小學(xué)奧數(shù)排列組合.

1、計數(shù)問題教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2. 了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3. 掌握排列組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4. 會、分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列組合的一些計數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5. 根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進(jìn)行計數(shù)。一、排列組合的應(yīng)用【例 1】小新、阿呆等七個同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（ 1）七個人排成一排；

2、（ 2）七個人排成一排，小新必須站在中間 .（ 3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（ 4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊 .（ 5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上 .（ 6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人 .（ 7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人 . 小新、阿呆不在同一排?！窘馕觥?（1） P77 5040 （種）。（ 2）只需排其余 6 個人站剩下的 6 個位置 P66 720 （種） .（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6 個位置 2× P66 =1440( 種) （ 4）先排兩邊，再排剩下的 5 個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以

3、互換位置 2 P55 240 ( 種) （5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5 個人中選 2 人，再排剩下的5 個人， P52P552400 （種） .（6）七個人排成一排時， 7 個位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人， 7 個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是 7 個元素的全排列 P77 5040 （種） .（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2 即可 4×3共18頁第1頁× P55 ×2=2880( 種) 排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列?！纠?

4、2】用 1、2、3、4、 5、6 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5 的三位數(shù)？【解析】 個位數(shù)字已知，問題變成從從 5 個元素中取2 個元素的排列問題，已知 n 5 ，24 20 ( 個) 符合題意的三位數(shù)。m 2 ，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成 P5 5【鞏固】用 1、2、3、 4、5 這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看： 把 3 排在最高位上，其余4 個數(shù)可以任意放到其余4 個數(shù)位上，是 4 個元素全排列的問題，有 42 1 24 ( 種) 放法，對應(yīng)24 個不同的五位數(shù)；P443 把 2，4，5 放在最高位上，有3 種選

5、擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和 3 之外的 3 個數(shù)字可以選擇，有3 種選擇，其余的3 個數(shù)字可以任意放到其余 3 個數(shù)位上，有 P336種選擇由乘法原理，可以組成 3 3 6 54 ( 個 ) 不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成245478( 個) 不同的五位數(shù)?！眷柟獭坑?0 到 9 十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687 是第幾個數(shù)？【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排 1，2 ，3或 4 時，千位有 4 種選擇，而百、十、個位可以從 0 9 中除千位已確定的數(shù)字之外的 9 個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從 9 個元素中取 3個的

6、排列問題，所以百、十、個位可有 P93 9 8 7 504 ( 種) 排列方式由乘法原理，有45042016( 個) 千位上排 5 ，百位上排 0 4 時，千位有 1 種選擇，百位有 5 種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇也就是從 8 個元素中取 2 個的排列問題，即 P828 756 ，由乘法原理，有 1 556 280(個) 千位上排 5，百位上排6 ，十位上排0，1，2， 3， 4 ， 7 時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有1 1 6 7 42(個) 千位上排 5，百位上排6 ，十位上排8時，比5687小的數(shù)的個位可以選擇0 ，1，2，3，4共 5個綜上所述，比5687小的四位

7、數(shù)有 2016 28042 52343( 個) ，故比 5687小是第2344個四位數(shù)【例 3】用 1、 2 、 3、 4 、 5 這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3 的倍數(shù)？共18頁第2頁【解析】 按位數(shù)來分類考慮：一位數(shù)只有 1個 3；兩位數(shù)：由 1與 2， 1與 5 ， 2 與 4 ， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成2P2212( 個) 不同的兩位數(shù)，共可組成248 ( 個) 不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由 1， 2 與 3； 1， 3與 5； 2 ， 3與 4； 3， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成 P333216 ( 個 ) 不同的三位數(shù)，共可組成 6424

