第七章復(fù)雜應(yīng)力和強(qiáng)度理論.

1、青島科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院裝控系化工設(shè)備機(jī)械基礎(chǔ)講稿第7章第七章復(fù)雜應(yīng)力和強(qiáng)度理論本章重點(diǎn)內(nèi)容及對(duì)學(xué)生的要求：(1)主平面、主應(yīng)力以及一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的概念和三種應(yīng)力狀態(tài);(2 )構(gòu)件在二向應(yīng)力狀態(tài)下的解析法應(yīng)力分析；(3) 第一、第三和第四強(qiáng)度理論的概念以及相當(dāng)應(yīng)力的表達(dá)式；(4 )彎扭組合的強(qiáng)度計(jì)算。第一節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)與二向應(yīng)力狀態(tài)分析1、問(wèn)題的引出(questions前幾章我們討論構(gòu)件的拉壓、彎曲、剪切與扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度時(shí)，計(jì)算的是桿橫截面上的應(yīng)力， 受力狀態(tài)比較簡(jiǎn)單，而當(dāng)構(gòu)件內(nèi)危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力不是單一的一種應(yīng)力，或者是過(guò)該點(diǎn)的兩個(gè)相互垂直的截面內(nèi)都有正應(yīng)力，我們?cè)撛趺刺幚恚?利用教材Page.12

2、0的例子和相關(guān)的圖形進(jìn)行說(shuō)明)2、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(state of stress at a given point一點(diǎn)處的應(yīng)力狀況就是指構(gòu)件受力后，過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)的截面， 這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。3、單元體常采用圍繞所要研究點(diǎn)的周圍取出一個(gè)微小的正六面體，單元體，在知道了單元體的三個(gè)相互垂直的平面上的應(yīng)力后，單元體上的任一斜截面上的應(yīng)力都可以通過(guò)截面法求出。單元體定義：構(gòu)件內(nèi)點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體，常用正六面體。單元體的性質(zhì)：a、在兩個(gè)相互平行面上，應(yīng)力均布；b、在兩個(gè)相互平行面上，應(yīng)力相等。如果單元體的截取方法改變，那么單元體上的應(yīng)力也隨之改變

3、(如圖7-1所示)，但是之間存在一定的關(guān)系，我們可以從一個(gè)單元體上的應(yīng)力求出另一個(gè)與其方位不同的單元體上 的應(yīng)力。此即本節(jié)的理論基礎(chǔ)。 即主要解決從利用靜力平衡求得已知應(yīng)力狀態(tài)的構(gòu)件橫截面 相關(guān)的單元體確定主平面的位置和應(yīng)力狀況。圖7 1不同方位截取的單元體上的應(yīng)力圖72三個(gè)主應(yīng)力表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)134、一點(diǎn)處的應(yīng)力表達(dá)和主平面在單元體上的三個(gè)相互垂直的平面上即可能是正應(yīng)力，剪應(yīng)力或者二者的組合。主單元體(the principal body):各個(gè)側(cè)面上的剪切應(yīng)力均為零的單元體；主平面(the principal plane):單元體上沒(méi)有切應(yīng)力的面稱為主平面；主應(yīng)力(the princi

4、pal stress):作用在主平面上的正應(yīng)力，分別用GGf 3表示;主應(yīng)力的大小規(guī)定：主平面上沒(méi)有剪應(yīng)力，由三對(duì)主平面構(gòu)成的單元體來(lái)表示一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，便于各種受力構(gòu)件的比較，所以截取單元體時(shí)，就不任意截取，而是截取由三個(gè)主平面構(gòu)成的單元體，該單元體稱為主應(yīng)力單元，且規(guī)定 比較時(shí)有正負(fù)號(hào)的規(guī)定。5、應(yīng)力狀態(tài)分類單向應(yīng)力狀態(tài)(Unidirectional State of Stress ):兩個(gè)主應(yīng)力為零，例如受軸向拉壓 的直桿及純彎曲直梁內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀況；平面(二向)應(yīng)力狀態(tài)(Plane State of Stress): 一個(gè)主應(yīng)力為零，化工容器器壁各 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，以及受橫力彎曲(剪

