第二章_隨機變量及其概率分布 - 復(fù)制

1、第二章 隨機變量及其概率分布【授課對象】理工類本科三年級【授課時數(shù)】10學(xué)時【授課方法】課堂講授與提問相結(jié)合【基本要求】1、了解隨機變量的概念；2、理解離散型隨機變量的概念及其分布律的概念和性質(zhì)；3、理解連續(xù)型隨機變量的概念及其概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；4、理解分布函數(shù)的概念，并知道其性質(zhì)；5、會利用分布律、概率密度函數(shù)及分布函數(shù)計算有關(guān)事件的概率；6、會求簡單的隨機變量函數(shù)的概率分布；7、了解二維隨機變量的概念，知道二維隨機變量的邊緣（邊際）分布、聯(lián)合分布函數(shù)等概念；8、了解二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)的概念及性質(zhì)，進一步掌握其邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，并會計算有關(guān)事件的概率；了解二

2、維連續(xù)型隨機變量獨立性的概念?！颈菊轮攸c】隨機變量的概念；連續(xù)型（離散型）隨機變量的密度函數(shù)（分布律）的概念和性質(zhì)以及它們的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；二維隨機變量的邊緣分布、聯(lián)合分布函數(shù)等概念；隨機變量函數(shù)的概率分布以及二維隨機變量獨立性的概念。【本章難點】隨機變量的概念及性質(zhì)；連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)計算；二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系以及獨立性的概念?！臼谡n內(nèi)容及學(xué)時分配】§2.1 隨機變量的概念在第一章里，我們主要研究了隨即事件及其概率，同學(xué)們可能會注意到在某些例子中，隨即事件和實數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系。例如，在產(chǎn)品檢驗問題中，我們關(guān)心的

3、是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時期在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某一段時間內(nèi)的話務(wù)量等。對于這類隨機現(xiàn)象，其試驗結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。然而，有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述。比如，在投硬幣問題中，每次實驗出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有聯(lián)系，但我們可以通過指定數(shù)“1”代表正面，“0”代表反面，為了計算n次投擲中出現(xiàn)的正面就只須計算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機試驗的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。這就說明了，不管隨機試驗的結(jié)果是否具有數(shù)量的性質(zhì)，我們都可以建立一個樣本空間和實數(shù)空間的對應(yīng)關(guān)系。一般地，

4、如果為某個隨機事件，則一定可以通過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系：Eg1：隨機試驗E1：從一個裝有編號為0，1，2，9的球的袋中任意摸一球。則其樣本空間=， ，其中“摸到編號為的球”，=0,1,9.定義變量：，即()=，=0，1，9。這就是和整數(shù)集0，1，2，9的一個對應(yīng)關(guān)系，此時表示摸到球的號碼。從上例中，我們不難體會到： 對應(yīng)關(guān)系的取值是隨機的，也就是說，在試驗之前，取什么值不能確定，而是由隨機試驗的可能結(jié)果定的，但的所有可能取值是事先可以預(yù)言的。是定義在上而取值在R上的函數(shù)。 同時在上例中，我們可以用集合：()5或：()5表示隨機事件。因而可以計算其概率。習慣上我們稱定義在樣本空間上的單

5、值實函數(shù)為隨機變量。這就有了如下定義：Df：設(shè)=()，是定義在上的單值實函數(shù)。若對任一實數(shù)，集合：()x是隨機事件，則稱=()為隨機變量（Random Variable）。定義表明隨機變量=()是樣本點的函數(shù)，它的定義不涉及概率的概念，常寫為，而集合：()x簡記為x。如在上例中，摸到不大于5號球的事件可表示為5，則其概率為P5=3/5。§2.2 隨機變量的概率分布一、隨機變量的分布函數(shù)（Function） 由前可知，若是隨機變量，則對xR，x是隨機事件，所以Px有意義。當實數(shù)a<b時，有：Pa<b=PbPa 可見，只要對一切實數(shù)x給出概率Px，則任何事件a<b及它們