8、( 個) 不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由 ， ， ， 這四個數(shù)字組成，有424 ( 個) 不同的1245P44321四位數(shù)； 五位數(shù)：可由1， 2， 3 ， 4， 5 組成，共有 P555 4321120 ( 個) 不同的五位數(shù)由加法原理，一共有1824 24 120 177 ( 個) 能被 3 整除的數(shù)，即3 的倍數(shù)【鞏固】用 1、2、3、4、5、6 六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【解析】由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應(yīng)從 2 ， 4 ， 6 中選一張，有 3種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的 5 張中選二張，有 P2 5 4 20 ( 種) 選法由乘法原理

9、，一5共可以組成 3 2060 ( 個) 不同的偶數(shù)【例 4】某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0 數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9 ，那么確保打開保險柜至少要試幾次？【解析】四個非 0 數(shù)碼之和等于 9 的組合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3 六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮 6 的位置就可以了， 6 可以任意選擇 4 個位置中的一個，其余位置放 1，共有 4 種選擇；第二種中，先考慮放 2 ，有 4 種選擇，再考慮 5 的位置，可以有 3 種選擇，剩下的位置放 1，共有 4 3 12 ( 種)

10、選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有 12 種選擇最后一種，與第一種的情形相似， 3 的位置有 4 種選擇，其余位置放 2 ，共有 4種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成 4 12 12 12 12 4 56( 個) 不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試 56次【例 5】兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰， ( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法) ，那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個位置在 6 個人中任選一個， 有 C616 ( 種) 選法，第二個位置在另一胞胎的3人中任選一個，有 C313 ( 種) 選法同理，第3，4，5，6個位置

11、依次有 2，2，1 ， 1種選法由乘法原理，不同的坐法有P1P1P1P1P1P163221172(種)。632211【例 6】一種電子表在6 時 24 分 30 秒時的顯示為 6: 24：30，那么從 8 時到 9 時這段共18頁第3頁時間里，此表的5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?【解析】 設(shè) A: BC DE 是滿足題意的時刻，有A 為 8，B、D 應(yīng)從 0，1，2，3，4，5 這 6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有 P62 種選法，而 C、E 應(yīng)從剩下的 7 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有P72 種選法，所以共有 P62 × P72 =1260 種選法。從 8 時到

12、9 時這段時間里，此表的5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有 1260 個。【例 7】一個六位數(shù)能被 11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個六位數(shù)的 6 個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11 整除的六位數(shù) ?【解析】 設(shè)這個六位數(shù)為abcdef ，則有 ( ace) 、(bdf ) 的差為 0 或 11 的倍數(shù)且 a、b、c、d、e、f 均不為 0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。先考慮 a、c、e 偶數(shù)位內(nèi)， b、d、f 奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有P33 × P33 =36 種順序；再考慮形如 badcfe 這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換， 也有 P33 × P33

13、=36 種順序。所以，用均不為 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+36=72 個能被 11 整除的數(shù) ( 包含原來的 abcdef ) 。所以最少還能排出72- 1=71 個能被 11 整除的六位數(shù)?！纠?8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5 名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說： “很遺憾，你和乙都未拿到冠軍 ”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的 ”從這個回答分析， 5 人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】 這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍” ，而且“乙不是最差的

14、” ，也就等價于 5 人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有3 種排法，再排甲，也有3 種排法，剩下的人隨意排，有P332 1 6(種)排法由乘法原理，一共有 3 3 654 ( 種) 不同的排法。3【例9】 4名男生， 5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排甲， 9 個位置除了中間和兩端之外的6 個位置都可以，有6 種選擇，剩下的 8 個人隨意排，也就是 8 個元素全排列的問題，有 P8 8 76 5432140320(種)選8擇

15、由乘法原理，共有 640320 241920( 種) 排法 甲、乙先排，有 P222 12 ( 種) 排法；剩下的 7 個人隨意排，有P777 6 54 32 15040 ( 種) 排法由乘法原理，共有 25040 10080( 種) 排法 分別把男生、女生看成一個整體進(jìn)行排列， 有 P222 12 ( 種) 不同排列方法，共18頁第4頁再分別對男生、 女生內(nèi)部進(jìn)行排列， 分別是 4 個元素與 5 個元素的全排列問題，分別有P4443 2 1 24(種)和P5554 3 2 1 120(種)排法由乘法原理，共有 2241205760( 種) 排法 先排 4 名男生，有 P4443 21 24