5、切彎曲)的梁內(nèi)除了上下邊緣各點(diǎn)以外其他 各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，受扭的圓軸，除了軸線上各點(diǎn)以外任意點(diǎn)的受力狀態(tài)；空間(三向)應(yīng)力狀態(tài)(Three Dimensional State of Stress):三個(gè)主應(yīng)力均不為零;6、二向應(yīng)力狀態(tài)分析(1)斜截面上的應(yīng)力列平衡方程:二：.dA Xy（dAcos ： ）s in： - ；x（dAcos： ） cos：- yx（dAsi n ： ）cos：y（dAs in ： ）s in： =0、Ft =0.dAXy（dAcos ： ）cos ： - cx（dAcos ）sin :.yx（dAsin ： ）sin：；y（dAsin： ）cos： =01（1 co

6、s2：）利用三角函數(shù)公式2 1 sin（1cos2：）2sin ： cos： = sin2：并利用剪應(yīng)力互等定律.yx =劉可得:1 1_2（二x F_；y）cos2：-.xy sin2：（匚x _；y）sin2 ：亠、cos2j正負(fù)號(hào)規(guī)定：正應(yīng)力：拉為正；反之為負(fù)；切應(yīng)力：使微元順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)； a角：由x軸正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時(shí)為正；反之為負(fù)。在分析二向應(yīng)力，可以采取解析法和作圖法，教材中給出的是作圖法，本講義主要以介紹解 析法為主，作圖法留給學(xué)生自學(xué)。（2）解析法分析二向應(yīng)力狀態(tài)確定正應(yīng)力極值:-xy sin 2：1 1廠廠 2（J F 2匚 iy）cos2：從上式知

7、，任一斜截面上二:.和均為：的函數(shù)，故最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面，有:-；y）sin 2- - 2“ cos2： - 0設(shè)=： 0時(shí)，上式值為零，即：-（；x -；y）sin20 - 2cos20 =0oanyC-2X2yXT+o-T-2-即最大及最小正應(yīng)力所在的平面就是剪應(yīng)力等于零的平面，也就是主平面。tan 2 02xy由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。max+2機(jī)-"+4©，-minXx"yf+4Xy（3）例題1 :一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知：二x =60MPa，xy - -30MPa, ；y 一 -40M

8、Pa- -30。試求（1）斜面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。解:(1) ：斜面上的應(yīng)力Ga =77 二 ycos2： xysin2：2 xy60_40 60 40+22 cos(-60 ) 30sin(-60 ) =9.02MPa60 + 40qq.xy cos2sin(-60 )-30cos(-60 ) - -58.3MPa2(2 )主應(yīng)力、主平面二 max二，2-68.3MPamin =2xy 二-48.3MPaG =68.3MPa,48.3MPa主平面的方位:tg2： o2 xy匚x _；y60 0.6，60 40=15.590 =105.5：0 =15.5 ,

9、 ： 0主應(yīng)力；3方向：0 =105.5，主應(yīng)力單元體為:(3 )圖解法的兩向應(yīng)力分析(自學(xué)，詳見(jiàn)幻燈片)(4) 廣義虎克定律(不講推導(dǎo)，只給學(xué)生一個(gè)簡(jiǎn)單的印象)廣義胡克定律的一般形式:xyxy- tztxCx) 1Yy)yz1zxzx/1（5）在三應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)的最大剪應(yīng)力：.max = = 2，作用在與二1，二3作用的主平面2各成45°角的斜截面上。第二節(jié)強(qiáng)度理論1、強(qiáng)度理論簡(jiǎn)介引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)桿件基本變形下的強(qiáng)度條件。在工程實(shí)際中，多數(shù)構(gòu)件上的危險(xiǎn)點(diǎn)都處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料的破壞與三個(gè)主應(yīng)力有關(guān)。由于三個(gè)主應(yīng)力之間的比例是多種多樣的，因此通過(guò)許多試驗(yàn)來(lái)確定材料在各

