生活中的最優(yōu)化問題

1、生活中的最優(yōu)化問題新鄉(xiāng)市一中 劉秀輝 初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，事實(shí)上是一個(gè)體驗(yàn)生活、不斷積累生活經(jīng)驗(yàn)的過程。數(shù)學(xué)課程 中許多問題的解決，實(shí)際上就是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)或若干個(gè)選擇的情境，讓學(xué)生在模擬的實(shí)際 背景下學(xué)會解決問題，在解決問題的過程中學(xué)會“選擇”。教師應(yīng)盡可能多地為學(xué)生設(shè)置“真 實(shí)情景”的活動平臺，使學(xué)生在對數(shù)學(xué)實(shí)際問題的探究活動中學(xué)會選擇最佳解決方案。下面 是我在生活中的最優(yōu)化問題的教學(xué)過程中，利用生活中的幾個(gè)實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會 如何做出最佳選擇的。一、創(chuàng)設(shè)問題情景，搭建“選擇”平臺 師：數(shù)學(xué)來源于生活。生活中許多實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，請同學(xué)們看大 屏幕，認(rèn)真觀察老師為大家

2、收集的幾個(gè)生活中的問題，看這些問題背景材料有什么共同特點(diǎn)？背景材料 1：（人教版七年級上冊教材 100頁數(shù)學(xué)活動 1）一種筆記本售價(jià)為 2.3 元/本，如 果買 100本以上（不含 100 本），售價(jià)為2.2元/本。某班級要統(tǒng)一購買練習(xí)本，怎樣購買才劃算？背景材料 2：某地上網(wǎng)有兩種收費(fèi)方式 用戶可以任選其一：（A）記時(shí)制：2.8元/時(shí)（B ）包月制：60元/月此外，每一種上網(wǎng)方式都加收通信費(fèi) 1.2元/時(shí)。你能幫一位新上網(wǎng)客戶策劃一下選用哪種 收費(fèi)方式？背景材料 3：為了使學(xué)生更多地了解牧野文化，新鄉(xiāng)市一中七年級某班班主任帶領(lǐng)學(xué)生準(zhǔn) 備去牧野公園參觀，參觀門票是每張 20元，售票員告訴老師說

3、有兩種優(yōu)惠方式：一種是老師 免費(fèi)，學(xué)生按 7. 25折優(yōu)惠；一種是全體師生都按 7 折優(yōu)惠。如果你是這個(gè)班的班主任，怎樣購 買門票劃算？背景材料 4：某市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)： “全球通”使用者先繳 50元月租費(fèi)， 然后每通話 1分鐘，再付電話費(fèi) 0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話 1分鐘，付話費(fèi) 0.6元。如 果你的爸爸因?yàn)楣ぷ餍枰獎(jiǎng)倓傎徺I一部手機(jī)，你能幫他參考選用哪種收費(fèi)方式嗎？（同學(xué)們邊看邊小聲議論，問題展示完畢，便有同學(xué)站起來回答老師的問題。）生 1：我認(rèn)為這些生活的數(shù)學(xué)問題，都提供了多種方案，讓我們做出選擇。生 2：在選擇這些實(shí)際問題的方案時(shí)要結(jié)合自己的實(shí)際情況，沒有最

4、好，只有更好！ 師：同學(xué)們的見解很獨(dú)到，很精彩！對問題的理解比較到位。讓我們快行動起來，來探 究這些有趣的數(shù)學(xué)問題吧！二、實(shí)際問題探究，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會 “選擇”（考慮到初一學(xué)生自主探究的能力比較薄弱，教師設(shè)計(jì)好一系列有梯度，有層次的問題， 為學(xué)生搭建幾級臺階，從以上四個(gè)生活中常見的問題情景中選取兩個(gè)和學(xué)生生活接近又具有代表性的問題：背景1和背景2,讓學(xué)生在問題的牽引下，通過小組合作，自主探究，研究問 題的解決方案，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提高分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會選擇”。）背景材料1： 一種筆記本售價(jià)為2.3元體，如果買100本以上（不含100本），售價(jià)為2.2元/ 本。（此活動的開展由教師

5、引導(dǎo)學(xué)生從以下四個(gè)問題去探討和解決。）師：請同學(xué)們列式表示買n本筆記本所需錢數(shù)（注意對n的大小要有所考慮）（問題提出，同學(xué)們分小組討論稍許，便有同學(xué)發(fā)表自己小組的看法。）生3:分兩種情況：當(dāng)nW 10（本時(shí)，買n本筆記本所需錢數(shù)為2.3n元；當(dāng)n>100本時(shí)，買 n本筆記本所需錢數(shù)為2.2n元。師：按照這種售價(jià)規(guī)定，會不會出現(xiàn)多買比少買反而付錢少的情況？（這個(gè)問題比較新鮮，有點(diǎn)挑戰(zhàn)性，同學(xué)們討論得比較熱烈。）生4:哪有這樣的好事！生活中都是買的越多付的錢越多，我們認(rèn)為不會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。（該生話音剛落，馬上遭到其他同學(xué)的反對，幾乎是群起而攻之。）生5:真是少見多怪！生活中常出現(xiàn)這種事情，