16、( 種 ) 排法，再把 5 名女生排到 5 個空檔中，有 P555 4 3 2 1 120( 種) 排法由乘法原理， 一共有 24 120 2880( 種) 排法?！眷柟獭?五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法?！窘馕觥?五位同學(xué)的排列方式共有5×4×3×2×1=120（種）。如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（種）。24×因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有2=48( 種

17、) ；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有 120- 48=72（種）。【例 10】 一臺晚會上有6 個演唱節(jié)目和 4 個舞蹈節(jié)目求：當(dāng) 4 個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？當(dāng)要求每 2 個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將 4 個舞蹈節(jié)目看成 1 個節(jié)目，與 6 個演唱節(jié)目一起排，則是7 個元素全排列的問題，有P777!76543215040 ( 種) 方法第二步再排 4個舞蹈節(jié)目，也就是 4 個舞蹈節(jié)目全排列的問題，有P444!432124 ( 種) 方法根據(jù)乘法原理，一共有504024120960( 種) 方法首先將 6 個演唱

18、節(jié)目排成一列 ( 如下圖中的“” ) ，是 6 個元素全排列的問題，一共有 P666!654321720(種)方法×××××××第二步，再將 4 個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或 2 個演唱節(jié)目之間 ( 即上圖中“×”的位置 ) ，這相當(dāng)于從 7 個“×”中選 4 個來排，一共有 P74 7 6 5 4 840 ( 種)方法根據(jù)乘法原理，一共有720840604800( 種) 方法?！眷柟獭?由 4個不同的獨唱節(jié)目和 3個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會， 要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這

19、臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排， 是 4 個元素全排列的問題， 有 P44432124種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進(jìn)行排列的問題，有P32326 ( 種) 排法；再在獨唱節(jié)目之間的3 個位置中排一個合唱節(jié)目，有3 種排法由乘法原理，一共有共18頁第5頁24 6 3 432( 種) 不同的編排方法【小結(jié)】 排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本題中，獨唱節(jié)目排好之后， 合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了總的排列數(shù)用乘法原理把若干個排列數(shù)相乘，得出最后的答案?！纠?1

20、1】 從 1，2， ，8 中任取 3 個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)， 共有多少個？（只要求列式）從 8 位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？ 3 位同學(xué)坐 8 個座位，每個座位坐 1 人，共有幾種坐法？8 個人坐 3 個座位，每個座位坐 1 人，共有多少種坐法？一火車站有 8 股車道，停放 3 列火車，有多少種不同的停放方法？8 種不同的菜籽， 任選 3 種種在不同土質(zhì)的三塊土地上， 有多少種不同的種法？【解析】按順序，有百位、十位、個位三個位置， 8 個數(shù)字（ 8 個元素）取出 3 個往上排，有 P83 種3 種職務(wù) 3 個位置，從 8 位候選人（ 8 個

21、元素）任取 3 位往上排，有 P83 種 3 位同學(xué)看成是三個位置， 任取 8 個座位號（8 個元素）中的 3 個往上排（座號找人），每確定一種號碼即對應(yīng)一種坐法，有 P83 種3 個坐位排號 1，2，3 三個位置，從8 人中任取 3 個往上排（人找座位），有 P83 種3 列火車編為 1，2， 3 號，從 8 股車道中任取 3 股往上排，共有 P83 種土地編 1，2，3 號，從 8 種菜籽中任選 3 種往上排，有 P83 種?！眷柟獭楷F(xiàn)有男同學(xué) 3 人，女同學(xué) 4 人( 女同學(xué)中有一人叫王紅) ，從中選出男女同學(xué)各 2 人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個興趣小組：( 1) 共有多少種選

