用于Hartmann-Shack波前探測器的區(qū)域法算法研究X

1、第10卷第2期1998年5月強激光與粒子束HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMSVol.10,No.2May,1998用于Hartmann-Shack波前探測器的區(qū)域法算法研究張強姜文漢許冰(中國科學(xué)院成都光電技術(shù)研究所,成都雙流350信箱,610209)摘要Hartmann-Shack波前探測器是一種成熟的波前探測技術(shù)。在區(qū)域法波前重構(gòu)迭代公式的基礎(chǔ)上,超松弛迭代因子及迭代精度的合理取值;分析比較了Fried和Southwell兩種模式,認(rèn)為Fried模式更適合于波前重構(gòu)。關(guān)鍵詞Hartmann-Shack波前探測器區(qū)域法波前重構(gòu)中圖分類號O241在高功率激光技術(shù)領(lǐng)域,

2、常用Hartmann-Shack波前探測器測量激光器輸出光束的近場相位分布以檢測光束質(zhì)量。Hartmann-Shack波前探測器測量的是入射波前在探測器子孔徑內(nèi)的平均斜率,需由探測到的斜率信息重構(gòu)出入射波前相位信息,該過程稱之為波前重構(gòu)。文獻1詳細(xì)分析了適合于Hartmann-Shack波前探測器的模式法進行波前重構(gòu)的過程,模式法進行波前重構(gòu),存在模式混淆與耦合,并且不適合于子孔徑數(shù)特別多的情形。Fried和Southwell分別給出了兩種適合于Hartmann-Shack波前探測器的區(qū)域法波前重構(gòu)模式。本文是在Fried和Southwell工作的基礎(chǔ)上,進一步給出了任意形狀光斑的波前重構(gòu)迭代

3、公式,討論了超松弛迭代因子及迭代精度的合理取值;分析比較了Fried和Southwell兩種模式,認(rèn)為Fried模式更適合于波前重構(gòu)。1區(qū)域法迭代公式Fried和Southwell分別給出了各自模式下的波前重構(gòu)迭代公式,下面進一步給出Fried和Southwell兩種模式下,任意形狀光斑的波前重構(gòu)迭代公式。1.1Fried模式Fried模式布局如圖1所示,相位估計點(m,n)位于探測子孔徑(i,j)的四角上,首先討論相位估計點的四鄰子孔徑的斜率均能被探測的情形,有差分方程組x(1)Si,j󰃖h=0.5(0.5(m+1,n+m+1,n+1)-m,n+m,n+1)Si,jϗ

4、254;h=0.5(m,n+1+m+1,n+1)-Si21,j󰃖h=0.5(m,n+m,n+1)-Si-xyyxy0.5(m,n+m+1,n)1,n(2)(3)(4)(5)(6)(7)0.5(m-+m-1,n+1)1,j󰃖h=0.5(m,n+1+m-11,n+1)-0.5(m,n+m-11,nSi,j-1󰃖h=0.5(m+1,n-Si-x+0.5(m+1,n)-m,n-0.5(m+1,n-1+m,n)Si,j-1󰃖h=0.5(m+1,n+m,n)-1,j-1+m,n-1)+m-1,n󰃖h=0.5(0.5(m,n-1

5、+m,n)-m-1,n-11997年11月26日收到原稿,1998年1月9日收到修改稿。張強,男,1968年9月出生,在讀博士,助理研究員© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.230強激光與粒子束第10卷(8)󰃖h=0.5(0.5(m,n+m-1,n)-m,n-1+m-1,n-1)y式中,Sxi,j、m,n為相位估計點(m,Si,j為子孔徑(i,j)內(nèi)x和y方向的平均斜率;h為子孔徑尺寸;Si-1,j-1yn)處的相位。xyx其中,m,n=(m+1,n+1+m-

6、1,n+1+m+1,n-1+m-1,n-1)󰃗Km,n;bj,k=h(-Si,j-Si,j+Si-1,j-yxyxySi-1,j-Si,j-1+Si,j-1+Si-1,j-1+Si-1,j-1);Kj,k=4。對于相位估計點的四鄰任意13個子孔徑斜率不能被探測到的情形,利用(1)(8)式也xy可得到相應(yīng)的m,n、bj,k和Kj,k。以子孔徑(i-1,j-1)的斜率Si-1,j-1和Si-1,j-1不能被探測為例,由-(1)-(2)+(3)-(4)-(5)+(6)得到m,n=(m+1,n+1+m-1,n+1+m+1,n-1)󰃗Km,n;bk,j-(1)-(2)+(

7、3)-(4)-(5)+(6)+(7)+(8)得到m,n+bj,k󰃗Kj,km,n=(9)=h(-Sxi,j-Syi,j+Sxi-1,j-Syi-1,j-Sxi,j-1+Syi,j-1);Kk,j=3。其余情形可以依此類推,這樣迭代公式(9)就可以用于任意形狀光斑的波前重構(gòu)。Fig.1ConfigurationofFriedmode圖1Fried模式布局Fig.2ConfigurationofSouthwellmode圖2Southwell模式布局注意到Fried模式的差分方程組的秩缺2,迭代的結(jié)果將產(chǎn)生兩張分離的相位重構(gòu)網(wǎng)格,即相鄰相位估計點的相位分別位于兩張分離的相位重構(gòu)網(wǎng)上

