平面向量基本定理

1、平面向量基本定理合浦廉州中學(xué)包日勇教材分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)必修 4 第二章 第三節(jié)的第一課， 是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的基本概念和線性運算后，進一步學(xué)習(xí)平面向量基本定理。平面向量基本定理揭示了平面向量的基本關(guān)系和基本結(jié)構(gòu)，是進一步研究向量問題的基礎(chǔ)；是進行向量運算的基本工具，是解決向量或利用向量解決問題的基本手段 . 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，這樣許多幾何問題就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運算，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)課中學(xué)習(xí)向量的目的之一。教學(xué)重點： 平面向量基本定理的應(yīng)用教學(xué)難點： 對向量基本定理的理解這一點對于初學(xué)者來說有一定難度，是本節(jié)的難點課時分配本節(jié)內(nèi)容

2、用1 課時的時間完成，主要講解平面向量基本定理及如何利用基底表示平面上的任一向量。三維目標(biāo)1. 了解平面向量的基本定理，理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量唯一地表示，以及表示平面上的任一向量的基本方法2. 經(jīng)歷平面向量基本定理的形成探究過程，掌握利用基底表示任一向量的方法，認(rèn)識平面向量基本定理是實現(xiàn)向量由幾何形式過渡到代數(shù)形式的橋梁.3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，認(rèn)識其作用和價值，培養(yǎng)學(xué)生的探索研究能力.教學(xué)手段本節(jié)課用心設(shè)置問題和思考題，在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上得到要學(xué)習(xí)的問題，水到渠成。采用自主探究講練結(jié)合，學(xué)生在獨立思考和問答中解決問題，很好的調(diào)動學(xué)生的積

3、極性與主動性，提高了學(xué)生的解題能力。本節(jié)課采用問題教學(xué)法、引導(dǎo)探究法相結(jié)合，利用希沃授課助手軟件結(jié)合多媒體課件，使用手機與觸摸屏同屏顯示技術(shù)， 利用手機控制 PPT 課件的播放， 同時利用手機照相功能快速地捕捉學(xué)生在課堂上練習(xí)的情況，同屏顯示在觸摸屏上。讓學(xué)生能及時看到其他同學(xué)的做法，通過老師和同學(xué)們對展示的典型做法的分析，掌握所學(xué)的內(nèi)容，開闊了視野，大大提高了課堂教學(xué)和效率和效果。課堂模式問題教學(xué)法、引導(dǎo)探究法相結(jié)合一、復(fù)習(xí)引入1實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：a長度與方向的規(guī)定：（1） |a |=| a | ；（ 2）0 時a 與 a 方向相同；0 時a 與 a 方向相反；

4、0 時a = 02運算定律結(jié)合律：(a)=()a ；分配律： ( + ) a=a+a，( a+ b)= a+b3. 向量共線定理向量 b 與非零向量a 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù) ，使 b =a.4. 如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為 G，下滑力為 F1，木塊對斜面的壓力為 F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？F1F2G5.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.【設(shè)計意圖 】復(fù)習(xí)回顧，設(shè)置物理情境，便于學(xué)習(xí)新知二、探究新知探究一：平面

5、向量基本定理問題 1：如圖，給定平面內(nèi)任意兩個向量e1， e2，如何利用e1 ， e2表示平面上任一向量a ？【設(shè)計意圖 】使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，探索新知，引出本課題問題 2：如圖，若改變一下向量e1 ， e2 的位置，又如何利用e1 ， e2 表示平面上任一向量a ？【設(shè)計意圖 】讓學(xué)生學(xué)會不管向量e1， e2在何位置都能作出平行四邊形表示a ，而且還歸納出作圖的方法。根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a 都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1 ，e2 表示出來，從而可形成一個定理。引導(dǎo)學(xué)生得出平面向量基本定理的內(nèi)容。定理： 如果 e1 ， e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)

