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1、數(shù)學(xué)選修2-2綜合測(cè)試題(答案)、選擇題(B)1 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z i(12i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A 第一象限B第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限2.定積分n222si noxdx的值等于(2A.B.c.D.7tS(x)axxa 0 ,且 aC(x) a2,其中1,下面正確的運(yùn)算公式是(DS(y)S(x)C(y)C(x)S(y);S(y)S(x)C(y)C(x)S(y);C(y)C(x)C(y)S(x)S(y);C(y)C(x)C(y)S(x)S(y);A.B.C.D.3 類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式,對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù),)4.已知f (x)322x 6xm(m為常數(shù))在2,2上有最大值3,

2、那么此函數(shù)在2,2上的最小值為(A )A -37B.-29C.-5D.-115.已知函數(shù)f(x) x32 ax(a6)x1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C )A.1a 2B.3a 6 C a3 或 a6D. a1或a 26.設(shè)P為曲線C: yx22x3上的點(diǎn),-且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0,_4則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A.1,12B1,0C. 01D- -,127.設(shè)曲線yx 1在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線axy 10垂直,則a ()x 1A.2B.11C.D.222f (x),則當(dāng)a 0時(shí),& 已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)f (a)和e

3、a f (0) ( e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))大小關(guān)系為f(a) eaf(0)A. f (a) ea f (0)C. f(a) eaf(O)-f (a)f(0)9.給出以下命題:b若 f (x)dx 0,a2則 f (x)0 ;0sin xdx4;已知F (x) f(x),且F(x)是以T為周期的函數(shù),則a0f (x)dxa Tt f(x)dx;其中正確命題的個(gè)數(shù)為A.1B.2(B )C.3D.010.已知函數(shù)f (x)x2 bx的圖象在點(diǎn)A(1,f (1)處的切線的斜率為3,數(shù)列1-f (n)的前n項(xiàng)和為Sn,則S2011的值為(DA 20082009_ 2009B. 20102010C.2011

4、D 20112012二、填空題11、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的的個(gè)數(shù)是14。12.若函數(shù)f(x)x24x1在區(qū)間(m,2m 1)上是單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù) m的取值范圍是答案:113 .已知 f (n)1(n nn nk 1kN),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)-時(shí),f(2)f(2)等答案:亠2 114.15.三、解答題16、已知復(fù)數(shù)z滿足z23一- ( i為虛數(shù)單位).求z .2 i解.由已知得z2yi,x, y R代人上式得x2y2 2xi1所以2 xy2 1x解得2.32x1y2故z1、.3 .i2217.(1)求證:(

5、1) a2b23 ab、.3(a b)證明:(1) T a2 b2 2ab,a2 3 2.3a,b23 2 3b將此三式相加得(2)b2已知2(a2 b23) 2ab2 3a2 3b,3 ab .3(ab).a,b,c均為實(shí)數(shù),2y22 z, c z 2x36a,b,c中至少有一個(gè)大于求證:證明:(反證法) 假設(shè)a,b,c都不大于o,即0.0,b0,c因?yàn)閍2y2zn,c32x(x22y(x 即a1)2b c(y0,1)2與a(zbf)1)c(y22zf)0(z2_ n、2x nn)n0矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立18、設(shè)函數(shù)f(x)x23x3a(a 0)( 12 分)(1)如果a 1,點(diǎn)P為

6、曲線yf (x)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求以 P為切點(diǎn)的切線斜率取得最小值時(shí)的切線方程;(2)若 x a,3a時(shí),f (x)0恒成立,求a的取值范圍。解:(1)設(shè)切線斜率為k,則kf (x) x2 2x 3.當(dāng)x=1 時(shí),k有最小值-4 。又 f(1)2929所以切線方程為y29349x 1),即 12x 3y 170。(6 分)(2)由 k =M = /(x)=x2-2jc-3 0:函數(shù)6)在g-D.盤心)上是增函數(shù),在(1- 3)上是減函數(shù).若x a,3a時(shí),f(x) 0恒成立,貝V:0 a 3a 3/ 、.0 a 33a 亠 a3(1)或(2)或(3)f (3a) 0f (3)0f(a)0(1),

7、(2)無解,由(3)解得a6,綜上所述。19 .設(shè)函數(shù)f (X)(e 1)x,g(x)e . ( e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(I)判斷函數(shù)H(x) f(x)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;(n)設(shè)數(shù)列an滿足:a1(0,1),且 f(an 1)g(an), nN求證:0an1 ;比較an與(e1)an 1的大小.:(I) H (x) (e 1)x e令 H (x) 0, x0ln(e1)當(dāng) x(,x)時(shí),H (x)0, H (x)在 x(,滄)上是增函數(shù)當(dāng) x(x,)時(shí),H (x)0, H (x)在x(x。,)上是減函數(shù) 2分從而 H(x)maxH(0) (e 1)x0 1 e*(e 1)ln(e