22、法 ?( 2) 其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?( 3) 參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?( 4) 參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種 ?【解析】 （1）從 3 個男同學(xué)中選出2 人，有 3 2 =3 種選法。從 4 個女同學(xué)中選出2 人，2有 4 3 =6 種選法。在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有4×3×22×1=24 種選法。3×6×24=432，所以共有 432 種選法。（2）在四個人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時有 2×3×2×1=1

23、2 種選法。3×6×12=216，所以其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有216 種。共18頁第6頁（3）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3 個男同學(xué)中選出 2 人，從 3 個女同學(xué)中選出1 人， 3 個人參加 3 個小組時的選法。3 × 3 × 3× 2 × 1=54，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法有54 種，432- 54=378，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有378 種。（4）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法，此時的問題相當(dāng)于從 3 個男同學(xué)中選出 2 人參加兩個不同的小組，

24、從 3 個女同學(xué)中選出 1 人參加美術(shù)小組時的選法。3× 2×3=18，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法有 18 種， 216- 18=198，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有 198 種。【例 12】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成 3 個階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的 48 名選手分成 8 個小組，每組 6 人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將 8個小組產(chǎn)生的前2 名共 16 人再分成 4個小組，每組 4 人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4 個小組產(chǎn)生的 4 個第 1名進(jìn)行 2 場半決賽和 2場決賽，確定 1

25、至4名的名次問：整個賽程一共需要進(jìn)行多少場比賽？【解析】 第一階段中，每個小組內(nèi)部的 6 個人每 2 人要賽一場，組內(nèi)賽 C62 6515 場，21共 8 個小組，有158 120場；第二階段中，每個小組內(nèi)部 4 人中每 2人賽一場，組內(nèi)賽 C42 436場，共 4 個小組，有 6 4 24 場；第三階段賽 2 24 場根據(jù)21加法原理，整個賽程一共有120244148場比賽?！纠?13】 由數(shù)字 1，2，3 組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3 至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 _個。 ( 2007 年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】 這是一道組合計數(shù)問題由于題目中僅要求1， 2 ，3

26、至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1 ， 2 ，3 出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由 1,2,3 組成的五位數(shù)中， 去掉僅有 1個或 2 個數(shù)字組成的五位數(shù)即可( 法 1) 分兩類： 1，2 ，3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn) 3次，這樣的數(shù)有 C31 5 4 60 ( 個) ； 1， 2， 3中有兩個數(shù)字各出現(xiàn) 2 次，這樣的數(shù)有 C32 5 C42 90 ( 個) 符合題意的五位數(shù)共有 60 90 150 ( 個) ( 法 2) 從反面想，由 1 ， 2 ， 3 組成的五位數(shù)共有 35 個，由 1， 2 ， 3中的某 2 個數(shù)字組成的五位數(shù)共有 3 (2 5 2) 個，由

27、 1 ，2 ， 3中的某 1 個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個，所以符合題意的五位數(shù)共有 35 3 (2 5 2) 3 150 ( 個) 。【例 14】 10 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】( 法 1) 乘法原理按題意，分別站在每個人的立場上，當(dāng)自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有 7 種選擇，總共就有 7 10 70 種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是 ( 10 1 1 1) 10 2 35( 種) 共18頁第7頁

28、( 法 2) 排除法可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況， 總的組合數(shù)為 C102 ，而被選的兩個人相鄰的情況有 10 種，所以共有 C102 10 45 10 35 ( 種) ?！纠?15】 8 個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：C73P22C4

29、1 P22P333360 （種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C63P22P32P22 P22960 （種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：3360 960 2400 （種）?！纠?16】 小明有 10 塊大白兔奶糖 , 從今天起 , 每天至少吃一塊. 那么他一共有多少種不同的吃法 ?【解析】 我們將 10 塊大白兔奶糖從左至右排成一列, 如果在其中9 個間隙中的某個位置插入“木棍” , 則將 lO 塊糖分成了兩部分。我們記從左至右 , 第 1 部分是第 1 天吃的 , 第 2 部分是第 2 天吃的 , ，如: | 表示第一天吃了3 粒, 第二天吃了剩下的7 粒

