函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試.

1、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試（120分鐘 150分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列圖形中可以表示以 M=x|0<x< 1為定義域，以N=y|0 <y< 1為值域的 函數(shù)的圖象是()2. 函數(shù) f(x)對(duì)任意 x R,恒有 f(x+2)=-f(x)，且 f(1)=2,則 f(11)=()(A) -2(B)2(C)0(D)13. (2011 廣東高考)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列 結(jié)論恒成立的是()(A) f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)(B) f(x)-|g(x)

2、|是奇函數(shù)(C) |f(x)|+g(x)是偶函數(shù)(D) |f(x)|-g(x)是奇函數(shù)4. 已知函數(shù)f(x)=a x(a>0,a工1)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則函數(shù)g(x) = lOg a(x+1)的圖象大致是()5. 當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式(x-1) v log ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()(A)(2,3 (B) :4,+ 乂)(C)(1,2 (D) :2,4)6 .定積分.：exdx的值為()(A)-1(B)1(C)e2-1(D)e27. 設(shè)函數(shù) f(x) = -x Inx(x >0)，貝卩 y = f(x)()3(A) 在區(qū)間(丄,1) , (1 , e)內(nèi)均

3、有零點(diǎn)e(B) 在區(qū)間(丄,1) , (1 , e)內(nèi)均無零點(diǎn)e(C) 在區(qū)間(丄,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1 , e)內(nèi)無零點(diǎn)e(D) 在區(qū)間(丄,1)內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1 , e)內(nèi)有零點(diǎn)e8. 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x)，且滿足f(x)=2xf ' (1)+lnx，則f (1)=()(A)-e(B)-1(C)1 (D)e9. 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1 ,1,圖象過點(diǎn)(0， 5)，它的導(dǎo)函數(shù)f ' (x) = 4x3-4x，則當(dāng)f(x)取得最大值-5時(shí)，x的值應(yīng)為()(A)-1(B)0(C)1(D) 士 110. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足(x+2)f &#

4、39; (x) v0,又a=f( Iogi3),b=f(1)0.3),c=f(ln3)，則()2 3(A)a vbvc(B)b v c v a(C)c vav b(D)c v bv a11.設(shè)函數(shù)f(x)=x sinx,若Xi,X2 出匸，且f(x i) >f(x 2),則下列不等式2 2恒成立的是()(A)x 1 > X2(B)x 1< X2(C)x 1+X2> 0(D)x 12> X2212.已知函數(shù)f(x)=eX-1,g(x)=-x 2+4x-3.若有 f(a)=g(b)，貝S b 的取值范圍為()(A)2-2,2+ 2(B)(2-2,2+ 2)(C)1,3

5、(D)(1,3)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫 線上)1 _J13 .計(jì)算(lg 丄-Ig25) - 100 2 =.414. 已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為.15. 函數(shù) f(x)=(x+a) 3對(duì)任意 t R 總有 f(1+t)=-f(1-t)，貝S f(2)+f(-2) 等于16. (2011 四川高考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若X1,X2 A且f(x 1)=f(x 2)時(shí)總有X1=x2,則稱f(x)為單函數(shù).例如，函數(shù)f(x)=2x+1(x R)是單函數(shù).下列命題: 函數(shù)f(x)=x 2(x R)是單函數(shù)； 若f(

6、x)為單函數(shù)，X1,x 2 A且X1工X2，則f(x 1)工f(x 2); 若f:A T B為單函數(shù)，則對(duì)于任意b B,A中至多有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)； 函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x) 定是單函數(shù).其中的真命題是 .(寫出所有真命題的編號(hào))三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過 程或演算步驟)17. (10分)求下列關(guān)于x的函數(shù)的定義域和值域：(1) y = d菽；2y=log 2(-x +2x);x012345y23456718. (12分)兩個(gè)二次函數(shù)f(x)=x 2+bx+c與g(x)=-x 2+2x+d的圖象有唯一的公共 點(diǎn) P(1,-2).