6、豈不聞薄利多銷”乎！經(jīng)過我們小組研究會出現(xiàn)多買比少買反而付錢少的情況。比如：買100本需230元，而賣101本卻只需222.2元。生6:我們小組通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)多買比少買反而付錢少的情況比較多，比如：買99本需227.7元，而買101本僅需222.2元，102本僅需224.4元，103本僅需226.6元。（看來同學(xué)對這問題已有所研究，但還不夠透徹，需要進(jìn)一步研究！）師:如果班級需要100本這種筆記本，你能有省錢的購買辦法嗎？說出來與大家共享。（此問題比較復(fù)雜，課堂上我們留給學(xué)生充分的活動時(shí)間，讓學(xué)生在小組中探討，研究， 發(fā)表自己的觀點(diǎn)和看法?；顒咏Y(jié)束，每個(gè)小組派一名代表作中心發(fā)言。）生7:通過我

7、們小組研究，發(fā)現(xiàn)筆記本的購買數(shù)量直接影響著這次購買活動的結(jié)果。我們 采用了表格處理數(shù)據(jù)的方法，把有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：買的本數(shù)單價(jià)（元）所需錢數(shù)992.3227.71002.32301012.2222.21022.2224.41032.2226.61042.2228.81052.2231從上表可以看出，能省錢的辦法有四種，可購買101本、102本、103本或104本。但最省 錢的辦法還是購買101本，這樣做既可以達(dá)到目的，又最省錢。（精彩！分析全面，方法新穎，同學(xué)們給與了熱烈的掌聲。）生8:通過上表還可以看出購買99本練習(xí)本也可以做到省錢。生9:我們還發(fā)現(xiàn)購買98本、97本均能省錢，但少于97本

8、就不能省錢了。師：太好了！下面我們就來研究一下什么情況下購買能省錢，省錢的方案分別有多少種？ 請同學(xué)們以小組為單位，共同研究，一起分享。（這個(gè)問題是前一個(gè)問題的延續(xù)和補(bǔ)充，有利于學(xué)生深層次的研究此類問題，打開學(xué)生的 思維，為學(xué)生提供更為廣闊的 選擇”空間。學(xué)生繼續(xù)開展小組活動，在前一問題的方法引導(dǎo) 下，很快結(jié)論浮出水面。）生10：仿照以上問題的解決方案，我們對有關(guān)數(shù)據(jù)通過表格進(jìn)行了整理，發(fā)現(xiàn)：購買96本筆記本，沒有省錢的辦法；購買 97本可以做到省錢，辦法是購買101本。同時(shí)，通過這個(gè)問 題的解決，我們還發(fā)現(xiàn)了購買98本、99本的省錢辦法。購買98本的省錢辦法有兩種：購買101 本或102本；

9、購買99本的省錢辦法有三種：購買101本、102本或者103本。買的本數(shù)單價(jià)（元）所需錢數(shù)962.3220.8972.3223.1982.3225.4992.3227.71002.32301012.2222.21022.2224.41032.2226.61042.2228.81052.2231（生10的回答已經(jīng)比較圓滿了，但同學(xué)們似乎對問題的解決還不夠滿意，小組內(nèi)爭論不 休，馬上有人提出了自己組內(nèi)同學(xué)們的建議。）生11：通過我們小組討論，我們發(fā)現(xiàn)購買練習(xí)本的數(shù)量如果少于 97本，也有省錢的辦法 比如要買96本練習(xí)本，我們可以和同學(xué)們商量看有沒有人需要購買練習(xí)本，然后大家聯(lián)營購 買，豈不是兩全其

10、美之舉嗎？（太有創(chuàng)意了！教師內(nèi)響起了熱烈的掌聲，同學(xué)們被這樣的好點(diǎn)子折服了。教室內(nèi)頓時(shí) 像一鍋燒開了的水沸騰起來，各小組議論紛紛，同學(xué)們爭相發(fā)表自己的看法。）師：同學(xué)們的想象力太豐富了！對問題的理解和處理讓老師敬佩。如果對此題還有興趣， 課后再去探究，并把你們研究的結(jié)果整理出來在全班交流。（以上四個(gè)問題層層深入，一級接一級，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生的思維不斷超越，符合學(xué)生思維發(fā)展的一般規(guī)律和特點(diǎn)。通過師生，生生之間的相互合作、攙扶，加深師生感情，在生活 中形成團(tuán)結(jié)互助的良好氛圍。 ）背景材料 2：某地上網(wǎng)有兩種收費(fèi)方式，用戶可以任選其一（A）記時(shí)制：2.8元/時(shí)（B ）包月制：60元/月此外，每一種上