8、。這兩張相位重構(gòu)網(wǎng)相對于入射波前存在著不同的整體平移,為了使兩張分離的相位重構(gòu)網(wǎng)重合,需外加兩個條件,即讓兩張相位重構(gòu)網(wǎng)的相位平均值分別等于零。g+1ggm為加快迭代收斂的速度,實際計算中多采用超松馳迭代法,(9)式改為m,n=m,n+(,ng+bj,k󰃗Kj,k-m,n),其中,上標(biāo)g表示第g次迭代的結(jié)果,g+1表示第g+1次迭代的結(jié)果;為超松馳迭代因子,其值在12之間。對于方形光斑,假設(shè)有N×N個子孔徑,則的最佳值-1(N+1)為=21+sin(󰃗對于任意形狀光斑,的最佳值可用仿真實驗的方法確定。1.2Southwell模式Shothwell模式布

9、局如圖2所示,相位估計點位于探測子孔徑的中心,首先還是討論相位估計點的四鄰子孔徑斜率均能被探測到的情形,有差分方程組(10).5h(Syi,j+1+Syi,j)i,j+1-i,j=0.5h(Sxi+1,j+Sxi,j)i+1,j-i,j=0.5h(Syi,j+Syi,j-1)i,j-i,j-1=0© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(11)(12)第2期張強等:用于Hartmann-Shack波前探測器的區(qū)域法算法研究231i,j-i-(10)-(11)+(12)+(13)得

10、到1,j=0.5h(Syi,j+Syi-1,j)(13)(14)Ki,ji,j=i,j+bi,j󰃗yy其中,.25(.5h(Sxi-1,j-Sxi,j=0i+1,j+i-1,j+i,j+1+i,j-1);bi,j=0i+1,j+Si,j-1-Si,j+1);Ki,j=4。對于相位估計點的四鄰任意13個子孔徑斜率不能被探測到的情形,利用(10)(13)式也xy可得到相應(yīng)的i,j、bi,j和Ki,j。以子孔徑(i-1,j)的斜率Si-1,j和Si-1,j不能被探測為例,由-(10)-(11)+(12)得到.25(.5h(-Sxi+1,j+Syi,j-1-Syi,j+1);i,j=0

11、i+1,j+i,j+1+i,j-1);bi,j=0Ki,j=3。其余情形可以依此類推,這樣迭代公式(14)就可以用于任意形狀光斑的波前重構(gòu)。同時必須指出Southwell模式的差分方程組的秩缺1,迭代的結(jié)果是重構(gòu)波前相位與入射波前相位之間存在一個整體平移,但這并不影響我們的應(yīng)用。g+1g為加快迭代收斂的速度,實際上計算中多采用超松馳迭代法,(14)式改為:m,n=m,n+gg(2之m,n+bj,k󰃗Kj,k-m,n,上標(biāo)g表示第g次迭代的結(jié)果,為超松馳迭代因子,其值在1間。2波前重構(gòu)Hartmann-Shack波前探測器測量得到的是入射波前在探測器子孔徑內(nèi)的平均斜率,因此無法得

12、到子孔徑內(nèi)部的相位起伏信息,為了得到入射波前相位起伏在空間上的細(xì)節(jié)信息,唯一的辦法就是減小探測器子孔徑尺寸,這將導(dǎo)致同樣大小的入射光斑的子孔徑數(shù)目按平方關(guān)系增加,區(qū)域法波前重構(gòu)非常適合于探測器子孔徑數(shù)目特別多的情形。在高功率激光技術(shù)中常采用非穩(wěn)腔以獲得高功率,其輸出為環(huán)形光斑,我們假設(shè)環(huán)形光斑的遮攔比為12,將環(huán)形光斑規(guī)一化到單位圓中,并在邊長為2的正方形內(nèi)劃分成30×30子孔徑,在環(huán)形光斑內(nèi)的有效探測子孔徑數(shù)為544,如果采用模式法的前18項模式進行波前重構(gòu),則波前重構(gòu)矩陣的尺寸將達(dá)到1088×18,對這樣巨型的矩陣進行矩陣相乘和求廣義逆等矩陣運算是相當(dāng)復(fù)雜的,因此當(dāng)探測

13、器子孔徑數(shù)特別多時,不宜用模式法進行波前重構(gòu)。下面就采用區(qū)域法的Fried模式和Southwell模式進行波前重構(gòu)仿真,并分析波前重構(gòu)的精度。波前重構(gòu)仿真的全過程為:分別利用除去平移的前18項Zernike像差和一個組合像差(取a1=a2=1,a3=1󰃗2,a4=a5=1󰃗3,a6=a7=1󰃗4,a8=a9=1󰃗5,a10=1󰃗6,a11=a12=1󰃗7,a13=8,a15=a16=1󰃗9,a17=a18=1󰃗10)作為仿真入射波前,對入射波前求偏導(dǎo)后在子孔徑內(nèi)a14

