第七章復雜應力和強度理論.

1、青島科技大學機電工程學院裝控系化工設備機械基礎講稿第7章第七章復雜應力和強度理論本章重點內容及對學生的要求：(1)主平面、主應力以及一點處的應力狀態(tài)的概念和三種應力狀態(tài);(2 )構件在二向應力狀態(tài)下的解析法應力分析；(3) 第一、第三和第四強度理論的概念以及相當應力的表達式；(4 )彎扭組合的強度計算。第一節(jié) 應力狀態(tài)與二向應力狀態(tài)分析1、問題的引出(questions前幾章我們討論構件的拉壓、彎曲、剪切與扭轉的強度時，計算的是桿橫截面上的應力， 受力狀態(tài)比較簡單，而當構件內危險點處的應力不是單一的一種應力，或者是過該點的兩個相互垂直的截面內都有正應力，我們該怎么處理？(利用教材Page.12

2、0的例子和相關的圖形進行說明)2、一點的應力狀態(tài)(state of stress at a given point一點處的應力狀況就是指構件受力后，過一點有無數(shù)的截面， 這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)。3、單元體常采用圍繞所要研究點的周圍取出一個微小的正六面體，單元體，在知道了單元體的三個相互垂直的平面上的應力后，單元體上的任一斜截面上的應力都可以通過截面法求出。單元體定義：構件內點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用正六面體。單元體的性質：a、在兩個相互平行面上，應力均布；b、在兩個相互平行面上，應力相等。如果單元體的截取方法改變，那么單元體上的應力也隨之改變

3、(如圖7-1所示)，但是之間存在一定的關系，我們可以從一個單元體上的應力求出另一個與其方位不同的單元體上 的應力。此即本節(jié)的理論基礎。 即主要解決從利用靜力平衡求得已知應力狀態(tài)的構件橫截面 相關的單元體確定主平面的位置和應力狀況。圖7 1不同方位截取的單元體上的應力圖72三個主應力表示一點的應力狀態(tài)134、一點處的應力表達和主平面在單元體上的三個相互垂直的平面上即可能是正應力，剪應力或者二者的組合。主單元體(the principal body):各個側面上的剪切應力均為零的單元體；主平面(the principal plane):單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主應力(the princi

4、pal stress):作用在主平面上的正應力，分別用GGf 3表示;主應力的大小規(guī)定：主平面上沒有剪應力，由三對主平面構成的單元體來表示一點 的應力狀態(tài)時，便于各種受力構件的比較，所以截取單元體時，就不任意截取，而是截取由三個主平面構成的單元體，該單元體稱為主應力單元，且規(guī)定 比較時有正負號的規(guī)定。5、應力狀態(tài)分類單向應力狀態(tài)(Unidirectional State of Stress ):兩個主應力為零，例如受軸向拉壓 的直桿及純彎曲直梁內各點的應力狀況；平面(二向)應力狀態(tài)(Plane State of Stress): 一個主應力為零，化工容器器壁各 點的應力狀態(tài)，以及受橫力彎曲(剪

5、切彎曲)的梁內除了上下邊緣各點以外其他 各點的應力狀態(tài)，受扭的圓軸，除了軸線上各點以外任意點的受力狀態(tài)；空間(三向)應力狀態(tài)(Three Dimensional State of Stress):三個主應力均不為零;6、二向應力狀態(tài)分析(1)斜截面上的應力列平衡方程:二：.dA Xy（dAcos ： ）s in： - ；x（dAcos： ） cos：- yx（dAsi n ： ）cos：y（dAs in ： ）s in： =0、Ft =0.dAXy（dAcos ： ）cos ： - cx（dAcos ）sin :.yx（dAsin ： ）sin：；y（dAsin： ）cos： =01（1 co

6、s2：）利用三角函數(shù)公式2 1 sin（1cos2：）2sin ： cos： = sin2：并利用剪應力互等定律.yx =劉可得:1 1_2（二x F_；y）cos2：-.xy sin2：（匚x _；y）sin2 ：亠、cos2j正負號規(guī)定：正應力：拉為正；反之為負；切應力：使微元順時針方向轉動為正；反之為負； a角：由x軸正向逆時針轉到斜截面外法線時為正；反之為負。在分析二向應力，可以采取解析法和作圖法，教材中給出的是作圖法，本講義主要以介紹解 析法為主，作圖法留給學生自學。（2）解析法分析二向應力狀態(tài)確定正應力極值:-xy sin 2：1 1廠廠 2（J F 2匚 iy）cos2：從上式知

