根與系數(shù)關(guān)系知識(shí)講解及練習(xí)

1、韋達(dá)定理：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c =0（a式0），如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，則bcx-ix2, x1x2：aa說明：（1）定理成立的條件.：_0K K（2）注意公式重 X1x -的負(fù)號(hào)與 b 的符號(hào)的區(qū)別a根系關(guān)系的幾大用處驗(yàn)根： 不解方程， 利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次 方程的兩根；例如：已知方程X2-5X+6= 0，下列是它兩根的是（）求代數(shù)式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于X1和 X2 的代數(shù)式的值，如；求作新方程：已知方程的兩個(gè)根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次 方程的一般式求根及未知數(shù)系數(shù)：已知方程的一個(gè)根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系

2、求出另 一個(gè)數(shù)及未知數(shù)系數(shù).（后三種為主）（1 ）計(jì)算代數(shù)式的值2例 若x2是方程x 2x - 2007二0的兩個(gè)根，試求下列各式的值:A .3 , -2 B. -2, 3 C. -2,-3 D. 3, 2 I Xi- X2|（% -5）（x2-5） = xix2-5（為x2） 25 - -2007 -5（-2） 25 - -1972 |捲 一x2|（論x2）2（論x2）24x2（-2）2- 4（2007） = 2,2008說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：22211xi x?22xx2（XiX2）-2X1x2，（Xi- X2）（X1x2）-4XIX2，Xix2X1X2|X

3、1X2I二.（X1X2）2- 4X1X2，X22X12X2=X1X2（X1X2），333X|X2NX x2)-3X1X2(X1X2)等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.(2)構(gòu)造新方程理論：以兩個(gè)數(shù) 巾為根的一元二次方程是=- 門葉:-例解方程組 x+y=5xy=6解：顯然，x, y 是方程Z2-5Z+6= 0 的兩根由方程解得Z1=2,Z2=3解:由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：X1(1)2X1X22= (X1X2)22-2X1X2珂-2)1丄X1X222 X1X2X1X2-2007200722-2(-2007)=4018(1)X12X22;(2)丄 丄；(3)(為-5)(X2-5)；X1X2x2=

4、 -2,x1x -2007原方程組的解為 x1=2,y1=3x2=3,y2=2顯然，此法比代入法要簡(jiǎn)單得多。(3 )定性判斷字母系數(shù)的取值范圍例一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是方程_ -的兩根，第三邊長(zhǎng)為 2，求 k 的取值范圍。解：設(shè)此三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且 a、b 為二二二二=、的兩根，則 c=2 由題意知2 = k-4 X 2X 2 0, k 4 或 kOr0tlb = Ic - 2a-b c = 2r上42a-b= (a + by2- Aab= + JF二IE. c = 2,-4血 k .4龐.=、二：為所求。【典型例題】1例1已知關(guān)于x的方程X2-(k 1)x k2T = 0，根據(jù)下

5、列條件，分別求出k的值.4(1)方程兩實(shí)根的積為 5； (2)方程的兩實(shí)根Xi,X2滿足|Xi|=X2分析：(1)由韋達(dá)定理即可求之；(2)有兩種可能，一是X1= X2 0，二是X)= X2,所以要分類討論.解：(1)T方程兩實(shí)根的積為 5212-(k 1)2-4(；k21)_034二k _P,k = 4X-|X2二k21二52所以，當(dāng)k =4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為 5.(2)由| X1X2得知：1當(dāng)X1- 0時(shí)，為=X2，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故二=0=k =；22當(dāng)為：:0時(shí)，一捲=冷=為 x2二0=k 1二0=k - -1，由于 =k ,故 k - -1 不合題意，舍去.綜上可得，k時(shí)，

