等腰直角三角形在解題中的應(yīng)用

1、等腰直角三角形在解題中的應(yīng)用等腰直角三角形在解題中的應(yīng)用等腰直角三角形是一種特殊的直角三角形，它集等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)于一身， 此外還形成了自己的獨特性質(zhì)，正是等腰直角三角形的這些特殊性質(zhì)，使其應(yīng)用非常的廣泛下面就其應(yīng)用作出歸納，供學(xué)習(xí)時借鑒 1. 直角頂點在正方形的中心旋轉(zhuǎn)生成等腰直角三角形例1 ( 2018?遵義)如圖1,正方形 ABCD勺對角線交于點 0,點E、F分別在AB BC±( AEV BE),且/ EOF=90 , 0E DA的延長線交于點 M, OF AB的延長線交于點 N,連接MN(1) 求證：OM=ON(2) 若正方形 ABCD勺邊長為4, E為0M的中點

2、，求 MN的長.解析：(1)因為四邊形 ABCD是正方形，所以 OA=OB / DAO=45，/ OBA=45 ,所以/ OAMWOBN=135，因為/ AOM乂 BOM9O。，/ BON丄 BOIM90。，所以/ AOMM BON 所以 OAIWA OBN(ASA，所以 OM=O；(2)如圖1,過點O作OHLAD于點H,因為正方形的邊長為 4，所以O(shè)H=HA=AM=2解法1 :因為E為OM的中點，所以HM=4則OM='承=2 J5，所以MNp OM=2'10 .解法 2 :因為 OAIWA OBN 所以 AM=BN=2 所以 AN=AB+BN=6,所以 MN= 2262 =2

3、 J0 .點評：第一問的解答抓住一個要點即充分利用已知的直角和正方形對角線構(gòu)成的直角，構(gòu)造符合同角的余角相等的原理等式，為三角形的全等提供一個有力的“角”要素第二問實質(zhì)是不論三角形 MOF怎樣運動，三角形 MON都是等腰直角三角形，這一點很重要 在求斜邊MN的長時，可以選擇不同方法，為變式思維訓(xùn)練提供“場所”2. 直角三角形在平移中生成等腰直角三角形例2 （2018?呼和浩特）如圖 2,已知正方形 ABCD點M是邊BA延長線上的動點（不與點 A重合），且 AMk AB,A CBE由厶DAM平移得到.若過點 E作EFU AC, H為垂足，則有以下 結(jié)論：點M位置變化，使得/ DHC=60時，2B

4、E=DM無論點 M運動到何處，都有HM無論點M運動到何處，/ CHMP定大于135° .其中正確結(jié)論的序號為 .n解析：由題可得，AM=BE所以AB=EM=AD因為四邊形 ABCD是正方形，EH1 AC,所以/ AHE=90，/ MEHM DAHM EAH=45°，所以 EH=AH 所以 MEHA DAH（ SAS , 所以/ MHEM DHA MH=DH所以/ MHDM AHE=90，所以 DHM是等腰直角三角形，所以DM=/'2 HM所以正確;當/ DHC=60 時，由/ HCD45° ,得/ HDC=5° ,所以/ HDA=5所以/ ADM

5、=45 - 15° =30°,所以在 Rt ADM中, DM=2AM 即卩 DM=2BE 所以正確；因為/ CHM是 HAM的一個外角，且/ HAM=35°,根據(jù)三角形的外角大于任何一個不相鄰的 內(nèi)角，所以M CHWM HAM所以/ CHW135°，所以正確；所以答案為：.點評：表面看是兩個直角三角形在平移運動，細心觀察，才發(fā)現(xiàn)還有兩個更特殊的等腰直角三角形在背后助陣，一個是等腰直角三角形AHE 一個是等腰直角三角形 DHM且它們的形狀不會因為點M的變化而改變，多么奇妙的組合.3. 矩形中延長線段生成等腰直角三角形例3 如圖1,在矩形ABCD中, M B