7、(1)求b,c,d的值； 設(shè)F(x)=(f(x)+m) g' (x)，若F(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍，并指出F(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，還是單調(diào)遞減函數(shù).x19. (12分)(2011 北京高考)已知函數(shù)fx = x-k2ek.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； 若對(duì)于任意的x (0 , +x)，都有f x 丄,求k的取值范圍.e20. (12分)某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售 價(jià)是20元，月平均銷售a件.通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含 金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為 x(0<x<1)，那么月平均銷售

8、量減少的百分率為X2.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是y元).(1) 寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤 最大.221. (12分)已知幕函數(shù)f x二x2m 3( Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+ 乂)上是單 調(diào)增函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；設(shè)函數(shù) g(x)= -f(x)+ax 3+9x2-b(x R),其中 a,b R.若函數(shù) g(x)僅在 x=042處有極值，求a的取值范圍.22. (12分)已知二次函數(shù)g(x)對(duì)任意x R都滿足g(x-1)+g(1-x)=x 2-2x-1且 g(1)=-1，設(shè)函數(shù) f(

9、x)=g(x+ - )+mlnx+ 9 (m R, x>0).2 8(1)求g(x)的表達(dá)式；若存在x (0 , +乂)，使f(x) < 0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； 設(shè) 1<m< e, H(x)=f(x)-(m+1)x,求證：對(duì)于任意 x1,x 2 1,m,恒有 |H(x 1)-H(x 2)|<1.-6 -答案解析1. 【解析】選C.由題意知，自變量的取值范圍是0, 1 ，函數(shù)值的取值范圍也 是0，1，故可排除A、B;再結(jié)合函數(shù)的定義，可知對(duì)于集合 M中的任意x,N 中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，故排除 D.2. 【解析】選 A. ,.f(x+2)=-f(x),f(

10、x+4)=-f(x+2)=f(x)，即周期為 4,f(11)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2.3. 【解析】選 A.fg(x) 是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f|g(x)| 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，又f(x)為偶函數(shù)，f.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù).【方法技巧】函數(shù)奇偶性與函數(shù)圖象的關(guān)系(1) 函數(shù)的奇偶性，揭示了函數(shù)圖象的對(duì)稱性 .已知函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)圖象的 對(duì)稱性;反之，已知函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得函數(shù)的奇偶性 .(2) 從圖象判斷函數(shù)的奇偶性是很有效的方法 .利用圖象變換，可以很容易地畫出 形如 |f(x)| 或 f(|x|) 的函數(shù)圖象，進(jìn)而可判斷函數(shù)的奇偶性

11、.4【解題指南】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a 的取值范圍，再判斷函數(shù)g(x)=log a(x+1)的圖象.【解析】選D.由題可知0<a<1，函數(shù)g(x)的圖象由函數(shù)y=logax的圖象向左平 移一個(gè)單位得到，故選 D5【解析】選 C. 設(shè) y1=(x-1) 2，則 y1 的圖象如圖所示 :設(shè)y2=logax，則y的圖象應(yīng)在yi的圖象上方，/a> 1 且 Ioga2邈-1)2=1 ,*a w2, / v a 2.6. 【解析】選 B. l0 exdx =ex |02=eln2-e° =2-1 =1.7. 【解析】選D. Qx =-,3 x/x q3,+為時(shí)，y = f(x

12、)單調(diào)遞增；x 6(0,3)時(shí)，y = f(x)單調(diào)遞減.1而 0v v 1 v ev 3,e又 f(-)= -+1 >0, f(1) = - >0, f(e) = - 1 v 0,e 3e33于x的方程f(x)=log 2x解的個(gè)數(shù)為()-9 -(A)4(B)3(C)2(D)1【解析】選B.在同一直角坐標(biāo)系中畫出y=f(x)與y=log 2x的圖象，從圖象中可以-10 -# -看出兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故其解有3個(gè).-# -# -8. 【解析】選 B.f(x)=2f (1)+丄，令 x=1 得 f(1)=2f(1)+1 ,f(1)=-1，故選 B.x9. 【解析】選B.易知f(x