30、： | | 表示第一天吃了 4 粒, 第二天吃了 3 粒, 第三天吃了剩下的 3 粒不難知曉 , 每一種插入方法對應(yīng)一種吃法 , 而 9 個間隙 , 每個間隙可以插人也可以不插入 , 且相互獨立，故共有 29=512 種不同的插入方法 , 即 512 種不同的吃法?！眷柟獭啃〖t有 10 塊糖，每天至少吃 1 塊，7 天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】 分三種情況來考慮：當(dāng)小紅最多一天吃4塊時，其余各每天吃1 塊，吃 4 塊的這天可以是這七天里的任何一天，有7 種吃法；當(dāng)小紅最多一天吃 3 塊時，必有一天吃 2 塊，其余五天每天吃 1塊，先選吃 3 塊的那天，有 7 種選擇，再選吃 2 塊

31、的那天，有 6 種選擇，由乘法原理，有7 6 42 種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃 2 塊時，必有三天每天吃 2 塊，其四天每天吃 1 塊，從 7 天中選 3 天，有 C73 76535( 種) 吃法。3217 42 35 84 ( 種) 不同的吃法根據(jù)加法原理，小紅一共有還可以用擋板法來解這道題， 10塊糖有 9 個空，選 6 個空放擋板，有 C96C9384(種)不同的吃法。【鞏固】把 20 個蘋果分給 3 個小朋友，每人最少分3 個，可以有多少種不同的分共18頁第8頁法？【解析】( 法 1) 先給每人 2 個，還有 14 個蘋果，每人至少分一個， 13 個空插 2 個板，有 C132 78

32、種分法(法 2) 也可以按分蘋果最多的人分的個數(shù)分類枚舉。【鞏固】有 10 粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】如圖： | | ，將 10 粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有 9 個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有 9 8 2 36 種方法【例 17】 某池塘中有 A、B、C 三只游船， A 船可乘坐 3 人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐 1 人，今有 3個成人和 2 個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他

33、們5 人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，所以兒童不能乘坐 C 船若這 5 人都不乘坐 C 船，則恰好坐滿 A、B 兩船，若兩個兒童在同一條船上，只能在 A 船上，此時 A 船上還必須有 1個成人，有 C313 種方法；若兩個兒童不在同一條船上，即分別在 A、B 兩船上，則 B 船上有 1個兒童和 1個成人， 1個兒童有 C212 種選擇， 1 個成人有 C313 種選擇，所以有 2 36 種方法故 5 人都不乘坐 C 船有 3 6 9 種安全方法；若這 5 人中有 1人乘坐 C 船，這個人必定是個成人，有 C313 種選擇其余

34、的 2個成人與2 個兒童，若兩個兒童在同一條船上，只能在A 船上，此時 A 船上還必須有 1個成人，有 C12 2 種方法，所以此時有 3 2 6 種方法；若兩個兒童不在同一條船上， 那么 B 船上有 1個兒童和 1個成人，此時 1個兒童和 1 個成人均有 C12 2 種選擇，所以此種情況下有 3 2 2 12 種方法；故 5 人中有 1人乘坐 C 船有 6 12 18種安全方法所以，共有 9 18 27 種安全乘法【例 18】 從 10名男生， 8名女生中選出 8人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有 3 名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生

35、，某兩名男生不能同時入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥?恰有3名女生入選，說明男生有5人入選，應(yīng)為C35種；810C 14112要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C188C108C107C8143758 ；共18頁第9頁 4 人必須入選，則從剩下的 14 人中再選出另外 4 人，有 C144 1001 種；從所有的選法 C188 種中減去這 4 個人同時入選的 C144 種：C188C14443758100142757 分三類情況：4 人無人入選；4 人僅有 1人入選； 4

