隨機(jī)變量及其概率分布

1、第二章 隨機(jī)變量及其概率分布【授課對(duì)象】理工類本科二年級(jí)【授課時(shí)數(shù)】8學(xué)時(shí)【授課方法】課堂講授與提問(wèn)相結(jié)合【基本要求】1、了解隨機(jī)變量的概念；2、理解離散型隨機(jī)變量的概念及其分布律的概念和性質(zhì)；3、理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念及其概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；4、理解分布函數(shù)的概念，并知道其性質(zhì)；5、會(huì)利用分布律、概率密度函數(shù)及分布函數(shù)計(jì)算有關(guān)事件的概率；6、會(huì)求簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布；7、了解二維隨機(jī)變量的概念，知道二維隨機(jī)變量的邊緣（邊際）分布、聯(lián)合分布函數(shù)等概念；8、了解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)的概念及性質(zhì)，進(jìn)一步掌握其邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，并會(huì)計(jì)算有關(guān)事件的概率；了解二維

2、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念。【本章重點(diǎn)】隨機(jī)變量的概念；連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量的密度函數(shù)（分布律）的概念和性質(zhì)以及它們的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；二維隨機(jī)變量的邊緣分布、聯(lián)合分布函數(shù)等概念；隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布以及二維隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念?！颈菊码y點(diǎn)】隨機(jī)變量的概念及性質(zhì)；連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)計(jì)算；二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系以及獨(dú)立性的概念?！臼谡n內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配】§2.1 隨機(jī)變量的概念在第一章里，我們主要研究了隨機(jī)事件及其概率，同學(xué)們可能會(huì)注意到在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問(wèn)題與實(shí)數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系。例如，在產(chǎn)品檢驗(yàn)問(wèn)題中，我們

3、關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問(wèn)題中，我們關(guān)心的是某時(shí)期正在工作的車床數(shù)；在電話問(wèn)題中關(guān)心的是某一段時(shí)間內(nèi)的話務(wù)量等。對(duì)于這類隨機(jī)現(xiàn)象，其試驗(yàn)結(jié)果顯然可以用數(shù)值來(lái)描述，并且隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。然而，有些初看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來(lái)描述。比如，在投硬幣問(wèn)題中，每次實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒(méi)有聯(lián)系，但我們可以通過(guò)指定數(shù)“1”代表正面，“0”代表反面，為了計(jì)算n次投擲中出現(xiàn)的正面就只須計(jì)算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。一般地，如果為某個(gè)隨機(jī)事件，則一定可以通過(guò)如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系：這就說(shuō)明了，不管隨機(jī)試驗(yàn)

4、的結(jié)果是否具有數(shù)量的性質(zhì)，我們都可以建立一個(gè)樣本空間和實(shí)數(shù)空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使之與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。為了全面的研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。引例：隨機(jī)試驗(yàn)E1：從一個(gè)裝有編號(hào)為0，1，2，9的球的袋中任意摸一球。則其樣本空間=，其中“摸到編號(hào)為的球”，=0,1,9.定義函數(shù) ：，即()=，=0，1，9。這就是和整數(shù)集0，1，2，9的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，此時(shí)表示摸到球的號(hào)碼。從上例中，我們不難體會(huì)到： 對(duì)應(yīng)關(guān)系的取值是隨機(jī)的，也就是說(shuō)，在試驗(yàn)之前，取什么值不能確定，而是由隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果決定的，但的所有可能取值

5、是事先可以預(yù)言的。是定義在上而取值在R上的函數(shù)。 同時(shí)在上例中，我們可以用集合：()5表示“摸到球的號(hào)數(shù)不大于5”這一隨機(jī)事件，因而可以計(jì)算其概率。習(xí)慣上我們稱定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù)為隨機(jī)變量。這就有了如下定義：定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為，=()是定義在上的單值實(shí)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，集合：()x是隨機(jī)事件，則稱=()為隨機(jī)變量（Random Variable）。定義表明隨機(jī)變量=()是樣本點(diǎn)的函數(shù)，為方便起見，通常寫為，而集合：()x簡(jiǎn)記為x。如在上例中，摸到不大于5號(hào)球的事件可表示為5，則其概率為P5=3/5。隨機(jī)變量的引入，使概率論的研究由個(gè)別隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)