13、)=x4-2x2-5,f '(x)=0時(shí)x=0或x= ±1,又因?yàn)槎x域?yàn)?1 ,1 ,只有 f(0)=-5,所以 x=0.10. 【解析】選 D. (x+2)f (x)V0, a 當(dāng)xv-2 時(shí),f(x) >0. 當(dāng) x> -2 時(shí)，f (x) v 0.f(x)在(-鄉(xiāng)2)上單調(diào)遞增，在(-2,+鄉(xiāng)上單調(diào)遞減.又空32,。，(擴(kuò) 0,1 ,m3 >1,10 3 -2v 如3<(丄)v ln3.23f(log 13)>f (1)0.3)>c=f ln3 .2311 .【解析】選D.顯然f(x)為偶函數(shù),當(dāng) xqo, 3時(shí),f(x)=sinx

14、+xcosx >0, f(x)在(0,尹上單調(diào)遞增.又 f(xi)> f(X2)? f(|xi|) > f(|X2|)? |xi|> |X2|? xi2> X22 .12 .【解析】選 B.f(a)>-1,g(b)>-1./-b2+4b-3>-1, fb2-4b+2<0,/2- 2<b<2+ 2.故選 B.13 .【解析】1 二(lg4-lg25)勺00 2 = ©.A-125100=lg 110 lg10 -20.100 10答案：-2014 .【解析】1 彳1 1 1y x a一，設(shè)切點(diǎn)為(Xo,xo + 1)，貝

15、卩 x0 ax +ax +aX。十1 = ln (X。+a )解得a=2.答案：215 .【解析】令t=1，則f(2)=-f(0).*(2+a) 3=-a3 ,a=-1 ,ff(2)+f(-2)=(2-1) 3+(-2-1)3=-26.答案:-2616 .【解析】選項(xiàng)具體分析結(jié)論由x2=4可得X1=2,X2=-2,則X1孜2不合定義.假命題“1 ,X2 6且X1玫2，則f(X1)#(X2)”的逆否命題是“若X1,X2 6 且 f(X1)=f(X2)時(shí)總有 X1=X2”.互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià)故的逆否命題為真，故 為真命題.真命題符合唯的函數(shù)值對(duì)應(yīng)唯的自變量.真命題在某一區(qū)間單調(diào)并不一定在定

16、義域內(nèi)單調(diào).假命題答案：17.【解析】(1)要使函數(shù)有意義，則'X 0, 0<X<1,函數(shù)的定義域?yàn)?, 1.函數(shù)y -.X-'、X為減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?1 , 1 .要使函數(shù)有意義，則-x2+2x>0, /0<x<2.函數(shù)的定義域?yàn)?0 , 2).又 T 當(dāng)X 6(0,2)時(shí)，-x2+2x 6(0,1 ,og2(-x2+2x) 6-«?0 .即函數(shù)的值域?yàn)?-每0 .函數(shù)的定義域?yàn)? , 1 , 2, 3, 4 , 5,函數(shù)的值域?yàn)?, 3, 4, 5, 6, 7.18 .【解題指南】(1)把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入兩函數(shù)解析式，結(jié)合 x2+b

17、x+c=-x 2+2x+d有唯一解，可求得b,c,d ,若F(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則F(x)在R上恒有F'(x)為 或F(x) <0.【解析】(1)由已知得1 b _2 ,卜1+2 + d = -2化簡得b C3,Id = -3且 x2+bx+c=-x 2+2x+d，即 2x2+(b-2)x+c-d=0 有唯一解，所以=(b-2) 2-8(c-d)=0，即 b2-4b-8c-20=0 ,消去 c 得 b2+4b+4=0，解得 b=-2,c=-1,d=-3.(2)由(1)知 f(x)=x2-2x-1,g(x)=-x 2+2x-3 ,故 g'(x)=-2x+2,F(x)=(

