高等代數(shù)線性方程組

1、線性方程組 第三章 線性方程組線性方程組主要內(nèi)容： 消元法 n 維向量空間 線性相關(guān)性 矩陣的秩 線性方程組有解的判斷定理 線性方程組有解的結(jié)構(gòu)線性方程組1 消元法1 1 消消 元元 法法考慮一般的線性方程組snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111l 當(dāng)s=n時，若D0，則方程組有唯一解，并可由Cramer法則求解。l 當(dāng)s=n時，若D = 0，利用Cramer法則無法判斷方程組是否有解。l 當(dāng)sn時，沒有求解線性方程組的有效方法。線性方程組1 消元法 線性方程組的矩陣表示法snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxa

2、xa22112222212111212111bAx 其中snssnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx21sbbbb21系數(shù)矩陣未知向量右端向量線性方程組1 消元法 用一個非零的數(shù)乘以某一個方程； 線性方程組的初等變換 把某一個方程的倍數(shù)加到另一個方程； 互換兩個方程的位置； 用一個非零的數(shù)乘以矩陣的某一行； 矩陣的初等行變換 把矩陣某一行的倍數(shù)加到矩陣的另一行； 交換矩陣中某兩行的位置；方程組的初等變換相當(dāng)于對系數(shù)矩陣做相應(yīng)的初等行變換。方程組的初等變換是否會改變線性方程組的解？定理：方程組的初等變換將一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。線性方程組1 消元法 增廣

3、矩陣由線性方程組的系數(shù)和右端常數(shù)組成的矩陣ssnssnnbaaabaaabaaa21222221111211稱為該線性方程組的增廣矩陣。AbA線性方程組與增廣矩陣是一一對應(yīng)的定理：對線性方程組的增廣矩陣 進行初等行變換化為 ，則以 為增廣矩陣的線性方程組與原線性方程組同解。ABB一個線性方程組的增廣矩陣可通過初等行變換化為怎樣的簡單形式？線性方程組1 消元法定理：任何一個sn階矩陣A，都可通過一系列初等行變換化為一個階梯形矩陣。定理：線性方程組與以下形式的階梯形線性方程組同解。)0(000001222222111212111iirrnrnrrrnnrrnnrrcddxcxcdxcxcxcdxc

4、xcxcxc線性方程組1 消元法l 當(dāng) 時，該線性方程組無解。01rdl 當(dāng) 時，該方程組有解，并分兩種情況：01rd(i) 若 r = n，則階梯形方程組為)0(2222211212111iinnnnnnnncdxcdxcxcdxcxcxc方程組有唯一解。線性方程組1 消元法(ii) 若 r n，則階梯形方程組為)0(11,2211, 222221111, 11212111iirnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc可改寫為)0(11,211, 222222111, 111212111iinrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrr

5、cxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc方程組有無窮多解。自由未知量線性方程組例題：例1、 解線性方程組例2、 解線性方程組1424524132321321321xxxxxxxxx1 消元法05631242725432143214321xxxxxxxxxxxx線性方程組1 消元法000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理：在齊次線性方程組中，如果 s s , 則向量組t,21必定線性相關(guān)。若個數(shù)多的向量組能由個數(shù)少的向量組線性表出，則個數(shù)多的向量組必定線性相關(guān)。推論3：n + 1個 n 維向量必定線性相關(guān)。線性方程組3

6、線性相關(guān)性 極大線性無關(guān)組 定義：如果向量組s,21的一個部分組riii,21是線性無關(guān)的，而且向量組s,21中的任一向量都可由它線性表出，則稱riii,21是向量組s,21的一個極大線性無關(guān)組。例5 求向量組)3 , 2 , 1, 2(),4 , 5 , 2, 4(),1 , 3 , 1, 2(321的一個極大線性無關(guān)組。向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的定理 一個向量組的任何極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量。線性方程組3 線性相關(guān)性定義 一個向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩 (rank)。例7 求下面向量組的秩) 3 , 6, 2 , 0(),1, 3, 0 , 1

7、 (),3, 1, 1 , 2(),0 , 1 , 4 , 1 (4321例8 設(shè)B是矩陣A經(jīng)過初等行變換得到的矩陣，則矩陣A、B的列向量具有完全相同的線性關(guān)系。例9 一個向量組中的任何一個線性無關(guān)組，都可以擴充為該向量組的一個極大線性無關(guān)組。確定極大線性無關(guān)組的初等變換方法線性方程組4 矩陣的秩4 4 矩陣的秩矩陣的秩定義 矩陣的行秩就是矩陣的行向量組的秩；列秩就是矩陣的列向量組的秩。例1 求矩陣2100420023202121A的行秩和列秩。是否任意矩陣的行秩和列秩都相同？線性方程組4 矩陣的秩引理 如果齊次線性方程組snssnnaaaaaaaaaA212222111211的系數(shù)矩陣000