8、1) e 2 / 4 分注意到函數(shù)k(t) tint t 1在1,上是增函數(shù),從而 k(t) k(1)0,又e 11從而H (Xo)0綜上可知:H (x)有兩個(gè)零點(diǎn). .6分(n)因?yàn)?f (an 1)g(an),即(e 1總 1 1 ean所以 an 1 (ean 1).7分e 1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an (0,1).當(dāng)n 1時(shí),ai (0,1),不等式成立.假設(shè) n k 時(shí),ak (0,1)1 a那么 ak 1(ek 1)e 1Q1 eak e 0 eak 1 e 11 a0 (eak 1) 1e 1即 ak 1(0,1)這表明n k 1時(shí),不等式成立.所以對(duì) nN , an (0,1)因

9、為(e 1)an 1 an ean 1 an考慮函數(shù) p(x) ex 1 x (0 x 1) p(x) ex 10從而p(x)在(0,1)上是增函數(shù)p(x) p(0) 0所以(e 1)an 1 an 0即(e 1)an 1 an20.已知函數(shù) f (x) aln x ax 3(a R).(i)當(dāng)a 1時(shí),求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)若函數(shù) yf(x)的圖像在點(diǎn)(2, f (2)處的切線的傾斜角為 45,問:m在什么范圍取值時(shí),對(duì)于任意的t 1,2,函數(shù)g(x) x3 x2m f (x)在區(qū)間(t,3)上總存在2極值?p 2e(川)當(dāng)a 2時(shí),設(shè)函數(shù)h(x) (p 2)x3,若在區(qū)間1,e

10、上至少存在一個(gè)xX。,使得h(x)f(x)成立,試求實(shí)數(shù)p的取值范圍.解(I)由 f(X)a(1 X)(x 0)知:X當(dāng)a 1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1),單調(diào)減區(qū)間是(1,);a2()由 f(x)1 得到 a 2,故 f(x) 2lnx 2x 3, f(x)2 -2x32 m3m 22g(x) x3 x2 f(x) x3(2 )x22x, g(x) 3x2(4 m)x 22 2g (2)0因?yàn)間(x)在區(qū)間(t,3)上總存在極值,且1 t 2,所以,解得:當(dāng)p 0時(shí),由x 1,e得到px2ln xg (3) 037m9,故當(dāng)37m9時(shí),對(duì)于任意的t1,2,函數(shù)33g(x)3 x2

11、 mf(x)在區(qū)間(t,3)上總存在極值。(川)f(x)2ln x2x 3,令 F (x) h(x) f (x)px蘭 2l nxx x0,空0,所以在1,e上不存在x。,使得 h(x) f(x)成立;當(dāng) p 0時(shí)F(x)2px 2x p 2e2 ,x因?yàn)?x 1,e, 所以2e 2x 0, px2p 0,F(xiàn)(x)0在1,e上恒成立,故F(x)在1,e上單調(diào)遞增。F (x)max F (e) pe衛(wèi)4,由題意可知e4e取植范圍是(二牛,)。e 121.已知a 0,設(shè)函數(shù)f (x)a l n x2 - a x(I)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的取大值;2a,g(x) -(x 2 a)2.pe

12、衛(wèi) 40,解得p 簣,所以p的ee 1(II)若e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),當(dāng)a e時(shí),是否存在常數(shù)k、b ,使得不等式1 2aln x x (x 0),2(x Ja)(x 肺 xxf(x) kx b g(x)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x都成立?若存在,求出 k、b的值,若不存在,請(qǐng)說 明理由.(2 分)解:(I)T h(x)a h (x)x(0,石)9,)h(x)+0-h(x)極大值x當(dāng)x ,a時(shí),函數(shù)h(x)取最大值alna a ;(4分)2(II)當(dāng)a e時(shí),h(x) f (x) g(x)的最大值是0,即f(x) g(x),當(dāng)且僅當(dāng)x e時(shí)取等號(hào),(6分)函數(shù)f (x)和g(x)的圖象在x - e處有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)(.e,-),2t f (x)- 2 . e,函數(shù)f (x)的圖象在x . e處切線斜率是kfe ,x_ 3ey ex ,(8 分). e(x 、e)t g (x) x 2-、e,函數(shù)g(x)的圖象在x . e處切線斜率是 kg - e , f (x)和g(x)的圖象在x

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