6、象的研究。正因?yàn)殡S機(jī)變量可以描述各種隨機(jī)事件，使我們擺脫只是孤立的去研究一個(gè)隨機(jī)事件，而通過(guò)隨機(jī)變量將各個(gè)事件聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而去研究其全部。今后，我們主要研究隨機(jī)變量和它的分布。§2.2 隨機(jī)變量的概率分布對(duì)于隨機(jī)變量來(lái)講，我們不僅關(guān)心它取哪些值，更關(guān)心它以多大的概率取那些值，即研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性分布函數(shù)。一、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 由前可知，若是隨機(jī)變量，則對(duì)xR，x是隨機(jī)事件，所以Px有意義。當(dāng)實(shí)數(shù)a<b時(shí)，有：Pa<b=Pb-Pa 可見，只要對(duì)一切實(shí)數(shù)x給出概率Px，則任何事件a<b及它們的可列交、可列并的概率都可求得。從而Px，xR完全刻劃了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)

7、律，并決定了隨機(jī)變量的一切概率特征。1.定義：設(shè)是上的隨機(jī)變量，對(duì)xR，稱= Px為的分布函數(shù)。2.性質(zhì)：設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則具有如下性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)非降性：即對(duì)，Proof：對(duì)，有，則規(guī)范性：，右連續(xù)性：對(duì)有 （性質(zhì)，的證明可參考其它有關(guān)的資料）注：反之可證明：對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，若滿足上述三條性質(zhì)的話，則它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。例1：判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù) （） （×）由定義可見，要計(jì)算取值的概率可以通過(guò)其分布函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。為了研究隨機(jī)變量的概率分布，我們常選擇來(lái)代替之。 3.運(yùn)算：若， 則有：例2：已知的分布函數(shù)為 求。解： 例3：設(shè)某隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，試確定A，B的

8、值。 解：由得例4：設(shè)的分布函數(shù)為 確定A并求 解：由右連續(xù)性知，而，即則例5：設(shè)某隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 （a>0） 求A，B。 解：由 課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P30-33； 2、作業(yè)：P61 1, 3, 6, 7； 3、預(yù)習(xí)P33-39二、隨機(jī)變量的分類 三、離散型隨機(jī)變量及其分布律（列） 1.定義：設(shè)是上的隨機(jī)變量，若的全部可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)（即的全部可能取值可一一列舉出來(lái)），則稱為離散型隨機(jī)變量。若的取值為，把事件的概率記為，則稱為的分布列?！咀ⅰ浚河啥x可知，若樣本空間是離散的，則定義在上的任何單值實(shí)函數(shù)都是離散型隨機(jī)變量。2.離散型隨機(jī)變量的分布列滿足下列性質(zhì)：(1)

9、非負(fù)性：(2)規(guī)范性：Proof：是概率，即，故由于是的一切可能取值，故有，注意到對(duì)任意的，有，由概率的可列可加性知：反之，任意一個(gè)滿足以上二性質(zhì)的數(shù)列，都可以作為某離散型隨機(jī)變量的分布列。有了的分布列以后，我們可以通過(guò)如下方式求的分布函數(shù)：3.離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：，若這樣的不存在，規(guī)定顯然，是一個(gè)右連續(xù)、單調(diào)非降的遞階函數(shù)，它在每個(gè)處有跳躍，其躍度為，當(dāng)然，由也可以唯一確定和。因此的分布列也完全刻畫了離散型隨機(jī)變量取值的規(guī)律。這樣，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，只要知道它的一切可能取值和取這些值的概率，也就是說(shuō)知道了它的分布列，也就掌握了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例1：袋中裝有5只同樣大小的

10、球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中同時(shí)取出3只球，求取出的最大號(hào)的分布列及其分布函數(shù)并畫出其圖形。 解：先求的分布列：由題知，的可能取值為3，4，5，且，的分布列為：，由得：注：離散型隨機(jī)變量的分布列與其分布函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。常見的離散型分布有：1.退化分布（單點(diǎn)分布）： ，2.貝努里分布（兩點(diǎn)分布）：或3.二項(xiàng)分布：4.泊松（Poisson）分布：四、連續(xù)性隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)1.定義：設(shè)是隨機(jī)變量，是它的分布函數(shù)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) 使得對(duì)任意的，有，則稱為連續(xù)性隨機(jī)變量，稱為的概率密度函數(shù)或分布密度函數(shù)。由定義顯然可知，連續(xù)。2.的幾何意義：在幾何上表示一條曲線稱為分布密度曲線，則