6、AD的平分線交 BD于點E,AB=1, M CAE=15 ,貝U BE（）A.V B.3- C.2 -1 D.3 -12（2018年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽 9年級試題）5 / 5解法1:延長AE交BC于點F,過點E作BC的垂線，垂足為點 G由題意，得/ BAF=Z FAD玄 AFB=Z GEF=45 ,BF=AB=1, / EBG2 ACB2 CAD=30 ,設(shè) BE=x,貝U EG=GF=X , BG=2xx，因為BG+GF=BF所以2+£2x=1解得x= . X3-1 即 BE=3 -1,所以選 D.所以AC=2,AD= 3 ,根據(jù)引理，得BE _ BAED = AD,所以BE _1_BD

7、 1+ ,3點評：構(gòu)造兩個等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，其次，熟練運用30°角的性質(zhì)也是解題的一個突破口 解法2:因為/ BAD的平分線交 BD于點E, AB=1, / CAE=15 ,所以/ DAC=30 ,AC 2所以 BE= -= 3 -1,所以選 D.1爲爲1長點評：先利用30°角的性質(zhì)求得矩形長與對角線的長，后利用角的平分線分線段成比例定理可完美解答解法3:如圖2,延長AE交BC于點F,由題意，得/ BAF=Z FAD玄 AFB=Z GEF=45 ,BF=AB=CD=1, / EBG2 ACB玄 CAD=30 ,所以 AC=BD=2,AD= 3，因為 AD/ BF,

8、所以 AEDA FEB所以BE = BFED = AD,所以BEED+BE=bf=BF+ADBF,所以 Bl BF+AD,所以BE所以BE=3 -1,所以選D.C點評：解答時，主要從三角形相似入手，充分利用了比例的基本性質(zhì)，解法也比較簡潔 作垂線生成等腰直角三角形過點E作EF丄AB垂足為點F,由題意，得/ FAE=Z AEF=45 ,AB=1, / DBC2 ACB2 CAD2 FEB= 30° ,設(shè) BE=2x,貝U BF=x, EF=AF= 3 x，因為 AF+BF=AB所以 x+ _ 3 x =1 , 解得x=31,所以BE= 3 -1,所以選D.2點評：此法的構(gòu)想源于解直角三

9、角形中的作高法化斜為直，這是一種非常有效的方法，要學(xué)會借鑒，學(xué)會使用4. 直線與坐標系相交生成等腰直角三角形(2018年?淮安)如圖3,在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點 A(- 2, 6),且與x軸相交于點B,與正比例函數(shù) y=3x的圖象相交于點 C,點C的橫坐標為1.(1 )求k、b的值；(2)若點D在y軸負半軸上，且滿足1S三角形COD = 3 S三角形BOC，求點3D的坐標.C的坐標，根據(jù)點A、C的坐標，利分析：(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點用待定系數(shù)法即可求出 k、b的值;（2）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，設(shè)點 D的坐標為（0, m

10、 （ m1v 0），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S三角形COD二一S三角形BO C , 即可得出關(guān)于 m的一元一次3方程，解之即可得出 m的值，進而可得出點 D的坐標.解：（1）當x=1時，y=3x=3，所以點C的坐標為（1 , 3）.將A （- 2, 6）、C （1 , 3）代入 v=kx+b 得：-2k+ b=6 解得 k 1 ；入 you，得.k+ b = 3b = 4；（2）當y=0時，有-x+4=0，解得：x=4,所以點B的坐標為（4, 0）.1設(shè)點D的坐標為（0, m）（ m< 0）,因為S三角形cod = S三角形boc，3111一即-m= X X 4X 3,解得：m=- 4，所以點D的坐標為（0,- 4）.232點評：正確處理好兩個三角形面積之間的關(guān)系，充分利用三角形的面積計算公式將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成用m表示的一元一次方程式解題的關(guān)鍵.跟蹤練習(xí)：如圖，在 ABC中，已知/ C=90° ,AC