36、人中有 2 人入選，共：C148C14C147C42C14634749 ?！眷柟獭吭?6 名內(nèi)科醫(yī)生和 4 名外科醫(yī)生中， 內(nèi)科主任和外科主任各一名， 現(xiàn)要組成 5 人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？ 有 3 名內(nèi)科醫(yī)生和2 名外科醫(yī)生； 既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生； 至少有一名主任參加； 既有主任，又有外科醫(yī)生?！窘馕觥?先從 6 名內(nèi)科醫(yī)生中選 3 名，有 C6365420 種選法；再從4 名外科醫(yī)生中321選2名，共有 C42436 種選法根據(jù)乘法原理，一共有選派方法206120種2 1 用“去雜法”較方便，先考慮從10名醫(yī)生中任意選派 5人，有5109876252 種

37、選派方法； 再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的C1054321情況由于外科醫(yī)生只有 4 人，所以不可能只派外科醫(yī)生如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有 C65C616 種選派方法所以，一共有252 6246種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。 如果選 1名主任，則不是主任的 8 名醫(yī)生要選 4人，有 248765種C823214041選派方法；如果選 2名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選 3人，有1 C831 87656種選派方法根據(jù)加法原理，一共有140 56196 種選派方321法 分兩類討論：若選外科主任，則其余4 人可任意選取，有49876種選取方法；C94321261若不選外科主任， 則必選內(nèi)科主任

38、，且剩余 4 人不能全選內(nèi)科醫(yī)生， 用“去雜法”有 C84C54 8765543265 種選取法43214321根據(jù)加法原理，一共有 12665191種選派方法?！纠?19】 在 10 名學(xué)生中，有 5 人會裝電腦，有 3 人會安裝音響設(shè)備，其余 2 人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由 6 人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要 3人，安裝音響設(shè)備要 3 人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項技術(shù)的學(xué)生分類：兩人都不選派，有 C5354310 ( 種) 選派方法；321共18頁第10頁兩人中選派 1人，有 2 種選法而針對此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需254( 種)

39、 選法，而另外2 人安裝電腦，有 C52101會安裝音響設(shè)備的 3 人全選派上，只有 1 種選法由乘法原理，有 10 1 10 ( 種)選法；若此人安裝音響設(shè)備， 則還需從 3人中選 2 人安裝音響設(shè)備，有 C32 323( 種)選法，需從 5 人中選 3人安裝電腦，有 C53 5432110 ( 種) 選法由乘法原理，有 3 10 30( 種) 選法321根據(jù)加法原理，有103040( 種) 選法；綜上所述，一共有24080 ( 種) 選派方法 兩人全派，針對兩人的任務(wù)可分類討論如下：兩人全安裝電腦，則還需要從5 人中選 1人安裝電腦，另外會安裝音響設(shè)備的 3 人全選上安裝音響設(shè)備，有515

40、 ( 種) 選派方案；兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設(shè)備，有方案；225432(種) 選派C5C3212601兩人全安裝音響設(shè)備，有3543( 種) 選派方案3C5 332301根據(jù)加法原理，共有 5 6030 95 ( 種) 選派方案綜合以上所述，符合條件的方案一共有1080 95185( 種) 【例 20】 有 11 名外語翻譯人員，其中 5 名是英語翻譯員， 4 名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通從中找出 8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中 4 人翻譯英文，另 4 人翻譯日文，這兩個小組能同時工作問這樣的分配名單共可以開出多少張？【解析】 針對兩名英語、日語都精通人員( 以下稱多面

41、手 ) 的參考情況分成三類：多面手不參加，則需從5 名英語翻譯員中選出4 人，有 C54C515 種選擇，需從 4名日語翻譯員中選出 4 人，有 1種選擇由乘法原理，有 5 1 5種選擇 多面手中有一人入選，有 2 種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯， 則需從 5 名英語翻譯員中再選出 3人，有 C53 54310種321選擇，需從 4名日語翻譯員中選出 4 人，有1種選擇由乘法原理，有 210120種選擇；如果參加日文翻譯， 則需從 5名英語翻譯員中選出 4人，有 C54C515 種選擇，需從 4名日語翻譯員中再選出3 名，有 C43C414 種選擇由乘法