6、方程的兩實(shí)根X1, X2滿足|咅|=% 說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足0亠例2已知X1,X2是一元二次方程4kX -4kX k 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2xi- X2)(Xi-2X2)=-3成立？若存在，求出k的值;2若不存在，請(qǐng)您說明理由.X1x2求使 -2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值.X2X13解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使(2xx2)(xi-2x2)成立.2元二次方程4kx2- 4kx k T = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根4k =0.：=(_4k)2-4 4k(k 1) - -16k _0k2又為,X2是一元二

7、次方程4kx - 4kx k 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1x2= 1i k +1X1X24k(2x1-x2)(x1-2x2) =2(x1 x22)-5x1x2= 2(x1x2)2-9x1x2匕一9= ? =k 但k 0.4k 253不存在實(shí)數(shù)k，使(糾旳(“2小-2成立.X12X22_2=(xX2)2_4=_4_ _4x1x2x1x2k 1k 1要使其值是整數(shù)，只需k 1能被 4 整除，故kThV,_2,_4，注意到k：0,X1x2要使一12-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為-2, -3, -5.x2x1說明：(1)存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，貝 U 說明存在，否貝 U 即

8、不存在.(2)本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì) 為整數(shù)的分析方法.k 1_x1x2(2) / _ 2二xAx2元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題A組1一元二次方程（1-k）x2-2x-1 =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）B.k : 2,且k =1C.2若x1,x2是方程2x2-6x *3=0的兩個(gè)根，則x2(2m -1)x m20的根，則m等于(24.若t是一元二次方程ax bx c = 0 （a = 0）的根，則判別式2式M =（2at - b）的關(guān)系是（）A .掄=MB .- MC.厶：MD .大小關(guān)系不能確定22b1a15.若實(shí)數(shù)a = b，且a,b滿足a2-8a 5=0,b2-8b

9、*5=0，則代數(shù)式的a -1 b 1值為（）26.如果方程（bc）x +（c a）x+ （ab） =0的兩根相等，則a,b,c之間的關(guān)系是_7.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程2.丄丄的值為（x-ix23.C.已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 5,兩條對(duì)角線交于12O 點(diǎn)，且 OA、92OB 的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方C.5 或-3D . - 5或 32厶=b -4ac和完全平方A .-20C .2 或- 20D .2 或 202x2-8x 7 = 0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是_.&若方程2x2（k+1）x+k+3 = 0的兩根之差為 1，貝U k的值是_.2 29.設(shè)X1,

10、X2是方程x px0的兩實(shí)根，x11,x21是關(guān)于x的方程x qx p = 0的兩實(shí)根，則 p =_, q =_.210 .已知實(shí)數(shù)a,b, c滿足a=6b,c =ab 9，貝U a =_,b =_,c =_.11 .對(duì)于二次三項(xiàng)式x2-10 x 36，小明得出如下結(jié)論：無論x取什么實(shí)數(shù), 能等于 10.您是否同意他的看法？請(qǐng)您說明理由.12.若n0，關(guān)于x的方程x2-(m-2 n)xm n=0有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求m的4n值.13.已知關(guān)于x的一元二次方程x2(4m - 1)x - 2m -1 = 0.(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；、1 1 1(2) 若方程的

11、兩根為xX2，且滿足，求m的值.x1x2221214.已知關(guān)于x的方程x -(k，1)x k T=0的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng).4(1)k取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是5時(shí)，求k的值.B組其值都不可21.已知關(guān)于x的方程(k -1)x (23)x k 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1,X2.(1) 求k的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存 在，請(qǐng)您說明理由.2.已知關(guān)于x的方程x2， 3x-m = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11.求證：關(guān)于x的方程2 2(k -3)x kmx -m 6m -4 = 0有實(shí)數(shù)根.

12、3.若xx2是關(guān)于x的方程x2-(2k 1)x k20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且xx2都大于 1.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；x11若，求k的值.以下無正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins

13、personnelles; pasades fins commerciales.TO員BKOgA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHu uac egoB u HHuefigoHM以下無正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et