18、f(x)+m) g(x)=(x2-2x-1+m) (-2x+2)=-2x3+6x2-(2+2m)x+2m-2,F(x)=-6x2+12x-2-2m.若F(x)在R上為單調(diào)函數(shù)，則F (x)在R上恒有F(x) O或F(x)初成立.因?yàn)镕 (x)的圖象是開口向下的拋物線，所以F (x) <0在R上恒成立，所以=122+24(-2-2m)切，解得 m淳，即m支 時(shí)，F(xiàn)(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù).1 19 .【解析】(1) f xx2 -k2 ek,令 f (x)=0，得 x= ±k當(dāng)k> 0時(shí)，f(x)與f (x)的情況如下:x(-k)-k(-k, k)k(k, + 鄉(xiāng)f

19、9;(x)+0-0+f(x)4k2e-10所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-x,-k)和(k, +單調(diào)遞減區(qū)間是(-k, k).當(dāng)kv 0時(shí)，f(x)與f (x)的情況如下：x(-k)k(-k, k)k(-k, + 鄉(xiāng)f'(x)-0+0-f(x)04k2e-1所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-x,k)和(-k, +吃 單調(diào)遞增區(qū)間是(k, -k).當(dāng)k>0時(shí)，因?yàn)閒 k 1二ek >丄,所以不會(huì)有xqo, +鄉(xiāng),f(x) w1.ee4k 2當(dāng)kv 0時(shí)，由(1)知f(x)在(0, +鄉(xiāng)上的最大值是f -k二他.e所以-x qo, + 鄉(xiāng),f(x)<-，等價(jià)于 f(-k)=

20、 4k <1，解得-wv0.ee e2故對(duì)-xqo, + 鄉(xiāng),f(x)w-時(shí)，ek的取值范圍是-寸,0).20 .【解析】(1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1+x)元，月平均銷售量為a(1-x2)件，則月平均利潤 y=a(1-x2)20(1+x)-15 (元),y與x的函數(shù)關(guān)系式為 y=5a(1+4x-x 2-4x3)(0<x<1).12(2)y =5a(4-2x-12x 2)，令 y =0 得 xi = - , X2=-(舍)，23當(dāng) 0<x< 1 時(shí) y >0;丄 <x<1 時(shí) y <0,2 2二函數(shù)y=5a(1+4x-x 2-

21、4x m2(x2 -512).2x23令 f(x)=0 ,得 x2 =512,所以 x=64 ,當(dāng)0<x<64時(shí)，f(x)<0 , f(x)在區(qū)間(0, 64)上為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時(shí)，f'(x)>0, f(x)在區(qū)間(64 , 640)上為增函數(shù),)(0<x<1)在 x=1 處取得最大值.2故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為 20(1+ 1)=30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的 月平均利潤最大.【變式備選】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距m米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為 256

22、萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+ 6 )x萬元.假設(shè)橋 墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)m=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使 y最??？【解析】(1)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，(n+1)x=m，即n =m-1 ,x所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+、x )x=256(m-1)+ - (2+ x )xxx256mm . x 2m256.x1由(1)知，f xi=256m 2mx2x 2所以f(x)在x=64處取得最小值，此時(shí),n=m亠 640亠9,x 64故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.21.

23、 【解題指南】(1)由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, +鄉(xiāng)上為增函數(shù)，可得-m2+2m+3>0 , 再由f(x)為偶函數(shù)得m的值.(2)g(x)僅在x=0處有極值，則意味著g'(x)=0有唯一一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)是0.【解析】(1) -f(x)在區(qū)間(0,+旳上是單調(diào)增函數(shù)，-m2+2m+3>0 即 m2-2m-3<0, /-1<m<3.又 m CZ ,m=0,1,2,而m=0,2時(shí)，f(x)=x3不是偶函數(shù)，m=1時(shí)，f(x)=x4是偶函數(shù),/f(x)=x4.19(2) g x = x4 ax3 x2-b, g (x)=x(x 2+3ax+9),42顯然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.為使g(x)僅在x=0處有極值，則有x2+3ax+9為 恒成立,即有=9a2-36切，解不等式，得aF2,2.這時(shí)，g(0)=-b 是唯