14、=1󰃗積分,就得到入射波前在子孔徑內(nèi)的平均斜率;將各個子孔徑的平均斜率代入迭代公式即可得到各相位估計點上的相位;為了評價波前重構(gòu)精度,首先計算出入射波前在各相位估計點上的相位均方根誤差值Yrms,然后計算入射波前與重構(gòu)波前在相位估計點處的相位差值,即相位殘差,得到各相位估計點上相位殘差的均方根誤差值Ysrms,比值Ysrms󰃗Yrms的大小可作為波前重構(gòu)精度的評價標(biāo)準(zhǔn),該比值越小則波前重構(gòu)精度越高。最佳迭代因子的選取,是采用組合像差為入射波前,迭代精度取10-4,采用不同的值進行運算,取迭代次數(shù)最少的值為最佳值,Fried模式的最佳迭代因子=1.844,Sout

15、hwell模式的最佳迭代因子=1.887。仿真時迭代精度取10-4,因為進一步提高迭代精度只會增加迭代次數(shù),而對提高波前重構(gòu)精度的作用不大。例如,針對組合像差進行波前重構(gòu),若迭代精度取10-4,Fried模式將迭代77次,波前重構(gòu)精度為0.51%,Southwell模式將迭代98次,波前重構(gòu)精度為0.87%;若迭代© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.232強激光與粒子束第10卷精度取10-6,Fried模式將迭代106次,波前重構(gòu)精度為0.51%;Southwell模式將迭代

16、142次,波前重構(gòu)精度為0.86%。圖3給出了波前重構(gòu)的仿真結(jié)果。Fig.3Accuracyofreconstractionsforfirst18termsofZernikepolynomial圖3前18階Zernike多項式重構(gòu)精度Fig.4Accuracysofwavefrontreconstructionfordifferentnumberofsubaperture圖4不同子孔徑數(shù)N下的波前重構(gòu)精度以上所有仿真都是在波前探測器子孔徑數(shù)為30×30條件下進行的,最后為了研究子孔徑數(shù)對波前重構(gòu)精度的影響,仿真計算了Fried模式與Southwell模式在不同子孔徑數(shù)條件下,入射波前

17、為組合像差時的波前重構(gòu)精度的仿真結(jié)果(圖4)。由圖3知道,無論Fried模式還是Southwell模式,對于前10階像差都具有相當(dāng)好的波前重構(gòu)精度(Ysrms󰃗Yrms2%),對于10以上的高階像差的波前重構(gòu)精度略差(Ysrms󰃗Yrms6%),而且我們已經(jīng)知道影響高功率激光器輸出光束質(zhì)量的主要因素是低階像差4,因此可以用區(qū)域法進行波前重構(gòu)。由圖3知道,Fried模式的波前重構(gòu)精度明顯優(yōu)于Southwell模式,而且對于組合像差Fried模式的波前重構(gòu)精度和迭代次數(shù)也都優(yōu)于Southwell模式;由圖4知道,除了探測器子孔徑數(shù)N=18和28兩種情形外,Fried

18、模式的波前重構(gòu)精度優(yōu)于Southwell模式。3結(jié)語本文給出了更一般的區(qū)域法Fried模式和Southwell模式的波前重構(gòu)迭代公式,可對任意形狀光斑進行波前重構(gòu),并討論了超松馳迭代因子及波前重構(gòu)精度的合理取值。仿真結(jié)果表明:用Hartmann-Shack波前探測器對高功率激光器輸出的環(huán)形光斑質(zhì)量進行評價時,為了得到波前相位起伏在空間上的細(xì)節(jié)信息,必須增加探測器子孔徑數(shù)目,此時區(qū)域法比模式法更適合用于波前重構(gòu),與Southwell模式相比,Fried模式具有更高的波前重構(gòu)精度和較少的迭代次數(shù),因此最好采用Fried模式進行波前重構(gòu)。致謝作者曾與楊澤平進行過有益的討論,在此表示衷心的感謝!參考文

19、獻1JiangWenhan,LiHuagui.Hartmann2Shackwavefrontsensingandwavefrontcontrolalgorithm.SPIE,1990,1271:8293© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第2期張強等:用于Hartmann-Shack波前探測器的區(qū)域法算法研究2332FriedDavidL.Least2squarefittingawavefrontdistortionestimatetoanarrayofphase2differencemeasurements.JOpt375SocAm,1977,67:3703SouthwellWH.Wavefrontesti1006mationfromwavefrontslopemeasurements.JOptSocAm,1980,70:9984OughstumKE.Intracavityadaptiveopticscompensationofphaseaberrations󰂪and󰂫.JOptSocAm,1981,71:8621192STUDYOFZONALWAVEFRONTRE