11、網(wǎng)方式都加收通信費(fèi) 1.2元/時(shí)。（通過對背景材料 1 的探索和研究，同學(xué)們具備了一定的對實(shí)際問題研究的能力，并能在 多種方案中做出優(yōu)化選擇。因此背景材料 2 的處理教師適當(dāng)放手，利用多媒體出示問題，讓同 學(xué)們在問題牽引下自主探究，然后小組派中心發(fā)言人在全班交流解決問題的辦法。 ）問題1:如果設(shè)用戶一個(gè)月上網(wǎng)時(shí)間為t小時(shí)，則A種方式和B種方式的費(fèi)用各是多少？（問題 1 較為簡單，學(xué)生思考片刻便有代表回答結(jié)果。）生 12：根據(jù)材料提供的信息，我們計(jì)算出兩種上網(wǎng)方式的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：A 種方式的費(fèi)用為： 2.8t+1.2t=4t；B 種方式的費(fèi)用為： 60+1.2t。問題 2：如果某用戶一個(gè)月上網(wǎng) 2

12、0小時(shí)選用哪種上網(wǎng)方式比較合算？（在問題 1 的引導(dǎo)下，問題 2的解決學(xué)生較為容易做出選擇。）生13：知道上網(wǎng)時(shí)間，就可以利用問題1中的收費(fèi)方式計(jì)算出A、B兩種方式的費(fèi)用，費(fèi) 用少的就合算。當(dāng)t=20 （小時(shí)）時(shí)A種方式的費(fèi)用為：2.8t+1.2t=4t=80 （元）；B種方式的費(fèi)用為：60+1.2t=84 （元）所以，上網(wǎng)20小時(shí)選用A種方式合算。問題 3：如果用戶計(jì)劃每個(gè)月 120元用于上網(wǎng)，選用哪種方式比較合算？（問題 3在前兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上稍進(jìn)一步，但有了前兩個(gè)問題解決的過程和自身的生活經(jīng) 驗(yàn)，同學(xué)們討論稍許，便有了結(jié)果。）生 14：已知上網(wǎng)費(fèi)用，可以通過上網(wǎng)時(shí)間的長短來判斷選用哪種方

13、式比較合算。設(shè)上網(wǎng) 時(shí)間為t小時(shí)，由每個(gè)月上網(wǎng)費(fèi)用為120元可得：A 種方式 2.8t+1.2t=4t=120t=30B 種方式 60+1.2t=120t=50所以，如果用戶計(jì)劃每個(gè)月120元用于上網(wǎng)，選用B種方式比較合算。 問題 4：如果你作為業(yè)務(wù)經(jīng)理，請你為用戶設(shè)計(jì)一個(gè)方案使用戶能合理的選擇上網(wǎng)方式。 （這是個(gè)有趣的問題，同學(xué)們頗有興致。一個(gè)個(gè)勁頭十足，躍躍欲試，討論的熱火朝天。 ） 生 15：通過以上兩個(gè)問題的研究，我們發(fā)現(xiàn)選擇上網(wǎng)方式的標(biāo)準(zhǔn)與上網(wǎng)時(shí)間密切相關(guān)， 所以用戶選擇上網(wǎng)首先要核算自己的上網(wǎng)時(shí)間，然后再作選擇。具體標(biāo)準(zhǔn)如下：先計(jì)算上網(wǎng)多長時(shí)間的時(shí)候 A種方式和B種方式的費(fèi)用相同由

14、 2.8t+1.2t=60+1.2t得：t 21結(jié)合問題 2和 3 的計(jì)算結(jié)果，可得選上網(wǎng)選擇標(biāo)準(zhǔn)：如果上網(wǎng)時(shí)間約是 21 小時(shí)，則兩種方式收費(fèi)一樣；如果上網(wǎng)時(shí)間超過 21小時(shí)，則選擇 B 種方式收費(fèi)一樣；如果上網(wǎng)時(shí)間約是 21小時(shí)，則選擇 A 種方式收費(fèi)一樣。（以上四個(gè)問題的設(shè)計(jì)由淺入深、由易到難，正反結(jié)合，理論與實(shí)踐對接，旨在引導(dǎo)學(xué) 生加深對生活實(shí)際的認(rèn)識，學(xué)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，并能參與實(shí)際問題工作的策劃 和選擇，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)來源生活，服務(wù)于生活的基本理念。 ）三、回顧總結(jié)，形成經(jīng)驗(yàn)師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？生 16：方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學(xué)工具。我們要學(xué)會利用一元一次方程 選擇最優(yōu)選擇。生 17：數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，我們從小就要樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和決心。生 18：通過這節(jié)