平行四邊形的性質(zhì)及判定典型例題

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定典型例題1.平行四邊形及其性質(zhì)A-方7C例1如圖，0是ABCD對角線的交點. OBC的周長為59,BD=38 , AC=24，貝0 AD=假設(shè)厶OBC與厶OAB的周長之差為 15,那么AB= ABCD的周長=分析：AC,可得BC,再由平行四邊形對邊相等知 AD=BC，由平 行四邊 形的對角線互相平分，可知 OBC與厶OAB的周長之 差就為BC與AB之差，可得 AB，進(jìn)而可得 ABCD的周長.對角線互相平分 OBC 的周長 =OB + OC + EC=19 12 BC=59BC=28ABCD 中， BC=AD平行四邊形對邊相等AD=28 OBC 的周長 - OAB 的周長=

2、OBOCBC-OBOA+AB =BC-AB=15 AB=13 ABCD 的周長=ABBCCDAD=2ABBC=21328=82說明：此題條件中的“ OBC占厶OAB的周長之差為15 用符號語言表示出來后，便容易發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)，即BC與AB之差是15 .例2判斷題(1) 兩條對邊平行的四邊形叫做平行四邊形.()(2) 平行四邊形的兩角相等.()(3) 平行四邊形的兩條對角線相等.()(4) 平行四邊形的兩條對角線互相平分.()(5) 兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的垂線段叫 做兩條平行線的距離.()(6) 平行四邊形的鄰角互補.()分析：根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)判斷.解：(1)錯“兩組

3、對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形是兩組對 邊，而不是兩條對邊.如圖四邊形ABCD，兩條對邊AD / BC .顯 然四邊形ABCD 不是平行四邊形.(2) 錯平行四邊形的性定理 1， “平行四邊形的對角相等. 對 角是指四邊形中設(shè)有公共邊的兩個角，也就是相對的兩個角.(3) 錯平行四邊形的性質(zhì)定理 3， “平行四邊形的對角線互相平 分. 一般地不相等. (矩形的兩條對角線相等 ) .(4) 對根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定理 3 可判斷是正確的.(5) 錯線段圖形，而距離是指線段的長度，是正值正確的說法是： 兩條平行線中，一條直線上任一點到另一條直線的垂線段的 長度叫做這兩條平行線的距離.(6) 對由

4、定義知道，平行四邊形的對邊平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知平行四邊形的鄰角互補.例3 如圖1，在ABCD中，E、F是AC上的兩點.且AE=CF 求證：ED / BF .分析：欲址 DE / BF，只需/ DEC= / AFB,轉(zhuǎn)證=/ ABFCDF,因 ABCD ,那么有 AB CD ,從而有/ BAC= / CDA 再由 AF=CF得AF=CE .滿 足了三角形全等的條件.證明:AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在 ABCD中AB / CD 平行四邊形的對邊平行/ BAC= / DCA 兩直線平行內(nèi)錯角相等AB=CD平行四邊形的對邊也相等 ABF CDE (SAS )/ AFB= / DC

5、EED II BF 內(nèi)錯角相等兩直線平行 說明：解決平行四邊形問題的根本思想是化為三角形問題不處理.例4如圖在 ABC中DE II BC II FG，假設(shè)BD=AF、求證;DE + FG=BC A 人分析1：要證DE + FG=DC由于它們是平行線，由平行四邊形定義和性質(zhì).考慮將DE平移列BC上為此，過E 或D 作 EH II AB 或 DM II AC，得到 DE=BH、只需證 HC=FG , 因 AF=BD=E , H Z CEH Z = A. Z AGF =Z C 所以 AFG EHC .此方法稱為截長法.分析2 :過C點作CK II AB交DE的延長線于K，只需證FG=EK , 轉(zhuǎn)證

6、AFG CKE .ZxFR證法1：過E作EH II AB交于HT DE II BC 四邊形DBHE是平行四邊形 平行四邊形定義DB=EHDE=BH平行四邊形對邊也相等 又 BD=AFAF=EH/ BC II FG / AGF= Z C 兩直線平行同位角相等 同理 Z A= Z CEH AFGEHC(AAS)FG=HC BC=BH+HC=DE=FG即 CE+FG二BD證法2:.過C作CK II AB交DE的延長線于K./ DE II BC 四邊形DBCK是平行四邊形平行四邊形定義 CK=BD DK=BC平行四邊形對邊相等又 BD=AFAF=CKCK II AB/ A= / ECK 兩直線平行內(nèi)錯

7、角相等BC II FG/ AGF= / AED 兩直線平行同位角相等 又/ CEK= / AED 對頂角相等/ AGF= / CEK AFGCKE AAS FG=EKDE+EK=BC二 DE+FG=BC例 5 如圖 ABCD 中，/ ABC= / 3 A，點 E 在 CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延長線于 F，假設(shè) AD=1，求 BF的長.D】? jr /|rJ/cJr /A:ipIf /jr?分析：根據(jù)平行四邊形對角相等，鄰角互補，可得/C= / F=45 進(jìn)而由勾股定理求出CF，再根據(jù)平行四邊形對邊 相等，得 BF 的長解：在 ABCD 中，AD II BC/ A +Z ABC=

8、18 0 兩直線平行同旁內(nèi)角互補/ ABC=3 / A/ A=45 , Z ABC=13 5 / C= Z A=45 平行四邊形的對角相等EF丄CD.Z F=45 直角三角形兩銳角互余 EF=CE=1/ AD=BC=1例 6 如圖 1，ABCD 中，對角線 AC 長為 10cm，Z CAB=30A解：過點C作CH丄AB，交AB的延長線于點H .(圖2)/Z CAB=30 S ABCD = AB CH = 6 X 5=30(cm2)答：ABCD的面積為30cm2 .說明：由于=底X高，題設(shè)中AB的長，須求出與底AB相應(yīng)的高，由于此題條件的制約，不便于求出過點D的高，應(yīng)選擇過點C作高.例7如圖，

9、E、F分別在 ABCD的邊 CD、BC上，且EF / BD分析：運用平行四形的性質(zhì)，利用三角形全等，將其底同咼的二角形.證明：將EF向兩邊延長分別交 AD、AB的延長線于G、H.ABCD D / E AB / DEG / = BHF 兩直線平行同位角相等 / GDE / = DAB 同上AD / BC/ DAB= / FBH 同上 / GDE / = FBH/ DE / BH , DB / EH四邊形BHED是平行四邊形DE=BH平行四邊形對邊相等 S GDE= S FBH 全等三角形面積相等 GE=FH全等三角形對應(yīng)邊相等 S ACE=S AFH 等底同高的三角形面積相等 S ADE = S ABF說明：平行四邊形的面積等于它的底和高的積.即S=a ha . a可以是平行四邊形的任何一邊， h必須是a邊與其 對邊的距離.即 對應(yīng)的高，為了區(qū)別，可以把高記成 ha，表 明它所對