6、的可列交、可列并的概率都可求得。從而Px， xR完全刻劃了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，并決定了隨機變量的一切概率特征。1.Df：設(shè)是上的隨機變量，對xR，稱= Px為的分布函數(shù)。2.性質(zhì)：設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，則具有如下性質(zhì)：單調(diào)非降性：即對， 規(guī)范性：，右連續(xù)性：對有 Proof: 對，有，則 或（性質(zhì)，的證明可參考其他有關(guān)的資料）反之可證明：對于任意一個函數(shù)，若滿足上述三條性質(zhì)的話，則它一定是某隨機變量的分布函數(shù)。由定義可見，要計算取值的概率可以通過其分布函數(shù)來實現(xiàn)。為了研究隨機變量的概率分布，我們常選擇來代替之。 3.運算：若， 則有：Eg2：已知的分布函數(shù)為 求。解： Eg3：設(shè)某隨機變量的

7、分布函數(shù)為，試確定A，B的值。 解：由得Eg4：判斷下列函數(shù)是否為分布函數(shù) （） （×）Eg5：設(shè)的分布函數(shù)為 確定A并求 解：由右連續(xù)性知，而，即則Eg6：設(shè)某隨機變量的分布函數(shù)為 （a>0） 求A，B。 解：由 二、隨機變量的分類 三、離散型隨機變量及其分布律 Df：設(shè)是上的隨機變量，若的全部可能取值為有限個或可列個（即的全部可能取值可一一列舉出來），則稱為離散型隨機變量。若的取值記為則把事件的概率記為，則稱為的分布列?！咀ⅰ浚河啥x可知，若樣本空間是離散的，則定義在上的任何單值實函數(shù)都是離散型隨機變量。Th1：離散型隨機變量的分布列滿足下列性質(zhì)：（1）非負性：（2）規(guī)范性

8、：Proof：是概率，即，故由于是的一切可能取值，故有，注意到對任意的，有，由概率的可列可加性知：反之，任意一個滿足以上二性質(zhì)的數(shù)列，都可以作為某離散型隨機變量的分布列。有了的分布列以后，我們可以通過如下方式求的分布函數(shù)顯然，是一個右連續(xù)、單調(diào)非降的遞階函數(shù)，它在每個處有跳躍，其躍度為，當然，由也可以唯一確定和；因此，的分布列也完全刻劃了離散型隨機變量取值的規(guī)律。這樣，對于離散型隨機變量，只要知道它的一切可能取值和取這些值的概率，也就是說知道了它的分布列，也就掌握了這個離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。Eg7：袋中裝有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，從中同時取出3只球，求最大號的分布列及分

9、布函數(shù)并畫出其圖形。 解：先求的分布列：由題知，的取值為3，4，5，則的分布列為：由得 常見得離散型分布有：1.退化分布（單點分布）： 2.貝努里分布（兩點分布）：3.二項分布：4. 泊松（Poisson）分布： 課后作業(yè)：1、仔細閱讀P30-33； 2、作業(yè)：P61 1, 3, 6, 7； 3、預(yù)習P33-39四、連續(xù)性隨機變量及概率密度函數(shù)1.Df：設(shè)是隨機變量，是它的分布函數(shù)，若存在一個非負可積函數(shù) 使得對任意的，有，則稱為連續(xù)性隨機變量，稱為的概率密度函數(shù)或分布密度函數(shù)。由定義顯然可知，連續(xù)。2.的幾何意義：在幾何上表示一條曲線稱為分布密度曲線，則的幾何意義是：以分布曲線為頂，以X軸為

