正弦定理公式

1、如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個“方程”的話， 那么解三角形的實質(zhì)就是把題目中所給的已知條件按方程的思 想進行處理，解題時根據(jù)已知量與所求量， 合理選擇一個比較容 易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），從而使同學(xué)們?nèi)胧?容易，解題簡潔。一、直接運用公式、正弦定理、余弦定理（1）三角公式在二中，已知兩角丄丄的三角函數(shù)值，求第三個角存證 明 ： 有 解有 解oOA+B開0A d-B7T cos（;r-5）：I . .即，要判斷 是否有解，只需(2)正弦定理【正弦定理公式】sinA【余弦定理公式】sinBh+e-a12bc2ac1在二二T中，已知兩角和任意一邊，解三角形；2在中，已知兩邊和

2、其中一邊對角，解三角形；(3)余弦定理1在中，已知三邊，解三角形；2在二二T中，已知兩邊和他們的夾角，解三角形。直接運用正弦定理、余弦定理的上述情況，是我們常見、常講、常練的，因此，在這里就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看！二、間接運用公式、正弦定理、余弦定理(1)齊次式條件(邊或角的正弦)=0若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以 根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化；有些題中沒有明顯的齊次式，但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適用。1.相同角齊次式條件的弦切互化【例】在二二T中，若二一1一一二J_一一二一川二一 -.，求?！窘馕觥繜o論是條件中的一二.一，還是

3、 二口-一丄-一 -都是關(guān)于一個角的齊次式。二上_：!. 一是關(guān)于的一次齊次式； 二一-一是關(guān)于J的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。SIH j4sinA-3cosA-0smA-3cosA-= tanJ4 =3由I_L亠焯迎B込 -2曲養(yǎng) 2 竺上史邑上蘭空由1sin 5 - sin 5cos-2cos25=0=0cos1Bsin * 月一 sin B uos B、n-:- -= 0=sin1B+COS1Scos7Bsi?方+2 月在二沖，且*七三二。代值可得:當(dāng)二匸_: ，二上二時，tanC- = l=C=451-2x32.不同角（正弦）齊次式條件的邊角互化【例】 在二中，

4、若 二工二二二二- 二一，且也丨， 求的面積。【解析】條件；J_二二:工：是關(guān)于 不同角正弦的二次齊次式。因此，我們利用正弦定理將角化為邊， 然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。由二11二；二I L/： 1L/ /L；顯然這個形式符合余弦定理的公式，因此，可得嚴(yán)a+jab1cos C =-=-=2ab2ab2當(dāng)面二3,伽B二-1時，tan(7 =-3-11-3x(-1)tan2tan 5-2tan* S + l=0 = tar? tan 2 = 0 = tan = TSijvt= -acsinJ4 =-icsinB- absinC又因為 3.不同邊齊次式條件的邊角互化【例】 丄的內(nèi)角的對邊分別為

5、和:.。已知/ ；.,- c J ，求 _?！窘馕觥織l件- 是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角， 然后由二 一一二W將不同角轉(zhuǎn)化為同角，利用化一公式求解。開開廠 .廠Z=-+CB亠2C由a+c-2bJ + sin C = 2 sin 5，又2，2，可得:U 5sin-+ C+sin C = V2 sin一一2C12丿C二1尸cosC+sm C =4.邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合邊為齊次式【例】_L的內(nèi)角J- L-的對邊分別為，且acoscos= c【解析】條件:是邊角混合一一關(guān)于不同邊的一次齊次式，由于所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化 為切求解。acos

6、5-icos-(4=-c =sin -dcosS-sm 5cosj4 = -sin C_宀由，又一，則j cos5-A cos- -c5tan-4,求.二一匸tanAtanB2邊角混合角（正弦）為齊次式【例的內(nèi)角丄丄的對邊分別為/ -，且九一,【解析】條件w一n 是邊角混合一一角（正弦） 為不同角的一次齊次式。因此，我們將角的正弦化為邊，然后根 據(jù)等式形式利用余弦定理求解。以得到:-“，顯然這個形式符合余弦”護+，-小邁be72定理公式，因此，可得。從而得出J3邊角混合邊、角（正弦）都為齊次式【例】_二的內(nèi)角L- /的對邊分別為- :.-，且 ：上莎門-廠 :+宀 求 。【解析】條件幾皿八是邊

7、角混合一一邊、角（正弦）各為一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是 一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。sin川 +sinB =血_c*inC1由于：，一，我們可sin -r4 + sin-ckin C+a由2m啟一J - - ：.v.- 1-28B-(cosj4cosC-sinsinCj+cosu4cosC+ siiij4siiiC=l，只要=2sin?B-ZsinlsinCsiriB=sinAinC= ac（2） 不同邊的平方關(guān)系（余弦定理）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可 以選用余弦定理邊角互化， 在上面的一些情況中，有利用正弦定 理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題。

8、【例】_ 的內(nèi)角J- L-的對邊分別為八，且4疝二丄砂+宀刃亠4，求蟲?！窘馕觥織l件 -1-含有不同邊的平方關(guān)系，形式顯然符合余弦定理公式。由。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（兩定理同時使用，邊角互化）若題目條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi) 角正弦、余弦，可以同時使用正弦、余弦定理邊角互化，要么都 化為角（正弦、余弦），要么都化為邊?！纠吭贙ABC中，已知ABC,且j4=2C=4,fl+c = 8,求a?！窘馕觥?由題目中條件蟲=2C可得sui/=sin 2CsinJ = 2siii CcosC =ia =2ccosC ,接下來再利用余弦定理可得C = 8伍 所以+4*-(8-

9、町加=加-44a + 96= 0=山=4或24解三角形運用的原理簡單， 但是題目靈活多變，往往使學(xué)生感覺 不易下手，以上結(jié)沁心力土竺*+八卩 4,又沖，2ab因為24A BC bc =合例題談了一下通過題中條件的特征，利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系快速入手的策略，但這僅僅是初 探，更多的策略還需要同學(xué)們在解題中不斷地歸納總結(jié)。以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, For

10、schung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO員BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHMUCnO員B30BaTbCEBKOMMepqeckuxue貝EX.以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la r