梯形模型及其應(yīng)用

1、對(duì)數(shù)學(xué)模型化的一點(diǎn)思考王鴻（蘭州市第82中730060）湯敬鵬（蘭州市第57中730070）笛卡爾曾經(jīng)提出過(guò)這樣的設(shè)想：任何問(wèn)題都可化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題都可化為代數(shù)問(wèn)題，任何代數(shù)問(wèn)題都可化為方程問(wèn)題，通過(guò)解方程就可解決所有的問(wèn)題。笛卡爾的設(shè)想雖然沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，但笛卡爾的設(shè)想?yún)s給我們一種啟示，是否可以對(duì)一些不同類型的問(wèn)題找出一種統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型加以解決。本文所探討的是以梯形模型來(lái)解決幾種不同類型的問(wèn)題。引理1：如果在梯形ABCD中，ABCD，AC與BD交于O點(diǎn)，E、F分別在AD、BC上，EFAB，那么EF經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的充要條件是AEEDABDC證明：必要性：ABEFCDEF過(guò)O點(diǎn)AEEDAOOCAB

2、CD充分性：設(shè)E、F分別在AD、BC上，EFAB且EF過(guò)O點(diǎn)由必要性必有AEEDABDC又AEEDABDCE在AD上E與E重合同理：F與F重合EF過(guò)O點(diǎn)引理2：在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb，AC與BD交于O點(diǎn)，E、F分別在AD、BC上，EFAB，如果EF經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，那么點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)且EF證明：ABEFCDEF過(guò)O點(diǎn)EODCAOACBOBDOFDCEOOF點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)又EODCAOACOFABOCACABaCDb即OEEF其中也稱為a與b的調(diào)和平均數(shù)。將引理中的梯形特殊化為一直角梯形ABCD（如圖2），ABCD，ADAB，E、F分別在AD、BC上，BFABa，CFCDb（ab

3、），M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)（由于，所以E比M更靠近A點(diǎn)）。此梯形還有一些獨(dú)特的性質(zhì)：性質(zhì)1：連結(jié)MB、MC，則BMC90°（如圖3）；由此可知，以BC為直徑的圓與AD相切于點(diǎn)M。性質(zhì)2：連結(jié)AF、DF，則AFD90°（如圖4）；性質(zhì)3：連結(jié)MF，則MFBC；MB、MC分別是ABC、BCD的平分線（如圖5）由性質(zhì)2、3可知，以AD為直徑的圓與BC相切于點(diǎn)F。引理所表明的性質(zhì)及上述直角梯形模型有一定的應(yīng)用價(jià)值。證明重要不等式：例1：若a、bR，則證明：如圖6構(gòu)造上述直角梯形，AB=a，CD=b，由引理及性質(zhì)3可知EF，MF，MN根據(jù)直角三角形中直角邊小于斜邊可知：當(dāng)ABC

4、D時(shí)，梯形退化為矩形，此時(shí)E與M、F與N重合，則EFMFMN（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“”號(hào)）證明平面幾何問(wèn)題：例2：已知：如圖7，在ABC中，AD是內(nèi)角平分線，AG是外角平分線，求證： 證明：延長(zhǎng)BA至C，使ACAC，作AEDG且AEDG，連結(jié)GE，作CGBG，CG交GE的延長(zhǎng)線于GAD是ABC的內(nèi)角平分線ADCCAEDG且AEDG四邊形ADGE為平行四邊形ADGG CCGGCGBG四邊形CGGC為平行四邊形CGCGAG為ABC的外角平分線由引理1、2可知AE即此例為文中例題，原證法利用三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)證明。證明解析幾何問(wèn)題：例3：已知F為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)，AB為過(guò)F的直線，A、B在拋物線

5、上，A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2證明：不妨設(shè)y1>0、y2<0，分別過(guò)點(diǎn)A、B向準(zhǔn)線作垂線，垂足為C、D，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，則yC=y1，yD=y2根據(jù)性質(zhì)2及射影定理，必有EF2CE·DE即p2=y1(-y2)y1y2=-p2例4：已知過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），且F分AB的比為，e為離心率，求證：cos證明：如圖10，l為右準(zhǔn)線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，E為l與x軸的交點(diǎn)，AGl，BHl，ACx軸，設(shè)AGa，BHb由于AFeAG，BFeBH，所以，根據(jù)引理，F(xiàn)E，亦知當(dāng)傾斜角（0，）時(shí)，cos當(dāng)傾斜角（，）時(shí)，cos（）coscos當(dāng)時(shí)，cos0，1，滿足cos此例題來(lái)自文，原證明方法運(yùn)用了大量的坐標(biāo)運(yùn)算，非常復(fù)雜，運(yùn)用本文性質(zhì)，計(jì)算量明顯減少。另外，原文中結(jié)論為“cos” ，由本文證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)模型化是將不同的問(wèn)題情境置于同樣的數(shù)學(xué)模型之中，用相同的數(shù)學(xué)模型解決不同背景的問(wèn)題，這屬于一種聯(lián)系性的思維方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們?nèi)绻軌蚪?jīng)常性的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這樣的思考，將有助于學(xué)生知識(shí)形成系統(tǒng)化與條理化，這對(duì)學(xué)生能力的提升是不無(wú)裨益的。參考文獻(xiàn)：江春蓮，彭翕成，