10、種應(yīng)力狀態(tài)下的極限應(yīng)力是很困難和不現(xiàn)實(shí)的。所以問(wèn)題的解決是根據(jù)一定的試驗(yàn)資料和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，提出關(guān)于破壞的假說(shuō)。（就像星云學(xué)說(shuō)一樣與古埃及金字塔）強(qiáng)度理論（起源于failure by lost strength ）:根據(jù)實(shí)踐中復(fù)合受力下構(gòu)件或材料的破壞現(xiàn) 象，對(duì)之進(jìn)行科學(xué)分析， 尋找導(dǎo)致破壞的主要原因，然后根據(jù)某一主要因素，利用簡(jiǎn)單試驗(yàn) 的結(jié)果，來(lái)建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。強(qiáng)度理論的實(shí)質(zhì)是用來(lái)說(shuō)明材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，在什么條件下發(fā)生屈服，在什么條件下發(fā)生斷裂。（1）斷裂破壞：一般無(wú)明顯的塑住變形即發(fā)生斷裂，破壞面比較

11、粗糙，且多發(fā)生在最大正應(yīng)力截面上。例如鑄鐵受拉伸時(shí)在橫截面上的斷裂及受扭時(shí)在與軸線成45°角的截面上的斷裂。（2）屈服破壞（也叫流動(dòng)破壞）材料發(fā)生顯著的塑性變形，以致構(gòu)件不能正常工作，有的 可能發(fā)生剪斷。例如低碳鋼受拉伸時(shí)所發(fā)生的屈服現(xiàn)象；受扭時(shí)發(fā)生的屈服及最后 剪斷的現(xiàn)象，破環(huán)面比較平滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力截面上。2、經(jīng)典強(qiáng)度理論（1 ）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素取決于最大拉應(yīng)力，是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值，是人們依據(jù)早期使用的脆性材料（天然石塊、磚塊與鑄鐵）易于斷裂提出的，適用于承受拉應(yīng)力的脆性斷裂機(jī)理的解釋。此理論在 17世紀(jì)就提出，為最早的強(qiáng)度理論，故

12、稱為第一強(qiáng)度理論。破壞條件：J強(qiáng)度條件：G _二-卜In-1 構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力;；b 極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得。（2）最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要發(fā)生脆性斷裂，都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形） 達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。破壞條件：1 . b- '' （；2 * ；3）即- '1 （；2；3） -強(qiáng)度條件：. b二1 -丄（二 26）- =二n實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受 拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。（3 ）最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）18世紀(jì)后期，隨著人們開(kāi)始使

13、用鋼材等塑性材料，無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要 發(fā)生屈服，都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。破壞條件：1 -3 =二 s強(qiáng)度條件：- ；3 一一- 1實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料 在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。（；FaxO）未考慮匚2的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá) 15%。不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。（4）形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）20世紀(jì)初提出：無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要發(fā)生屈服，都是由于微元的最大形 狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。破壞條件：Gm -2）2（二2 -匚3）2 （匚3 -）2 =2；發(fā)強(qiáng)度條件：2

14、匕 7）3）“一）實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。（5）強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：J空二匚r,1 -咗匚-r,3 -3 -6,2 乂1（匚2二3）打刁f6,4 =t）2 +S _6）2 +®3 _W）2 牛（6）小結(jié)對(duì)于脆性材料，常發(fā)生的是脆性斷裂，應(yīng)采用第一強(qiáng)度理論。對(duì)于塑性材料常因塑性流動(dòng)而失去工作能力，所以多采用第三或第四強(qiáng)度理論。從第三或第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式（式7-12和7-16）中我們可以發(fā)現(xiàn)，它們都和主應(yīng)力的差值有關(guān)。這就是說(shuō)，如果材料是處在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，假 如三個(gè)主應(yīng)力的差值又不隨著主應(yīng)力的增加而增大的話，那么

