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1、第24講 一元線性回歸分析教學(xué)目的:1. 使學(xué)生理解隨機(jī)變量與普通變量間的相關(guān)關(guān)系; 2. 使學(xué)生理解與間的一元線性回歸模型; 3. 使學(xué)生掌握未知參數(shù)和的最小二乘估計(jì)方法; 4. 使學(xué)生掌握線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)方法。教學(xué)重點(diǎn):使學(xué)生理解與間的一元線性回歸模型,掌握未知參數(shù)和的最小二乘估計(jì)方法。教學(xué)難點(diǎn):使學(xué)生理解與間的一元線性回歸模型。教學(xué)時(shí)數(shù):3學(xué)時(shí)。教學(xué)過(guò)程:第九章 回歸分析§9.1回歸分析的基本概念客觀世界中普遍存在著變量間的關(guān)系,而變量間的關(guān)系一般可分為兩類(lèi):確定性關(guān)系和非確定性關(guān)系。確定性關(guān)系:可以用函數(shù)來(lái)表示的變量間關(guān)系。非確定性關(guān)系:不能用函數(shù)來(lái)表示的變量間關(guān)系,也稱(chēng)
2、為相關(guān)關(guān)系或統(tǒng)計(jì)關(guān)系。 如身高與體重之間的關(guān)系。一般來(lái)說(shuō),人高一些,體重要重一些,但同樣身高的人,體重往往不相同。又如人的血壓與年齡之間的關(guān)系,樹(shù)高與生長(zhǎng)時(shí)間之間的關(guān)系,商品的銷(xiāo)售量與單價(jià)之間的關(guān)系等都是相關(guān)關(guān)系。 所謂回歸分析是指通過(guò)試驗(yàn)和觀測(cè)去尋找隱藏在變量間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法,是研究變量間相關(guān)關(guān)系的一種有力的數(shù)學(xué)工具。設(shè)隨機(jī)變量(因變量)與普通變量(自變量)之間存在著某種相關(guān)關(guān)系,由于是隨機(jī)變量,對(duì)于的各個(gè)取值,有它的分布,我們不妨用表示取確定值時(shí),對(duì)應(yīng)的的分布函數(shù)。可以想象如果我們掌握了隨著取值的變化而變化的規(guī)律,那么就能完全掌握與之間的關(guān)系了,然而這樣做往往非常復(fù)雜,甚至是不可能
3、的。作為一種近似,我們轉(zhuǎn)而去考察取確定值時(shí)的數(shù)學(xué)期望,若此時(shí)的數(shù)學(xué)期望存在,則其值隨的取值而定,它是的函數(shù)。將這一函數(shù)記為,稱(chēng)為關(guān)于的回歸函數(shù)。這樣,我們就將討論與的相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論與的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題了。我們先看一個(gè)例子。例1 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中,溫度對(duì)產(chǎn)品得率的影響,測(cè)得數(shù)據(jù)如下:溫度100110120130140150160170180190得率45515461667074788589這里自變量是普通變量,是隨機(jī)變量。畫(huà)出散點(diǎn)圖如下:由散點(diǎn)圖大致可以看出與的相關(guān)關(guān)系可用線性函數(shù)近似地描述,其中為取確定值時(shí)的數(shù)學(xué)期望。§9.2 一元線性回歸分析1一元線性回歸模型設(shè)隨機(jī)變
4、量與普通變量間存在相關(guān)關(guān)系,且假設(shè)對(duì)于的每一個(gè)取值有其中、及都是不依賴于的未知參數(shù)。記,則對(duì)做這樣的正態(tài)假設(shè),相當(dāng)于假設(shè) (1)其中未知參數(shù)及都是不依賴于。(1)式稱(chēng)為一元線性回歸模型,其中稱(chēng)為回歸系數(shù)。(1)式表明,因變量由兩部分組成,一部分是的線性函數(shù),另一部分是隨機(jī)誤差,是人不可控制的。下面的任務(wù)是對(duì)、的估計(jì)。2參數(shù)、的最小二乘估計(jì)取的個(gè)不全相同的取值,作次獨(dú)立試驗(yàn),得到樣本 (2)和樣本觀測(cè)值 (3)把樣本觀測(cè)值(3)代入(1)得而使達(dá)到最小為原則對(duì)未知參數(shù)和的估計(jì)稱(chēng)為未知參數(shù)和的最小二乘估計(jì),估計(jì)值記為和。這時(shí)稱(chēng)為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,簡(jiǎn)稱(chēng)回歸方程。其圖象稱(chēng)為回歸直線。下面求未知參數(shù)和
5、的最小二乘估計(jì)。求的極值點(diǎn)有得方程組解方程組得唯一解 (4)其中,和為未知參數(shù)和的最小二乘估計(jì)值,而 (5)中的和為未知參數(shù)和的最小二乘估計(jì)量,。 回歸方程也可寫(xiě)成,這表明,關(guān)于樣本值的回歸直線通過(guò)散點(diǎn)圖的幾何中心。為了計(jì)算上的方便,我們引入記號(hào)這樣,和的估計(jì)值可寫(xiě)成例2 求例1中變量關(guān)于的線性回歸方程。解 ,經(jīng)計(jì)算得故得于是得到回歸直線方程或?qū)懗?的估計(jì)由于記,稱(chēng)為處的殘差。平方和稱(chēng)為殘差平方和。為了計(jì)算,將做如下分解再由得的另一個(gè)分解式相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為可以證明 (6)于是即這樣就得到了的無(wú)偏估計(jì)量 (7)例3 求例2中的無(wú)偏估計(jì)。解 由例2中的計(jì)算結(jié)果得又已知,故,4線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)在以
6、上的討論中,我們假定關(guān)于的回歸函數(shù)具有形式,在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí),是否為的線性函數(shù),首先要根據(jù)有關(guān)專(zhuān)業(yè)知識(shí)和實(shí)踐來(lái)判斷,其次就要根據(jù)實(shí)際觀察得到的數(shù)據(jù)運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來(lái)判斷。這就是說(shuō),求得的線性回歸方程是否具有實(shí)用價(jià)值,一般來(lái)說(shuō),需要經(jīng)過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)才能確定。若線性假設(shè)(1)符合實(shí)際,則不應(yīng)為零,因?yàn)槿?,則就不依賴于了。因此,我們需要檢驗(yàn)假設(shè)。用檢驗(yàn)法來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn),可以證明:又由(6)式和(7)式知,且與相互獨(dú)立,故有即 其中。 當(dāng)為真時(shí),此時(shí)且,即得的拒絕域?yàn)?(8)此處為顯著性水平。當(dāng)假設(shè)被拒絕時(shí),認(rèn)為回歸效果是顯著的,反之,就認(rèn)為回歸效果不顯著?;貧w效果不顯著的原因可能有如下幾種:(1)影響的取值,除了及隨機(jī)誤差外還有其它不可忽略的因素;(2)不
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