42、原理，有2 5 440 種選擇根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有204060種選擇 多面手中兩人均入選，對應(yīng)一種選擇，但此時又分三種情況：兩人都譯英文；兩人都譯日文；兩人各譯一個語種情況中，還需從 5 名英語翻譯員中選出2 人，有 C52 5410 種選擇需從 421共 18頁第 11頁名日語翻譯員中選4人， 1種選擇由乘法原理，有1 10 1 10種選擇情況中，需從 5 名英語翻譯員中選出 4 人，有 C54C515 種選擇還需從 4 名日語翻譯員中選出2人，有 C42 436 種選擇根據(jù)乘法原理， 共有 1 5 6 3021種選擇情況中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇剩下的需從5

43、 名英語翻譯員中選出 3 人，有 C53 54310 種選擇，需從 4 名日語翻譯員中選出 3321人，有 C43C414 種選擇由乘法原理，有 1 2104 80 種選擇根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有103080120 種選擇綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出560 120 185 張二、幾何計數(shù)【例 21】 下圖中共有 _個正方形。【解析】 每個 4 4 正方形中有：邊長為1 的正方形有 42 個；邊長為2的正方形有 32 個；邊長為 3 的正方形有22個；總共有2322222 個；邊長為 4 的正方形有 141 30(個)正方形現(xiàn)有 5 個 44 的正方形，它們重疊

44、部分是4 個 22 的正方形因此，圖中正方形的個數(shù)是30554130?！纠?22】 在圖中 ( 單位：厘米 ) ：一共有幾個長方形 ?所有這些長方形面積的和是多少?512812473【解析】 一共有 (4321)(4321)100 ( 個) 長方形；所求的和是51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)144 8612384( 平方厘米 ) ?！纠?23】 由 20 個邊長為1 的小正方形拼成一個45 長方形中有一格有 “” 圖中含有“”的所有長方形( 含正方形) 共有個，它們的面積總和是。 ( 第

45、六屆走美決賽試題 )共18頁第12頁【解析】 含的一行內(nèi)所有可能的長方形有：( 八種 )含的一列內(nèi)所有可能的長方形有：(六種)所以總共長方形有6848個，面積總和為(12233445)(122334)360 ?！眷柟獭繄D中共有多少個三角形？【解析】顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為 6 類（ 1）最大的三角形 1 個( 即 ABC) ，（ 2）第二大的三角形有 3 個（ 3）第三大的三角形有 6 個（ 4）第四大的三角形有 10 個（ 5）第五大的三角形有 15 個（ 6）最小的三角形有 24 個所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+2

46、4=59（個）圖中共有三角形 2×59=118（個）?！纠?24】 一個圓上有 12 個點 A1，A2，A3， ， A11，A12以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交問共有多少共18頁第13頁種不同的連法 ?【解析】 我們采用遞推的方法I 如果圓上只有 3 個點，那么只有一種連法如果圓上有 6 個點，除 A1 點所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在 A1 所在三角形的一條邊所對應(yīng)的圓弧上，表 1 給出這時有可能的連法。如果圓上有9 個點，考慮 A1 所在的三角形此時，其余的6 個點可能分布在： A1 所在三角形的一個邊所對的弧上；也可能三個點在一個邊所對應(yīng)的弧上，另三個點在另 一 邊所對的弧上在表 2 中用“ +”號表示它們分布在不同的邊所對的弧如果是情形，則由，這六個點有三種連法；如果是情形，則由，每三個點都只能有一種連法共有 12 種連法最后考慮圓周上有 12 個點同樣考慮 A1 所在三角形，剩下 9 個點的分布有三種可能： 9 個點都在同一段弧上：有 6 個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；每三個點在A1 所在三角形的一條邊對應(yīng)的弧上得到表3共18頁第14頁共有 12×3+3×6+155 種所以當(dāng)圓周上