diǎn)

6、)的軌跡上,設(shè) , 則以 OA 為直徑的圓方程為: 設(shè),OAOB,則 在求以 OB 為直徑的圓方程時(shí) 以 由得: 代,可得 選題角度:拋物線頂點(diǎn)在特殊弦上的射影軌跡。 習(xí) 題精選 一、選擇題 1過拋物線焦點(diǎn) 的直線與拋物線相交于 , ,則 , 為 ( D 120只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有( D4 條 上兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),若 的方程 是 ) 兩點(diǎn),若 ) , 在拋 物線準(zhǔn)線上的射影分別是 A 45 2過已知點(diǎn) A1 條 3已知 ,且 () B2 條, B60 C90且與拋物線 C3 條是拋 物線 的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn),則直線 A 4若拋物線 弦 B ( C D ( ),則 )的弦 PQ 中點(diǎn)

7、為 的斜率為()A 5已知 足 B 是拋物線 ,則直線 C D 的焦點(diǎn)弦,其坐標(biāo) , 滿 的 斜率是() A B C (,則 D )的焦點(diǎn)弦 的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ) 6已知 拋物線 , A4 B4 的值一定等于( D C 7已知 線相切,則 A C 的圓心在拋物線 的方程是( ) B D 上,且 與 軸及 的準(zhǔn) 8當(dāng) A0 個(gè) 9將直線 時(shí),關(guān)于 B1 個(gè)的方程 D3 個(gè)的實(shí)根的個(gè)數(shù)是( ) C2 個(gè) 左移 1 個(gè)單位,再下移 2 個(gè)單位后,它與拋物線 的值等于( D 9 )的焦半徑 為直徑的圓與 軸位置 ) 僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù) A1 10以拋物線 關(guān)系為( ) A相交 11過拋物線 如果

8、 ,那么 B相離 B 1 ( C7 C相切 D不確 定,兩點(diǎn), 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 長是()A10 12過拋物線 拋物線頂點(diǎn),則 A小于 13拋物線 A (0,0) B 8 (大小( B等于 C6 D4 )的焦點(diǎn)且垂直于 軸的弦為 , 為) C大于 D不能確定 對稱的曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( C( 2,2) D(2,0) ,它到焦點(diǎn) 的距 ) 關(guān)于直線 B( 2, 2) 14已知拋物線 ( )上有一點(diǎn) 離為 5,則 的 面積( 為原點(diǎn))為( ) A 1 B C2 D 15記定點(diǎn) 此拋物線準(zhǔn)線 的距離為 與拋物線 ,則當(dāng) 上的點(diǎn) 之間的距離為 , 到 ) 取最小值時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( A(0,0)

9、16方程 A橢圓 B C(2,2)表示( D) D圓 B雙 曲線 C拋物線 , 它到 17 在 上有一點(diǎn) 小,則 的坐標(biāo)為() A( 2,8) 18設(shè)數(shù)為() A0 19設(shè) 過焦點(diǎn)的() A充分不必要 為的距離與它到焦點(diǎn) 的距離之和最 B( 2,8) C( 2,8) D(2,8) 過焦點(diǎn)的弦,則以 為直徑的圓與準(zhǔn)線交點(diǎn)的個(gè) B1 , C2 為拋物線 D0 或 1 或 2 上兩點(diǎn),則 是 B必要不充分 C充要 D不充分不必要20拋物線垂點(diǎn)為( 1,1),準(zhǔn)線為 ,則頂點(diǎn)為() A 21與 B 關(guān)于 C D 對稱的拋物線是() A 二、填空題 B C D 1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上且通徑(過焦點(diǎn)

10、和對稱軸垂直的弦)長為 6 的拋物線方程是 2.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上,其通徑的兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)連成的三角 形面積為 4, 則此拋物線方程為 3 過點(diǎn) (0, 4) 且與直線 4拋物線 5已知拋物線 方程是被點(diǎn)的弦 相切的圓的圓心的軌跡方程是 所平分的弦的直線方程為 過定點(diǎn)( 2,0),則弦 中點(diǎn)的軌跡 6頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在 軸上、截直線 拋物線方程為 7 已知直線 中點(diǎn)坐標(biāo)是_ 8一條直線 兩點(diǎn),過 , 9中點(diǎn)、與拋物線 _經(jīng)過拋物線 (交于、 所得弦長為 的兩點(diǎn),那么線段 的)的焦點(diǎn) 、與拋物線交于 、 、點(diǎn)分別向準(zhǔn)線 引垂線 , 為 的中點(diǎn),則 ,垂足為 = , ,如果 是拋物線的一

11、條焦點(diǎn)弦,若拋物線 到直線 的距離為 上到直線 ,則 的 10拋物線 的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是11拋物線 12已知圓 = ( 上到直線 距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為 與拋物線 ( )的準(zhǔn)線相切, 則 13 過 = 14拋物線 ) 的焦點(diǎn) 的弦為 , 為坐標(biāo)原點(diǎn), 則 上一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 3,則 點(diǎn) 的縱坐標(biāo)為 15 已知拋物線 上,則 16 過拋物線 的范圍是 ( 的值為 的焦點(diǎn)作一條傾斜角為 ),它的頂點(diǎn)在直線 的弦,若弦長不超過8,則 17 已知拋物線 與橢圓 則該圓的方程為 18拋物線 作 于 的焦點(diǎn)為 ,則梯形 ,準(zhǔn)線 交 有四個(gè)交點(diǎn), 這四個(gè)交點(diǎn)共圓, 軸于 ,過拋物線上一 點(diǎn) 的面積為