7、，任一斜截面上二:.和均為：的函數(shù)，故最大正應力和最小正應力所在平面，有:-；y）sin 2- - 2“ cos2： - 0設=： 0時，上式值為零，即：-（；x -；y）sin20 - 2cos20 =0oanyC-2X2yXT+o-T-2-即最大及最小正應力所在的平面就是剪應力等于零的平面，也就是主平面。tan 2 02xy由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力所在平面。max+2機-"+4©，-minXx"yf+4Xy（3）例題1 :一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。已知：二x =60MPa，xy - -30MPa, ；y 一 -40M

8、Pa- -30。試求（1）斜面上的應力；（2）主應力、主平面；（3）繪出主應力單元體。解:(1) ：斜面上的應力Ga =77 二 ycos2： xysin2：2 xy60_40 60 40+22 cos(-60 ) 30sin(-60 ) =9.02MPa60 + 40qq.xy cos2sin(-60 )-30cos(-60 ) - -58.3MPa2(2 )主應力、主平面二 max二，2-68.3MPamin =2xy 二-48.3MPaG =68.3MPa,48.3MPa主平面的方位:tg2： o2 xy匚x _；y60 0.6，60 40=15.590 =105.5：0 =15.5 ,

9、 ： 0主應力；3方向：0 =105.5，主應力單元體為:(3 )圖解法的兩向應力分析(自學，詳見幻燈片)(4) 廣義虎克定律(不講推導，只給學生一個簡單的印象)廣義胡克定律的一般形式:xyxy- tztxCx) 1Yy)yz1zxzx/1（5）在三應力狀態(tài)下一點的最大剪應力：.max = = 2，作用在與二1，二3作用的主平面2各成45°角的斜截面上。第二節(jié)強度理論1、強度理論簡介引導學生復習桿件基本變形下的強度條件。在工程實際中，多數(shù)構件上的危險點都處于復雜應力狀態(tài)。在復雜應力狀態(tài)下，材料的破壞與三個主應力有關。由于三個主應力之間的比例是多種多樣的，因此通過許多試驗來確定材料在各

10、種應力狀態(tài)下的極限應力是很困難和不現(xiàn)實的。所以問題的解決是根據一定的試驗資料和實踐經驗，提出關于破壞的假說。（就像星云學說一樣與古埃及金字塔）強度理論（起源于failure by lost strength ）:根據實踐中復合受力下構件或材料的破壞現(xiàn) 象，對之進行科學分析， 尋找導致破壞的主要原因，然后根據某一主要因素，利用簡單試驗 的結果，來建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。強度理論的實質是用來說明材料在復雜應力狀態(tài)下，在什么條件下發(fā)生屈服，在什么條件下發(fā)生斷裂。（1）斷裂破壞：一般無明顯的塑住變形即發(fā)生斷裂，破壞面比較

11、粗糙，且多發(fā)生在最大正應力截面上。例如鑄鐵受拉伸時在橫截面上的斷裂及受扭時在與軸線成45°角的截面上的斷裂。（2）屈服破壞（也叫流動破壞）材料發(fā)生顯著的塑性變形，以致構件不能正常工作，有的 可能發(fā)生剪斷。例如低碳鋼受拉伸時所發(fā)生的屈服現(xiàn)象；受扭時發(fā)生的屈服及最后 剪斷的現(xiàn)象，破環(huán)面比較平滑，且多發(fā)生在最大剪應力截面上。2、經典強度理論（1 ）最大拉應力理論（第一強度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素取決于最大拉應力，是最大拉應力達到極限值，是人們依據早期使用的脆性材料（天然石塊、磚塊與鑄鐵）易于斷裂提出的，適用于承受拉應力的脆性斷裂機理的解釋。此理論在 17世紀就提出，為最早的強度理論，故

12、稱為第一強度理論。破壞條件：J強度條件：G _二-卜In-1 構件危險點的最大拉應力;；b 極限拉應力，由單拉實驗測得。（2）最大伸長拉應變理論（第二強度理論）無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生脆性斷裂，都是由于微元內的最大拉應變（線變形） 達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數(shù)值。破壞條件：1 . b- '' （；2 * ；3）即- '1 （；2；3） -強度條件：. b二1 -丄（二 26）- =二n實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受 拉壓比第一強度理論更接近實際情況。（3 ）最大切應力理論（第三強度理論）18世紀后期，隨著人們開始使