10、底，從到x的一塊變面積。3.密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：<1> 每個R上可積的實值函數(shù)是某個連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)(1)（非負性）(2) （規(guī)范性） Proof：“”若是連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，則由定義知對，有且，由分布函數(shù)的性質(zhì)有： “”由定義，只需證明存在一個分布函數(shù)與對應(yīng)即可，為此定義： 且對有：即上述定義的具有單調(diào)非降性。 即具有規(guī)范性。由于可積，從而連續(xù)，它自然右連續(xù)，因而是分布函數(shù)。 <2> 若在x處是連續(xù)的，則 （顯然） <3>（概率與密度函數(shù)之間的關(guān)系）設(shè)a，b是任意二實數(shù)，且則 事實上，從幾何角度來看，它取值于區(qū)間的概率等于其密度函數(shù)在一段曲

11、線下方的面積。 <4>若是連續(xù)型隨機變量，則取單點值的概率為0 事實上，而連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，從而即 從此可知：概率為0的事件不一定是不可能事件；同樣概率為1的事件也不一定是必然事件。這樣，對連續(xù)性隨機變量有： 特別地，Eg2：設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為 其中常數(shù)，試確定k的值并求概率和的分布函數(shù)。 解：由由于密度函數(shù)為分布函數(shù)Eg3：（書） 設(shè) 求常見的連續(xù)型分布有：均勻分布：正態(tài)分布：指數(shù)分布：課后作業(yè)：1、仔細閱讀P33-39； 2、作業(yè)：P62 8, 9, 10, 12； 3、預(yù)習P39-44§2.3 隨機變量的函數(shù)及其分布設(shè)是一隨機變量，是一個連續(xù)的

12、實值函數(shù)，按照隨機變量的定義，也應(yīng)是一隨機變量。下面我們通過的分布來研究隨機變量的分布。 關(guān)于該問題的一般提法：已知的分布，求的分布。一、離散型隨機變量函數(shù)的分布已知的分布列為 求的分布列。由于是離散型隨機變量，則仍是離散型隨機變量，所以分布列為 其中某些相等，則把它們作適當合并，其分布列就變?yōu)?其中為的取值，Eg1：設(shè)，試求的分布列。 解：易知的可能取值為1，2，5，且可知則 二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布已知的密度函數(shù)為，求 的密度函數(shù)的分布函數(shù)：從而，其密度函數(shù)為此有如下定理：Th：設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，若是嚴格單調(diào)的，且其反函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則的密度函數(shù)為： 其中 ，D為其定

13、義域。 Proof：僅證 從而有Eg2：設(shè)連續(xù)型隨機變量，試求的密度函數(shù)。 解：，由，則由上述定理可知§2.4 二維隨機變量及概率分布在前三節(jié)，我們主要討論了一維隨機變量及其分布函數(shù)，并簡單地介紹了常見的離散型隨機變量。但在實際應(yīng)用和理論研究中，我們所感興趣的許多現(xiàn)象，其每次試驗的結(jié)果僅用一個隨機變量描述還不夠，往往要用兩個或兩個以上的隨機變量來描述。例如，炮彈在地面的命中點的位置是由兩個隨機變量（兩個坐標）來確定的。電子放大器的干擾電源是由振幅和相位這兩個隨機變量來確定的等等。下面我們先介紹二維隨機變量及其分布，并推廣到維。一、概念 Df1：設(shè)是的兩個隨機變量，則由構(gòu)成二維向量()

14、稱為二維隨機變量（或隨機向量）Df2：設(shè)（）是二維隨機變量，則稱二元函數(shù)為（）的聯(lián)合分布函數(shù)。幾何意義：在處的函數(shù)值就是隨機點（）落在以點為頂點的左下方無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。由幾何意義可知，點()落入任一矩形 <x,<y中的概率,由概率的加法性質(zhì)可求得：P<,<=F(,)-F(,)-F(,)+F(,) 事實上，P<,< p(<<) = p(<-)= P<-)- P< -)=P,- P,- P,+ P,=F(,)-F(,)-F(,)+F(,)由概率的非負性質(zhì)知；二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù),對<R,<R,有F(,)-F(

