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文檔簡介
1、平湖市新華愛心高級中學教學案之教案總課時:課 題§ 1.1.3 導數(shù)的幾何意義課型:新授課主備教師: 劉素課第梅時1了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系;2知道曲線的切線的概念;學習目標3通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義,并會用導數(shù)的幾何意義解題;重點知道曲線的切線的概念及導數(shù)的幾何意義,并會求切線方程;教學重難點難點切線概念;一回顧(一) 函數(shù) y=f(x) 在 x0 附近的平均變化率割線的斜率 y=f(x) 在 x=x0 處的瞬時變化率由導數(shù)的意義可知,求函數(shù) y=f(x) 在點二新課講授情境設(shè)置:通過前面的學習我們知道導數(shù)表示函數(shù)x0處的導數(shù)的基本方法y=f(x) 在 x0
2、 處的瞬時變化率,反映了備 課 札記y=f(x)在x0 附近的變化情況,導數(shù)f 'x0的幾何意義是什么呢?(一)曲線的切線及切線的斜率:如圖3.1-2,當 Pn (xn,f(xn )( n1,2,3, 4)沿著曲線f (x)趨近于點P(x0, f ( x0 ) 時,割線PPn 的變化趨勢是什么?歸納:當點Pn 沿著曲線無限接近點P 即x 0時 ,割線PPn 趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P 處的切線 .設(shè)置問題:(1)割線 PPn的斜率 kn ?(2) 割 線 PPn 的 斜率kn 與切線PT 的斜率 k有什么關(guān)系?(3) 切線 PT 的斜率 k 的關(guān)系式?說明:
3、( 1)設(shè)切線的傾斜角為,那么當x0 時,割線 PQ 的斜率 ,圖 3.1-2稱為曲線在點P 處的切線的斜率.概念辨析 : 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì) 函數(shù)在 xx0 處的導數(shù) .( 2)曲線在某點處的切線 :1)與該點的位置有關(guān) ;2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解 .如有極限 , 則在此點有切線 ,且切線是唯一的 ; 如不存在 ,則在此點處無切線 ;3)曲線的切線 ,并不一定與曲線只有一個交點 ,可以有多個 ,甚至可以無窮多個 .(二)導數(shù)的幾何意義:函數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的導數(shù)等于在該點( x0, f ( x0 ) 處的切線的斜率,即 f (
4、 x0 ) lim0f ( x0x) f (x0 )kxx說明: 求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出 P 點的坐標 ;求出函數(shù)在點x0 處的變化率 f (x0 )lim0f ( x0x) f ( x0 )k ,得到曲線在點xx( x0 , f ( x0 ) 的切線的斜率;利用點斜式求切線方程.(三)典例應用例 1:( 1)求曲線 y=f(x)=x2+1 在點 P(1,2) 處的切線方程 .練習: 求函數(shù) y=3x2 在點 (1,3) 處的導數(shù) .例 2(課本例2)如圖 3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)h(x)4.9 x26.5 x10 ,根據(jù)圖像,請描述、比較曲線 h(t
5、) 在 t0 、 t1 、 t2 附近的變化情況解:我們用曲線h(t) 在 t0 、 t1 、 t2 處的切線,刻畫曲線 h(t) 在上述三個時刻附近的變化情況( 1)當 tt0 時,曲線 h(t) 在 t0 處的切線 l0 平行于 x 軸,所以, 在 t t0 附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降( 2)當 tt1 時,曲線 h(t) 在 t1 處的切線 l1 的斜率 h (t1 )0 ,所以,在 tt1 附近曲線下降,即函數(shù) h( x)4.9x26.5x 10 在 t t1 附近單調(diào)遞減( 3)當 tt2 時,曲線 h(t) 在 t2 處的切線 l2 的斜率 h (t2 )0 ,所以,在 tt2
6、 附近曲線下降,即函數(shù)h(x)4.9 x26.5x10 在 tt2 附近單調(diào)遞減從圖3.1-3 可以看出, 直線l1 的傾斜程度小于直線l2 的傾斜程度, 這說明曲線在t1 附近比在 t2 附近下降的緩慢例 3(課本例隨時間 t (單位:3)如圖 3.1-4 ,它表示人體血管中藥物濃度min )變化的圖象根據(jù)圖像,估計tcf (t) (單位: mg / mL )0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 時,血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1 )解:血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度f (t ) 在此時刻的導數(shù),從圖像上看,它表示曲線f (t) 在此點處的切線的斜率如圖 3
7、.1-4,畫出曲線上某點處的切線,利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率,可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值作 t0.8處的切線, 并在切線上去兩點,如 (0.7,0.91), (1.0,0.48) ,則它的斜率為:0.480.911.4k0.71.0所以f (0.8)1.4下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:t0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率f ' (t)0.40- 0.7- 1.4四課堂練習1求曲線 y=f(x)=x3 在點 (1,1) 處的切線;2求曲線 yx 在點 (4,2)處的切線五回顧總結(jié)1曲線的切線及切線的斜率;2導數(shù)的幾何意義當堂檢測(滿分10 分)1 已知曲線 y2x2上一點 A 2,8處的切線斜率為()A 4B.16C.8D.22 已知曲線 y2x21上一點 P1,3 處的切線方程為()A y4x 1B. y4x 7C. y 4x 1D. y 4x 73. fx 在 xfx0 hf x0x0 可導,則 limh()h 0A
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