13、用鋼材等塑性材料，無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要 發(fā)生屈服，都是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。破壞條件：1 -3 =二 s強度條件：- ；3 一一- 1實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料 在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。（；FaxO）未考慮匚2的影響，試驗證實最大影響達 15%。不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。（4）形狀改變比能理論（第四強度理論）20世紀初提出：無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生屈服，都是由于微元的最大形 狀改變比能達到一個極限值。破壞條件：Gm -2）2（二2 -匚3）2 （匚3 -）2 =2；發(fā)強度條件：2

14、匕 7）3）“一）實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。（5）強度理論的統(tǒng)一表達式：J空二匚r,1 -咗匚-r,3 -3 -6,2 乂1（匚2二3）打刁f6,4 =t）2 +S _6）2 +®3 _W）2 牛（6）小結對于脆性材料，常發(fā)生的是脆性斷裂，應采用第一強度理論。對于塑性材料常因塑性流動而失去工作能力，所以多采用第三或第四強度理論。從第三或第四強度理論的相當應力表達式（式7-12和7-16）中我們可以發(fā)現(xiàn)，它們都和主應力的差值有關。這就是說，如果材料是處在三向拉伸應力狀態(tài)下，假 如三個主應力的差值又不隨著主應力的增加而增大的話，那么

15、不論是塑性材料還 是脆性材料，當主應力增大到一定程度時，都將發(fā)生脆性段裂破壞。所以在三向 拉伸應力狀態(tài)下，應采用第一強度理論。在三向壓縮應力狀態(tài)下，正應力對破壞不起直接作用，但剪應力會隨著三個主應 力的增加而增大，當剪應力達到一定的程度的時，不管是塑性材料還是脆性材料， 都會出現(xiàn)塑性流動或剪斷，所以應采用第三或第四強度理論。3、組合變形強度計算構件在組合變形下的應力計算，一般可以用疊加原理來進行。工程上常見的兩種組合變形下的強度問題：彎曲與拉伸或壓縮的組合；扭轉和彎曲的組合；彎曲與拉伸或壓縮組合比較簡單。下面重點講解扭轉和彎曲的組合；一圓軸左端固定，右端自由（圖7-14a），在自由端的橫截面內

16、作用著一個外力偶m和一個通過軸心的橫向力力 P。力偶m使軸發(fā)生扭轉變形；而橫向力P使軸發(fā)生彎曲變形。對一般 的軸來說由橫向力 P弓I起的剪力不大，可以忽略不計，這樣該圓軸的變形就是扭轉和彎曲 的組合。的迦即叫尸_級;pi圖3扭彎組合該軸的扭矩圖和彎矩圖示圖3 （b）、（c），固定端截面是危險截面，在該截面上作用著扭轉剪應力和彎曲正應力c，它們均是沿半徑線性分布（3d）。最大剪應力作用在該圓截面的外圓周上，其值為:，最大彎曲正應力出現(xiàn)在在該截面上，下邊緣G和C2兩點p處，其值為：MWz,因此，在此截面上的Ci和C2點冋時作用著最大剪應力和最大正應力，這兩點都是危險點，應該根據這兩個點中的一個來建

17、立強度條件。按照前述截取單元體原則，截取 C,點的單元體，在這個單元體的兩對平面上所作用的正應力和剪應力均屬已知，但這兩對平面非主平面（圖3）,因此需要進一步計算主應力。從圖3 （e）所示的單元體可見，Ci點是處于二向應力狀態(tài)， 可以利用應力圓或式 （7-4）和式（7-5）求出這兩個主應力。從圖7-15所示的應力圓不難看出，在所求得兩個應力中有一個是負值，所以C1點處的三個入應力分別為：=12 亠 4.2 丨2二 2-3=0=1書 24 2 丨2主應力求出來以后， 就可以用不同的強度理論來建立強度條件了。對于用塑性材料制成的軸，應該第三或第四強度理論來建立強度條件，如用第三強度理論，則強度條件為：5 二；丁1- I（7-17）Wp = 2W，則扭彎組將G、二3代入，化簡后得：Cr C2 4.2 卜I 如果將；:=和.=代入（7-17）式，并注