11、的幾何意義是：以分布曲線為頂，以X軸為底，從到x的一塊變面積。3.密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：(1) 非負(fù)性：(2) 規(guī)范性： Proof：由分布函數(shù)的性質(zhì)有： 注：任意一個(gè)滿足以上二性質(zhì)的函數(shù)，都可以作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。(3) 若在x處是連續(xù)的，則注：由該性質(zhì)，在連續(xù)點(diǎn)x處有，從這里我們看到概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相類似，這就是為什么稱之為概率密度的緣故。(4)設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，且，則(5)若是連續(xù)型隨機(jī)變量，則事實(shí)上，而從此可知：概率為0的事件不一定是不可能事件，稱為幾乎不可能事件；同樣概率為1的事件也不一定是必然事件。這樣，對(duì)連續(xù)性隨機(jī)變量有：，例2：設(shè)隨機(jī)變量的密

12、度函數(shù)為 其中常數(shù)，試確定k的值并求概率和的分布函數(shù)。 解：由由于密度函數(shù)為分布函數(shù)注：連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)與其分布函數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的。常見的連續(xù)型分布有：均勻分布：，；正態(tài)分布：，；指數(shù)分布：， 。 以后當(dāng)我們提到一個(gè)隨機(jī)變量的“概率分布”時(shí)指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)是離散型隨機(jī)變量時(shí)指的是它的分布律，當(dāng)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)指的是它的概率密度。課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P33-39； 2、作業(yè)：P62 8, 9, 10, 12； 3、預(yù)習(xí)P39-44§2.3 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布設(shè)是一隨機(jī)變量，是一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，按照隨機(jī)變量的定義，也應(yīng)是一隨機(jī)變量。下面我們通過(guò)的分布來(lái)研究

13、隨機(jī)變量的分布。 關(guān)于該問(wèn)題的一般提法：已知的分布，求的分布。一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知的分布列為 求的分布列。由于是離散型隨機(jī)變量，則仍是離散型隨機(jī)變量，所以分布列為，若其中有某些相等，則把相等的值分別合并，并相應(yīng)地將其概率相加。例1：設(shè)，試求的分布列。解：易知的可能取值為1，2，5，且可知?jiǎng)t二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布引例：已知的密度函數(shù)為，求 的密度函數(shù)因?yàn)閺亩?，其密度函?shù)一般地有如下定理：Th：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，若是處處可導(dǎo)的函數(shù)，則的密度函數(shù)為： 其中，D為其定義域。Proof：僅證在內(nèi)取值，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而有例2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量，試求的密度函數(shù)。解：

14、，由，則由上述定理可知§2.4 二維隨機(jī)變量及概率分布在前三節(jié)，我們主要討論了一維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)，并簡(jiǎn)單地介紹了常見的隨機(jī)變量的分布函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用和理論研究中，我們所感興趣的許多現(xiàn)象，其每次試驗(yàn)的結(jié)果僅用一個(gè)隨機(jī)變量描述還不夠，往往要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述。例如，炮彈在地面的命中點(diǎn)的位置是由兩個(gè)隨機(jī)變量（兩個(gè)坐標(biāo)）來(lái)確定的。電子放大器的干擾電源是由振幅和相位這兩個(gè)隨機(jī)變量來(lái)確定的等等。下面我們先介紹二維隨機(jī)變量及其分布，并推廣到維。一、二維隨機(jī)變量的定義及其分布函數(shù)1.定義：設(shè)是的兩個(gè)隨機(jī)變量，則由構(gòu)成的二維向量稱為二維隨機(jī)變量。 二維隨機(jī)變量的性質(zhì)不僅與及有關(guān)，

15、而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，因此，逐個(gè)的來(lái)研究或的性質(zhì)是不夠的，還需要將作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究。和一維的情形類似，我們也借助“分布函數(shù)”來(lái)研究二維隨機(jī)變量。2.聯(lián)合分布函數(shù)<1>定義:設(shè)()為二維隨機(jī)變量,稱二元函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)。幾何意義：在處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)（）落在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的左下方無(wú)窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。<2>性質(zhì)：對(duì)每個(gè)自變量具有單調(diào)非降性： 即對(duì)固定的，當(dāng)時(shí)，有 對(duì)固定的，當(dāng)時(shí)，有規(guī)范性: 對(duì)于每個(gè)自變量具有右連續(xù)：即對(duì)固定的，(+0,)=(,)對(duì)固定的，(,+0)=(,)對(duì)<R, <R有：(,)-(,)-(,)+(,)0事實(shí)上，反之，