8、221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的行秩 r n，那么該齊次線性方程組有非零解。線性方程組4 矩陣的秩定理 矩陣的行秩與列秩相等。定義 矩陣的行秩與列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩。矩陣的秩不會超過矩陣的行數(shù)和列數(shù)例2 求下面矩陣的秩10030116030242201211A例3 設(shè)A是一個秩為r的mn階矩陣，從A中任劃去 m - s 行與 n - t 列后，其余元素按原來的位置排成一個 st 階矩陣C，證明：秩Cr+s+t-m-n線性方程組4 矩陣的秩定理 nn 階矩陣nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的行列式為零的充分必要條件

9、是 A 的秩小于 n。n 階方陣 A 的行列式 |A|0 的充要條件是 A 的秩等于 n。推論 齊次線性方程組000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于0。線性方程組4 矩陣的秩定義 在一個 sn 階矩陣 A 中任意選定k行和k列，1kmin s, n，位于這些選定的行和列的交點上的 k2 個元素按原來的順序組成一個 k 階方陣，定理 矩陣 A 的秩為 r 的充分必要條件是矩陣中有一個 r 階子式不為零，而這個方陣稱為 A 的一個 k 階子陣，其行列式稱為 A 的一個 k 階子式。所有的 r +

10、1 階子式全為零。例4 求下面矩陣的秩810062535973701045031A線性方程組5 線性方程組有解的判別定理5 5 線性方程組有解的判別定理線性方程組有解的判別定理定理：線性方程組snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣 A 的秩與其增廣矩陣A有相同的秩。線性方程組5 線性方程組有解的判別定理定理：線性方程組snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系數(shù)矩陣 A 與其增廣矩陣A有相同的秩 r，則(1) 當(dāng) r = n 時，方程組有唯

11、一解；(2) 當(dāng) r n 時，方程組有無窮多個解。線性方程組4 矩陣的秩例1 設(shè)線性方程組175997343322213224321432143214321321xxxxxxxxxxxxxxaxxxxx例2 當(dāng) a，b 取何值時，線性方程組bxxxxxaxxxxxaxxxxxxxxxx543215432154321543213345122234323695543無解？有解？有解時求其一般解。線性方程組4 矩陣的秩例3 解線性方程組有解，且系數(shù)矩陣 A 的秩為 r1，而方程組無解，且系數(shù)矩陣 B 的秩為 r2，證明矩陣)1(22112222212111212111mnmnmmnnnndxaxax

12、adxaxaxadxaxaxa)2(22112222212111212111msmsmmsssscxbxbxbcxbxbxbcxbxbxbmmmsmmnmmsnsncdbbaaacdbbaaacdbbaaaG12122221222211111111211的秩r1+ r2 +1。線性方程組6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)6 6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)齊次線性方程組000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的解有如下兩個重要性質(zhì)：性質(zhì)1：齊次線性方程組的兩個解的和仍是該方程組的解。性質(zhì)2：齊次線性方程組的任一解的倍

13、數(shù)仍是該方程組的解。齊次線性方程組的任意線性組合仍是該方程組的解齊次線性方程組的任意線性組合仍是該方程組的解線性方程組5 線性方程組有解的判別定理(1) 定義：齊次線性方程組的一組解t,21稱為它的基礎(chǔ)解系，如果線性無關(guān)；t,21(2) 該齊次方程組的任一解都能表示為的線性組合。t,21定理：齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，而且基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)等于 n-r，其中 n 為未知量的個數(shù)，r 為系數(shù)矩陣 A 的秩。基礎(chǔ)解系不唯一，任何一個線性無關(guān)且與基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系不唯一，任何一個線性無關(guān)且與基礎(chǔ)解系等價的向量組都是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系等價的向量組都是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)

14、解系例1 求齊次線性方程組01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx的一個基礎(chǔ)解系。線性方程組5 線性方程組有解的判別定理例2 證明：齊次線性方程組000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的解全是方程02211nnxbxbxb的解的充要條件是向量),(21nbbb可由向量組siaaainiii, 2, 1),(21線性表出。線性方程組6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)定義：把一般線性方程組 一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)的右端項換為0所得的齊次線性方程組稱為該方程組的導(dǎo)出組。性質(zhì)1：一般線性方程組的兩個解的差是其導(dǎo)出組的解。性質(zhì)2：一般線性方程組的一個解與其導(dǎo)出組的一個解之和仍是該 線性方程組的解。snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111一般線性方程組與其導(dǎo)出組的解的關(guān)系：線性方程組6 線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理：如果 0是線性方程組的一個特解，那么方程組的任一解 可表示為其中 是其導(dǎo)出組的一個解，當(dāng) 取遍它導(dǎo)出組的全部解時， 就給出該推論 在線性方程組有解的條件下，其解唯一的充要條件是它的導(dǎo)出組只有零解。0線性方程組的全部解。線性