12、19 探照燈的反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分, 安裝燈源的位置在拋物線 的焦點(diǎn) 處,如果 到燈口平面的距離恰好等于燈口的 半徑,已知燈口的半 徑為 30cm,那么燈深為 三、解答題 1知拋物線 上求一點(diǎn) ,使 2若 截直線 的面積為 39 所得的弦長 ,試在 軸 的焦點(diǎn)弦長為 5,求焦點(diǎn)弦所在直線方程 ( )的內(nèi) 3已知 是以原點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)的拋物線 接直 角三角形,求 面積的最小值4若 , 為拋物線 的焦點(diǎn), 的坐標(biāo) 為拋物線上任意一點(diǎn),求 的最小值及取 得最小值時(shí)的 5一拋物線拱橋跨度為 52 米,拱頂離水面 6.5 米,一竹排上一寬 4 米,高 6 米的大木箱,問能否安全通過 6拋物線以

13、 軸為準(zhǔn)線,且過點(diǎn) ,( ) 求證不論點(diǎn) 位置如何變化,拋物線頂點(diǎn)的軌跡是橢圓,且離心率為定值7 已知拋物線 ( ) 的焦點(diǎn)為 ,以 為半徑,在 軸上方畫半圓,設(shè)拋物線與半圓交于不 同的兩點(diǎn) 線段 、 的中點(diǎn)求 的值;是否存在這樣的 的 為圓心, 、 , 為 , 使 、 成等差數(shù)列,若存在,求出 和圓 中,一條邊 的值;若不存在,說明理 由 上最近兩點(diǎn)之間的距離 8求拋物線 9正方形 在拋物線 在直線 上,另外 兩頂點(diǎn) 、 上,求正方形的面積 的一條過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分為 , 兩個(gè)部分, 10已知拋物線 求證 寬 11一拋物線型拱橋的跨度為 ,頂點(diǎn)距水面 、高 的貨 箱,問能否安全通過 12已知

14、拋物線 ,求當(dāng) 13 是拋物線 ,求動(dòng)點(diǎn) 上兩點(diǎn) , ( 點(diǎn)距 軸最近時(shí), 江中一竹排裝有 且 在第二象限), 的面積 與 ,以 為原 點(diǎn), 方形 上的動(dòng)點(diǎn),連接原點(diǎn) 的軌跡方程 為邊作正 參考答案: 一、 1C; 2C;3D;4B;5C;6B;7B;8D;9C 10C;11B;12C;13C;14C;15C; 16C;17B;18B;19C; 20A;21D二、1 5 7或 ;2 ;6 ;3 ;4 (在已知拋物線內(nèi)的部分) ; 8( 4, 2); 9 10 ;11;122;134 142;150, 17 三、1先 求得 2 , , ;16 ;18314;1936.2cm ,再求得 或 3設(shè)

15、, ,則由 得 , ,于是 當(dāng),即 , 時(shí), 4拋物線 由拋物線定義得 、 從而 、 的準(zhǔn)線方程 為 , ,過 作 垂直準(zhǔn)線于 ,要使 點(diǎn), 最小, 點(diǎn), 三點(diǎn)必共線,即 的最小值為 垂 直于準(zhǔn)線, ,此時(shí) 與拋物線交點(diǎn)為 點(diǎn)坐標(biāo)為( 2,2)5建立坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為 上, 時(shí), ,則有 6設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 設(shè) 頂點(diǎn)為 ,則 ,則點(diǎn)( 26, 6.5)在拋物線 拋物線方程為 ,當(dāng) ,所以木箱能安全 通過 ,由拋物線定義得 ,所以 ,即 ,為橢圓,離心率 7設(shè) 、 、 為定 值 、 、 ,則 在拋物線的準(zhǔn)線上射影分別為 由拋物線定義得, 又圓的方程為 , 將 代入得 假設(shè)存在這樣的 ,使得 ,由定義知點(diǎn) 矛盾,所以這樣的 不存在 8設(shè) 最小,則 、必在拋物線上,這與點(diǎn) 是弦 的中點(diǎn) 分別是拋物線和圓上的點(diǎn), 圓心 ,半徑為 1,若 也最小,因此 求一點(diǎn) ,使它到點(diǎn) 、 共線,問題轉(zhuǎn)化為在 拋物線上 ,則 的最小值是 的距離最小 .為此設(shè) ,9設(shè) 得 所在直線方程為 , 消去 又直線 與 間距離為 或 從而邊長為 10焦點(diǎn) 為 直于 軸,則 在直線方程為 這時(shí) ,于是 或 ,面積 , , ,當(dāng) 與 軸不垂直時(shí),設(shè) 垂 所 , ,命題也成立 ,設(shè)焦點(diǎn)弦 端點(diǎn) ,結(jié)論顯然成立;當(dāng) ,代入

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論