數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題及參考答案

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì) 考試題及參考答案一、填空題(每小題 3分，共15分)1, 設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布 N(0, 32)，而(X1,X2L ,X9)和(Y1,Y2L 飛)是X | X分別來自X和Y的樣本，則u 79服從的分布是 .解：t(9).L Y2_2, 設(shè)?與?都是總體未知參數(shù)的估計(jì)，且?比？2有效，則?與?的期望與方差滿足.解: E(?)E(?), D(?)D(?).3，"兩個(gè)總體相等性檢驗(yàn)”的方法有 與.解：秩和檢驗(yàn)、游程總數(shù)檢驗(yàn).4, 單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型含有的三個(gè)基本假定是 解：正態(tài)性、方差齊性、獨(dú)立性.5, 多元線性回歸模型 Y X B 中，B的最小二乘估

2、計(jì)是 0 =_.解：了 = (XX ) 1X Y .二、單項(xiàng)選擇題(每小題 3分，共15分)1,設(shè)(Xi,X2,L ,Xn)(n 2)為來自總體N(0,1)的一個(gè)樣本， X為樣本均值，S2為樣本方差，則D_(A) nX : N(0,1) ；(B) nS2 : 2(n)；(C) (n 1)X:S2,若總體X : N(,t(n)；2)，其中(n 1)X；(D)nXi2i 22已知，當(dāng)置信度1保持不變時(shí)，女【:F(1,n 1).1果樣本容量n增大，則的置信區(qū)間B.(A)長(zhǎng)度變大；(B)長(zhǎng)度變??；(C)長(zhǎng)度不變；(D)前述都有可能.3,在假設(shè)檢驗(yàn)中，分別用，表示犯第一-類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率，則當(dāng)樣

3、本容量n 定時(shí)，下列說法中正確的是C.(A)減小時(shí)也減小；(B)增大時(shí)也增大；(C),其中一個(gè)減小，另個(gè)會(huì)增大；(D)(厲和(B)同時(shí)成立.4，對(duì)于單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型，設(shè)ST為總離差平方和，S為誤差平方和，SA為效應(yīng)平方和，則總有 A _(A) St Se Sa ；( B) "S| : 2(r 1)；心誥書Fr)；(D) SA與Se相互獨(dú)立.5,在一元回歸分析中，判定系數(shù)定義為R2ST(A)2R接近0時(shí)回歸效果顯著;2(B) R接近1時(shí)回歸效果顯著;(C)2R接近 時(shí)回歸效果顯著;(D)前述都不對(duì).三、(本題10分)設(shè)總體X : N(1,2)、Y : N(2)，(X1,X2

4、, L ,Xq)和(Y,Y2,L ,Yn2)分別是來自X和Y的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,X、Y和sX、S?分別是它們的樣本均值和樣本方差，證明(X Y) ( 1 s靈1n22)，其中S2(ni 1)Sx (n2 1)SYn2n1 n2 2證明:易知由定理可知由獨(dú)立性和N( 12,n22-)，U (X Y)(1n2g 1)Sx2(m1)，2(n22分布的可加性可得1)SX(n221)Sy .2(n1n22) 2): N(0,1) 1) 由U與V得獨(dú)立性和t分布的定義可得(X Y) ( 12)S F十V/(m n2 2)t(mn22) 四、(本題10分)已知總體X的概率密度函數(shù)為 f(x)0,其中

5、未知參數(shù)其它(X1,X2,L , Xn)為取自總體的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量，并證明該估計(jì)量是無偏估計(jì)量.x0,0,1 -xf (x)dx xe dxn，用 $11 Xin i 1X代替，所以Xi X(2)E(?) E(X) 1nnE(Xi)i 1E(X)，所以該估計(jì)量是無偏估計(jì).五、（本題10分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x; )(1 )x ,0 x其中未知參數(shù)（X1,X2,L Xn）是來自總體 X的一個(gè)樣本，試求參數(shù)的極大似然估計(jì).解:xi1 時(shí)，In L( ) nln( 1)In xi ，令1d ln L()Ini 1xi0，得nnIn xi 1六、（本題10分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(

6、x；)0,x 0；未知參數(shù)x 0,UMVUE1兇兀丄Xn）為總體的一個(gè)樣本，證明X是一的一個(gè)證明：由指數(shù)分布的總體滿足正則條件可得21() EInf(x；)12 ，1的的無偏估計(jì)方差的C-R下界為(丄)2nI()12另一方面E(X) 1，Var( X)即X得方差達(dá)到 C-R下界，故 X是丄的UMVUE七、（本題10分）合格蘋果的重量標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)小于0.005公斤在一批蘋果中隨機(jī)取 9個(gè)蘋果稱重，得0.05下，可否認(rèn)為該批蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差其樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S 0.007公斤，試問：（1）在顯著性水平達(dá)到要求？（ 2）如果調(diào)整顯著性水平0.025，結(jié)果會(huì)怎樣?參考數(shù)據(jù)：0.025 (9) 19.023,爲(wèi)5

7、(9)16.919,爲(wèi)25(8)17.535,2.05 (8) 15.507 .解：(1)H0 : 20.005,n 1 S22，則應(yīng)有:P 22.05 80.005,0.05(8) 15.507,(2)新設(shè) H。：20.005,由 2.02517.535,28 0.0070.005215.6817.535,則接受具體計(jì)算得：2215.6815.507,所以拒絕假設(shè) H°，即認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)未達(dá)0.00520到要求.假設(shè)，即可以認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)達(dá)到要求.八、（本題10分）已知兩個(gè)總體 X與Y獨(dú)立，X（1,12)，Y(2,；），1,2,2的置信未知，（X1,X2,L ,XnJ和（丫1飛,L ,Yn2）分別是來自X和丫的樣本，求2的置信度為12區(qū)間.解：設(shè)sX, SY2分別表示總體X，Y的樣本方差，由抽樣分布定理可知2(n 1)，(n2 1)S2_2(n21)，由F分布的定義可得對(duì)于置信度1(n1 1)SX (n1 1)2F2g 1應(yīng)/ 八 2小(n2 1)2三：F (n111,n1) ，查F分布表找FP F /2(n1/2 (n11,匕1)和 F1/2( m1,匕1）使得1,比1)FF1/2(n11,n2 1)1sX/&F1 / 2 (n1 1, n2 1)2122SX/SY2f 仁(n 1,n1