16、對(duì)任意滿足上述四條件的二元函數(shù)，都可作為某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。【注】：上述四條件中（4）不可缺少。例如：二元函數(shù)=滿足性質(zhì)、，而不滿足。取,有- + <0故不能作為某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。由于的分布函數(shù)完全決定了它的概率特征，因而也就完全決定了它的各分量的概率特征，這樣就可以通過(guò)其聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)求每個(gè)分量的分布函數(shù)。3.邊緣分布函數(shù):若的分布函數(shù)為,則稱;分別為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布1.定義：設(shè)是二維隨機(jī)變量，若分別是離散型隨機(jī)變量；或者的全部可能取值為有限或可列個(gè)數(shù)對(duì)(,),=1,2，則稱為二維離散型隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合分布列。2.性質(zhì)：(1)非負(fù)性：

17、0，=1,2.(2)規(guī)范性：1反之，任何具有上述性質(zhì)的數(shù)集:=1,2.都可作為某二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合分布列。知道了的聯(lián)合分布列以后，可以求其聯(lián)合分布函數(shù)：3.聯(lián)合分布函數(shù)=P(x, y)=P=,=，同分布函數(shù)一樣，可以求其邊緣分布列：4.邊緣分布列的邊緣分布列:事實(shí)上：P=,=P(=,=P(=)=P=的邊緣分布列:上述關(guān)于聯(lián)合分布列與邊緣分布列之間的關(guān)系可用下表來(lái)表示: 例1: 袋中有2只白球，3只黑球，現(xiàn)進(jìn)行有放回及無(wú)放回二次摸球。定義隨機(jī)變量如下:= = ,求(,)的分布列。解： 有放回情形： 無(wú)放回情形： 0 1 0 1 0 0 1 1 【結(jié)論】：聯(lián)合分布列可以唯一地確定邊緣分布列，

18、反之不然.課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P39-44； 2、作業(yè)：P63 14, 16, 17, 18； 3、預(yù)習(xí)P44-60三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1.定義:設(shè)(,)為二維隨機(jī)變量，為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積的函數(shù),使對(duì) 有：=P(x,y)。則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，為的聯(lián)合概率密度函數(shù)。2.具有如下性質(zhì)：<1>非負(fù)性： 0 R<2>規(guī)范性： dxdy=1注：任意一個(gè)滿足以上二性質(zhì)的函數(shù)，都可以作為某二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。<3>若在點(diǎn)連續(xù)，則<4>對(duì)某一區(qū)域D，P(,)D=（該公式為的擴(kuò)充）由此不難求得 ,的邊緣概率密度函數(shù)：3.邊緣概

19、率密度函數(shù)：由(x)=知：= 為的概率密度函數(shù)同理= 為的概率密度函數(shù)例2:已知二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù)試求：常數(shù)C、及；，其中D由圍成。解：由規(guī)范性1=dxdy=cdxdy=c =,c=4故=P(u,v)dudv=而(x)=所以=同理：= =P(,)D= =1-3§2.5 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性獨(dú)立性的概念在概率論中是非常重要也是最基本的概念，它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用中占有很重的地位。一、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性1.定義：設(shè)是二維隨機(jī)變量，若有即，則稱相互獨(dú)立。2.設(shè)（,）是二維離散型隨機(jī)變量，,相互獨(dú)立對(duì)于的任一可能取值有,即例1.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為求應(yīng)滿足的條件；若與相互獨(dú)立，求的值。解：根據(jù)非負(fù)性和規(guī)范性可知：因?yàn)橄嗷オ?dú)立，則知故3.設(shè)(,)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則,相互獨(dú)立，有幾乎處處成立。Proof: “”若，則 .相互獨(dú)立 “”由獨(dú)立的定義由聯(lián)合密度函數(shù)的定義知：是（,）的聯(lián)合概率密度函數(shù)。即例2.設(shè)； 求常數(shù)；與是否相互獨(dú)立；求。解：由規(guī)范性知：又，同理從而，由于而，所以與相互獨(dú)立。因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以【注】：.若兩兩獨(dú)立不能得到相互獨(dú)立；.隨機(jī)變量的獨(dú)立性不具有傳遞性；對(duì)于而言，由的分布可以確定關(guān)于與的邊緣分布