6、的任意向量a ，有且只有一對實數(shù) 1， 2，使a 1e1 2 e2.我們把不共線的向量e1， e2叫做這一平面內(nèi)的一組基底?！驹O(shè)計意圖 】培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)規(guī)律與特點，并能做到言簡意賅為了加深對定理的理解，設(shè)置了下面的一系列思考：思考 1：在平面向量基本定理中，為什么要求向量e1 ， e2 不共線？ 0 可以作為基底嗎？思考 2：在平面向量基本定理中，基底可以有多少對？思考 3：若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù) 1、 2 是否相同？思考 4：若 1 、 2 有一個為 0，則對應(yīng)于什么情況？師生經(jīng)過互動探究，教師引導(dǎo)同學(xué)回答，由淺入深，讓學(xué)生深入理解定理的特點【設(shè)計意圖 】進一步探究幾個關(guān)鍵點

7、：(1) 我們把不共線向量e1 ， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量 a 在給出基底 e1 ， e2 的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一 .1,2是被 a , e1 ， e2 唯一確定的數(shù)量探究二：利用基底表示平面任一向量的方法例 1.如圖，已知梯形 ABCD ， AB/CD ， AB=2DC,M,N分別是 DC,AB 的中點 .在圖中取一組基底，將其它向量用這組基底表示出來。例 2.如圖，在平行四邊形ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是 BC，DC 的中點， ABa ， ADb ，用 a ，b 表示 BF ，DE

8、【設(shè)計意圖 】通過探究例1 中的向量 MN 和例 2 中的向量 BF ， DE 的表示，總結(jié)出求某的向量的方法：(1) 尋找含有要求向量的三角形，通過三角的另兩邊對應(yīng)的向量表示這一向量，再轉(zhuǎn)化為基底表示；(2) 利用轉(zhuǎn)一圈為零向量，找含有要求向量的一個圈，用這一圈中的其它向量表示(3) 通常以幾何圖形的邊上的兩個共起點的向量作為基底三、理解新知1平面向量基本定理幾個關(guān)鍵點：(1) 我們把不共線向量e1 ， e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量 a 在給出基底 e1 ， e2 的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一

9、.1,2是被 a , e1 ， e2 唯一確定的數(shù)量平面向量坐標(biāo)表示給解決問題帶來的一些方便，幾何問題代數(shù)化，注意體會其中的思想與方法2. 求某的向量的方法：（ 1）尋找含有要求向量的三角形，通過三角的另兩邊對應(yīng)的向量表示這一向量，再轉(zhuǎn)化為基底表示；（ 2）利用轉(zhuǎn)一圈為零向量，找含有要求向量的一個圈，用這一圈中的其它向量表示（ 3）通常以幾何圖形的邊上的兩個共起點的向量作為基底四、運用新知練習(xí)： 如圖， OA ， OB 不共線， APt AB ， tR ，用 OA ， OB 表示 OP【設(shè)計意圖 】讓學(xué)生鞏固對平面向量基本定理的理解和利用基底表示平面任一向量的方法五、課堂小結(jié)1.平面向量基本定

10、理是建立在向量加法和數(shù)乘運算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點。2.通過基底某的向量的方法，可以找含這一向量的三角形，也可以利用轉(zhuǎn)一圈為零向量。教師總結(jié) : 平面向量基本定理既是本節(jié)的重點又是本節(jié)的難點，告訴我們同一平面內(nèi)任意向量都可以表示成兩個不共線的向量的線性組合，注意理解體會【設(shè)計意圖 】進行適時小結(jié)，讓學(xué)生對這次課的學(xué)習(xí)有個系統(tǒng)的認(rèn)識，加深學(xué)習(xí)印象六、布置作業(yè)1書面作業(yè)2課外思考 ABC 中，點 E 為 AC 中點，點 D 為 AB 上一點，AD= 1AB, BE 與 CD 的交點為 P，設(shè) ABa ，3CPAC b ，（ 1）求 AP ；（ 2）求PD七、板書設(shè)計平面向量基本定理1.平面向量基本定理若 e1， e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù) 1， ，使 a 21e12e2.注意：(1) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(2) 由定理可將任一向量 a 在給出基底 e1 ,e2 的條件下進行分解；(3) 基底給定時，分解形式惟一.1 ,2 是被a ,e1 ,e2 唯一確定的數(shù)量2. 求某的向量的方法：（ 1）尋找含有要求向量的三角形，通過三角的另兩邊對應(yīng)的向量表示這一向量，再轉(zhuǎn)化為基底表示；（ 2）利用轉(zhuǎn)一圈為零向量，找含有要求向量的一個圈，用這一圈中的其它向量表示（ 3）