高等數(shù)學(xué)函數(shù)的微分.

1、2-4 函數(shù)的微分函數(shù)的微分0 微分的概念與定義微分的概念與定義0 導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系0 微分的幾何意義微分的幾何意義0近似計(jì)算近似計(jì)算0誤差估計(jì)誤差估計(jì)2-4.1 微分的定義微分的定義一、問題的提出一、問題的提出實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由的的改改變變量量正正方方形形面面積積20 xA 2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)

2、1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記記作作的的微微分分相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)并并且且稱稱可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與其其中中成成立立如如果果在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)及及在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) ).),(,)(xAdyxd

3、fdyxxfy即或記作微分稱為函數(shù)的的微分在任意點(diǎn)函數(shù)由定義知由定義知: :;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(11(0).x ;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性主主部部很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 三、可微的條件三、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1)

4、必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)即即函函數(shù)數(shù)(2) 充分性充分性0()()yfxxx 從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf 00( ),().f xxfxA所以函數(shù)在點(diǎn)可微且).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo)例例1 1解解.02. 0, 23時(shí)時(shí)的的微微分分當(dāng)當(dāng)求求函函數(shù)數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxx

5、xdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記記作作稱稱為為自自變變量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自變變量量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)之之商商等等于于與與自自變變量量的的微微分分即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分dxdy注注: y=0.242408四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對對應(yīng)應(yīng)的的增增量量就就是是切切線線縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量時(shí)時(shí)是是曲曲線線的的縱縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代

6、替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) Q2-4.2 微分的求法、微分形式的不變性微分的求法、微分形式的不變性dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cot sec)(tansin)(coscos)(sin)( 0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cotar

7、c(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 微

8、分形式的不變性微分形式的不變性;)(,) 1 (duufdyu是自變量時(shí)若(2),( ),uxux若 是中間變量時(shí) 即另一變量 的可微函數(shù)則),()(ufufy有導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)dxxufdxxfdyx)()()(,)(dudxx.)(duufdy結(jié)論結(jié)論：,( )uyf u無論 是自變量還是中間變量 函數(shù)的微分形式總是微分形式不變性微分形式不變性duufdy)( ( )yfx微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 1、計(jì)算函數(shù)增量的近似值、計(jì)算函數(shù)增量的近似值, 0)()(00很很小小時(shí)時(shí)且且處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10問問面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半徑徑伸

9、伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rr2AdArr 05. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 2、計(jì)算函數(shù)的近似值、計(jì)算函數(shù)的近似值02.1.( );f xxx求在點(diǎn)附近的近似值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x 例例2 2.0360coso的的近近似似值值計(jì)計(jì)算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))(,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso

10、 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2.2.( )0;f xx 求在點(diǎn)附近的近似值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很很小小時(shí)時(shí)x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為為弧弧度度為為弧弧度度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例3 3.計(jì)計(jì)算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03.

11、 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 2.3、誤差估計(jì)、誤差估計(jì)由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量誤差.定義：定義：,.MmMmm如果某個(gè)量的精確值為它的近似值為那

12、么叫做 的絕對誤差.MmmMm而絕對誤差與的比值叫做 的相對誤差相對誤差通常用百分?jǐn)?shù)表示相對誤差通常用百分?jǐn)?shù)表示.為估計(jì)間接量的誤差為估計(jì)間接量的誤差, ,現(xiàn)將直接量的誤差看作自現(xiàn)將直接量的誤差看作自變量的增量變量的增量, ,將間接量的誤差看作是函數(shù)的增量將間接量的誤差看作是函數(shù)的增量. .這樣這樣, ,估計(jì)誤差就變?yōu)楣烙?jì)函數(shù)增量估計(jì)誤差就變?yōu)楣烙?jì)函數(shù)增量, ,可通過微可通過微分近似算出分近似算出. .問題問題:在實(shí)際工作中在實(shí)際工作中,絕對誤差與相對誤差如何求得絕對誤差與相對誤差如何求得?例例4 4.,005. 041. 2誤誤差差并并估估計(jì)計(jì)絕絕對對誤誤差差與與相相對對求求出出它它的的面面

13、積積米米正正方方形形邊邊長長為為 解解則則面面積積為為設(shè)設(shè)正正方方形形邊邊長長為為,yx.2xy ,41. 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 0.005,xx 邊長的絕對誤差為面積的絕對誤差為).(0241. 02m yy 面積的相對誤差為面積的相對誤差為8081. 50241. 0 4.82 0.005yxydyyx 0.415%小結(jié)小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,

14、叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 作業(yè)P1223(3)(6)(7)4(3)(5)(6)(7)6,7(1),10(1)例例4 4解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) sin()(cos)axaxdybx d eedbxsin()cosaxaxbx ea dxebx bdx .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(si