微分與積分思想

1、微分與積分思想【摘要】微分與積分是微積分中極其重要的兩個(gè)數(shù)學(xué)思想，它們是數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實(shí) 的連接橋梁，關(guān)系著社會(huì)的進(jìn)步與科技開展，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣 泛的應(yīng)用，微積分的開展更有助于這些應(yīng)用的不斷開展。因此，研究微分與積 分具有重要意義?！娟P(guān)鍵詞】 微分、積分、思想一、微分與積分的意義微分和積分是數(shù)學(xué)中極其摘要的兩個(gè)數(shù)學(xué)模塊，它們?cè)跀?shù)學(xué)分析和應(yīng)用中起主要 作用。微分是對(duì)一個(gè)函數(shù)的微分，以求函數(shù)的微小變化，積分是函數(shù)對(duì)因變量在某 個(gè)取值范圍內(nèi)積累，當(dāng)變化范圍是有限時(shí)，稱為定積分，當(dāng)變化范圍是無(wú)限時(shí)，稱 為不定積分。如果

2、把函數(shù)當(dāng)成一杯水，微分就是將這杯水蒸發(fā)，得到成個(gè)的水分子， 從而了解其本質(zhì)；而積分就是把有限或者無(wú)限杯水集中求其總量，比方，定積分就 是將有限杯水集中得到其體積，質(zhì)量，作用，從而了解了解其具體成效。二、微分與積分的思想解釋微積分的誕生與開展共經(jīng)歷了三個(gè)時(shí)期：牛頓與萊布尼的以無(wú)窮小為根底的時(shí)期；柯西的動(dòng)態(tài)極限概念為根底的時(shí)期；威爾拉斯以靜態(tài)的量為概念的根底時(shí)期。這三 個(gè)時(shí)期是微積分思想碰撞很劇烈的時(shí)期，也是微積分得到較大突破的時(shí)期，是研究 的量變產(chǎn)生質(zhì)變的時(shí)期其中就莊子的文章“天下篇中有這么一句“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭 包含了微積分思想。在微積分中，微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。

3、微分可以近似地描述當(dāng)函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時(shí)，函數(shù)的值是怎樣改變的。比方設(shè)函數(shù)y二f(x) 在xo的鄰域內(nèi)有定義，xo及x0 + Ax在此區(qū)間內(nèi)。如果 函數(shù)的 增量 A y二f(x o + A x) ? f(x o)可表示為A y二A A x + o( A x)(其中A是不依賴于 Ax的常數(shù))，而o( AxO)是比 Ax高階的 無(wú)窮小，那么稱函數(shù)f(x) 在點(diǎn)x0是可微的，且 AAx稱作函數(shù)在點(diǎn) xo相應(yīng)于自變量增量 Ax的微分，記 作dy，即dy = AA x。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要局部，且是Ax的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性描述( X 0)。例1求(1)分析：這個(gè)函

4、數(shù)是無(wú)法通過代數(shù)變形求出結(jié)果的，它只能通過微分的定義進(jìn)行剖析從中得到微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個(gè)微 小的量，同時(shí)又表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的 運(yùn)算。微分是 微分學(xué) 轉(zhuǎn)向積分學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵概念。微分的思想就是一個(gè)線性近似的觀念，利用幾何的語(yǔ)言就是在函數(shù)曲線的局部， 用直線代替曲線，而線性函數(shù)總是比擬容易進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運(yùn)用微分方法進(jìn)行近似計(jì)算的根本思想。在積分中，積分有兩種，即定積分和不定積分。定積分是微分的逆運(yùn)算，即 知道了函數(shù)的

5、 導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，定積分作用遠(yuǎn)不止如此，它被大量應(yīng)用于求和，例如求 曲邊三角形 的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的 性質(zhì)決定的。一個(gè) 實(shí)變函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分，是一個(gè)實(shí)數(shù)。它等于該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在b的值減去在a的值。一個(gè)函數(shù)的不定積分(亦稱原函數(shù))指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。其中：F(x) + C/二f(x) o定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分那么是求其原函數(shù)，它們又為何通稱為積分要靠牛頓 和萊布尼茨的奉獻(xiàn)了，把本來毫不相關(guān)的兩個(gè)事物緊密的聯(lián)系起來了。牛頓一 布萊尼公式：設(shè)f ( x)在a，b上連續(xù)，F(xiàn) (x )是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，即F(x) ' =f(x),那么有/ abf (x) dx=F( a) -F(b)=F (x) I ab通過公式可以知道，它們的通道為x的取值范圍，當(dāng)x的取值范圍為閉區(qū)間時(shí)，F(xiàn)(x)為定積分，當(dāng)x的 取值范圍為幵區(qū)間時(shí)，F(xiàn) (x)為不定積分。不定積分的性質(zhì)：1、兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的積分，等于這兩個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和，即/ f (x)± g (x) = / f (x)&