15、不論是塑性材料還 是脆性材料，當(dāng)主應(yīng)力增大到一定程度時(shí)，都將發(fā)生脆性段裂破壞。所以在三向 拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)采用第一強(qiáng)度理論。在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，正應(yīng)力對(duì)破壞不起直接作用，但剪應(yīng)力會(huì)隨著三個(gè)主應(yīng) 力的增加而增大，當(dāng)剪應(yīng)力達(dá)到一定的程度的時(shí)，不管是塑性材料還是脆性材料， 都會(huì)出現(xiàn)塑性流動(dòng)或剪斷，所以應(yīng)采用第三或第四強(qiáng)度理論。3、組合變形強(qiáng)度計(jì)算構(gòu)件在組合變形下的應(yīng)力計(jì)算，一般可以用疊加原理來(lái)進(jìn)行。工程上常見(jiàn)的兩種組合變形下的強(qiáng)度問(wèn)題：彎曲與拉伸或壓縮的組合；扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合；彎曲與拉伸或壓縮組合比較簡(jiǎn)單。下面重點(diǎn)講解扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合；一圓軸左端固定，右端自由（圖7-14a），在自由端的橫截面內(nèi)

16、作用著一個(gè)外力偶m和一個(gè)通過(guò)軸心的橫向力力 P。力偶m使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形；而橫向力P使軸發(fā)生彎曲變形。對(duì)一般 的軸來(lái)說(shuō)由橫向力 P弓I起的剪力不大，可以忽略不計(jì)，這樣該圓軸的變形就是扭轉(zhuǎn)和彎曲 的組合。的迦即叫尸_級(jí);pi圖3扭彎組合該軸的扭矩圖和彎矩圖示圖3 （b）、（c），固定端截面是危險(xiǎn)截面，在該截面上作用著扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力c，它們均是沿半徑線性分布（3d）。最大剪應(yīng)力作用在該圓截面的外圓周上，其值為:，最大彎曲正應(yīng)力出現(xiàn)在在該截面上，下邊緣G和C2兩點(diǎn)p處，其值為：MWz,因此，在此截面上的Ci和C2點(diǎn)冋時(shí)作用著最大剪應(yīng)力和最大正應(yīng)力，這兩點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)這兩個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)來(lái)建

17、立強(qiáng)度條件。按照前述截取單元體原則，截取 C,點(diǎn)的單元體，在這個(gè)單元體的兩對(duì)平面上所作用的正應(yīng)力和剪應(yīng)力均屬已知，但這兩對(duì)平面非主平面（圖3）,因此需要進(jìn)一步計(jì)算主應(yīng)力。從圖3 （e）所示的單元體可見(jiàn)，Ci點(diǎn)是處于二向應(yīng)力狀態(tài)， 可以利用應(yīng)力圓或式 （7-4）和式（7-5）求出這兩個(gè)主應(yīng)力。從圖7-15所示的應(yīng)力圓不難看出，在所求得兩個(gè)應(yīng)力中有一個(gè)是負(fù)值，所以C1點(diǎn)處的三個(gè)入應(yīng)力分別為：=12 亠 4.2 丨2二 2-3=0=1書(shū) 24 2 丨2主應(yīng)力求出來(lái)以后， 就可以用不同的強(qiáng)度理論來(lái)建立強(qiáng)度條件了。對(duì)于用塑性材料制成的軸，應(yīng)該第三或第四強(qiáng)度理論來(lái)建立強(qiáng)度條件，如用第三強(qiáng)度理論，則強(qiáng)度條件為：5 二；丁1- I（7-17）Wp = 2W，則扭彎組將G、二3代入，化簡(jiǎn)后得：Cr C2 4.2 卜I 如果將；:=和.=代入（7-17）式，并注