雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一)(二)

1、課題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）教學(xué)目標(biāo) 1.掌握雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法； 2.掌握焦點(diǎn)、焦距、焦點(diǎn)位置與方程關(guān)系；3.認(rèn)識(shí)雙曲線的變化規(guī)律.教學(xué)重點(diǎn) 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教學(xué)過(guò)程1、設(shè)置情境我們已經(jīng)知道，與兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么與兩定點(diǎn)的距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢？（用雙曲線演示模板畫(huà)出雙曲線）下面我們給出雙曲線的定義，并研究雙曲線的方程.2、探索研究雙曲線的定義：（1）      繪圖演示（2）      分析原理（3

2、）      歸納定義（注意與橢圓比較）我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于 ）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.說(shuō)明常數(shù)小于 ；這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)；這兩焦點(diǎn)的距離叫雙曲線的焦距.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)推導(dǎo)過(guò)程：參見(jiàn)課本p.105如圖812，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1、F2，并且點(diǎn)O與線段F1F2的中點(diǎn)重合.設(shè)M（x,y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c>0)，那么，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0).又設(shè)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a.由定

3、義可知，雙曲線就是集合 將方程化簡(jiǎn)得(c2a2)x2a2y2=a2(c2a2).由雙曲線的定義可知，2c>2a，即c>a，所以c2a2>0，令c2a2=b2，其中b>0，代入上式得 (a>0,b>0).（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式形式一： （a>0,b>0）說(shuō)明：此方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.焦點(diǎn)是F1(c,0)、F2(c,0)，這里c2=a2+b2.形式二： （a>0,b>0）說(shuō)明：此方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是F1(0，c)、F2(0， c)，這里c2=a2+b2.3、反思應(yīng)用例1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）&

4、#160;      a=4, c=5, 焦點(diǎn)在x軸上；（2）       焦點(diǎn)為（-5，0），（5，0），且b =3（3）       a=4, 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ；（4）       焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn) 分析 根據(jù)已知條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a, b 即可，注意標(biāo)準(zhǔn)方程的形式例2（課本例） 已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1（5，0）、F2（5，0），雙曲線上一點(diǎn)P到F1

5、、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (a>0,b>0).2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2=5232=16所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為說(shuō)明：例1、2目的在于讓學(xué)生熟悉雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.例3、證明橢圓x2/25y2/191與雙曲線x215y215的焦點(diǎn)相同。 分析：分別求出橢圓及雙曲線的焦點(diǎn)即可例4、已知方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求k的取值范圍隨堂練習(xí)(課本P107 2, 4) 已知方程 表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程a=4,b=3，焦點(diǎn)在x軸上；焦點(diǎn)為(

6、0,6),(0,6)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,5)焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn) 4、歸納總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合，待定系數(shù)法，分類討論掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，并利用焦點(diǎn)、焦距與方程關(guān)系確定雙曲線方程.5、課后作業(yè)習(xí)題 1、2、3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）教學(xué)目標(biāo) 1.進(jìn)一步掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，特別是用定義法和待定系數(shù)法；2.了解雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn) 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn) 雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程1、復(fù)習(xí)回顧（1）雙曲線定義（2）兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)點(diǎn)P(3,15/4),Q(16/3,5)，

7、且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)，且焦點(diǎn)在x軸上；與雙曲線x2/16y2/41有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 。分析：設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)，則解得 所求方程為x2/16y2/91小結(jié)：“巧設(shè)”方程為“為mx2ny21(mn0)”避免分兩種情況進(jìn)行討論。 且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/my2/(6m)1（0m6）雙曲線經(jīng)過(guò)(5,2)，25/m4/(m6)1，解得m5或m30（舍去）所求方程為x2/5y21與雙曲線x2/16y2/41有相同的焦點(diǎn)，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， ，解得4或1(舍去)所求方程為x2/12y2/81小結(jié)：注意到了與雙曲線 x2/16y2/

8、41共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為 后，便有了上述巧妙的設(shè)法。已知雙曲線x2/a2y2/b21（a>0,b>0）, 求過(guò)它的焦點(diǎn)且垂直于x 軸的弦長(zhǎng)分析：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c,0），過(guò)F且垂直于x軸的弦為AB，要求AB的長(zhǎng)，只需確定弦的一個(gè)端點(diǎn)A或B的縱坐標(biāo)即可|AB|2a2/c變：雙曲線x2/4y2/121上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為6，這樣的點(diǎn)有個(gè)。一動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M（4，0），且與已知圓N：(x4)2y216相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡。分析：由題意，列出動(dòng)圓圓心滿足的幾何條件，若能由此條判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是哪種曲線，則可直接求出其軌跡方程來(lái)內(nèi)切時(shí)，定圓N在動(dòng)圓P的內(nèi)部，有|PC|PM|4

9、，外切時(shí)，有|PC|PM|4，故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線x2/4y2/121。已知?jiǎng)訄AP與定圓C1：(x5)2y249,C2：(x5)2y21 都相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程分析：外切有|PC1|7r, |PC2|1r，|PC1|PC2|6，內(nèi)切有|PC1|r7, |PC2|r 1，|PC2|PC1|6故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線x2/9y2/1612、探索研究：例（課本）一炮彈在某處爆炸，在A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2 s.（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？（2）已知A、B兩地相距800 m，并且此時(shí)聲速為340 m/s，求曲線的方程.解（1）由聲速及A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)

10、的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上.（2）如圖814，建立直角坐標(biāo)系xOy，使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則即2a=680,a=340.又 2c=800,c=400, b2=c2a2=44400. x>0.所求雙曲線的方程為： (x>0).說(shuō)明：該例表明，利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.而現(xiàn)實(shí)生活中為了安全，我們最關(guān)心的則是爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，那么我們?nèi)绾谓鉀Q這個(gè)問(wèn)題呢？如果再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B、C（或A、C）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組