15、,)-F(,)+F(,)0Th1：二維隨機變量()的聯(lián)合分布函數(shù) 具有如下性質(zhì)：(1)每個自變量單調(diào)不減： 即對固定的，當時，有 對固定的，當時，有(2)對于每個自變量右連續(xù)：即對固定的，(+0,)=(,)對固定的，(,+0)=(,)(3)規(guī)范性: (4)對<R, <R.有：(,)-(,)-(,)+(,)0反之，對任意滿足上述四條件的二元函數(shù)，都可作為某二維隨機變量的分布函數(shù)?！咀ⅰ浚荷鲜鏊臈l件中（4）不可缺少。如：二元函數(shù)=滿足性質(zhì)（1）（2）(3)而不滿足（4）。取,有- + <0故不能作為某二維隨機變量的分布函數(shù)。二、二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)由于的分布函數(shù)完全決定了它

16、的概率特征，因而也就完全決定了它的各分量的概率特征；這樣就可以通過其聯(lián)合分布函數(shù)來求每個分量的分布函數(shù)。Df3：若的分布函數(shù)為,則稱 ; 分別為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。三、二維離散型隨機變量及其分布 Df4：設(shè)是二維隨機變量，若分別是離散型隨機變量；或者的全部可能取值為有限或可數(shù)個數(shù)對(,),=1,2.則稱為二維離散型隨機變量。稱P=,=為的聯(lián)合分布列。Th2：的聯(lián)合分布列具有如下性質(zhì)：(1)非負性：0，=1,2.(2)規(guī)范性：1 反之，任何具有上述性質(zhì)的數(shù)集:=1,2.都可作為某二維離散型隨機向量的聯(lián)合分布列。知道了的聯(lián)合分布列以后，可以求其聯(lián)合分布函數(shù)=P(x, y)=P=,= 同分布函數(shù)一樣

17、，可以求其邊緣分布列： 事實上：P=,=P(=,=P(=)=P=把稱為的邊緣分布列； 稱為的邊緣分布列。 上述關(guān)于聯(lián)合分布列與邊緣分布列之間的關(guān)系可用下表來表示: Eg1: 袋中有2只白球，3只黑球，現(xiàn)進行有放回及無放回二次摸球。定義隨機變量，如下，= =求(,)的分布列。解：有放回情形： 無放回情形： 0 1 0 1 0 0 1 1 【結(jié)論】：聯(lián)合分布列可以唯一地確定邊緣分布列，反之不然.課后作業(yè)：1、仔細閱讀P39-44； 2、作業(yè)：P63 14, 16, 17, 18； 3、預(yù)習P44-60四、連續(xù)型隨機向量Df5設(shè)(,)為二維隨機變量，為其聯(lián)合分布函數(shù)，若存在非負可積的函數(shù),使對 有：

18、=P(x,y)。則稱(,)為連續(xù)型隨機類型，為的聯(lián)合概率密度函數(shù)。Th3二維連續(xù)型隨變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：1.非負性： 0 R2.規(guī)范性： dxdy=13.對某一區(qū)域D P(,)D=4.若在點連續(xù) 則由此不難求得 , 的邊緣概率密度函數(shù)= 為的概率密度函數(shù)= 為的概率密度函數(shù)事實上，(x)=Eg2: 已知(,)的求邊緣密度 (x),(y) 解：= = Eg3: 已知二維隨機變量具有密度函數(shù)。試求：1.常數(shù)C， 2.分布函數(shù) 3.邊緣分布函數(shù)及相應(yīng)的邊緣密度 4.求落入圖中D區(qū)域內(nèi)的概率。 解：1. 1= dxdy=cdxdy=c =,c=42. = P(u,v)dudv=3.(x)=同理： = = = = 4.P(,)D= =1-3§2.5 隨機變量相互獨立性獨立性的概念在概率論中是非常重要也是最基本的概念，它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計及應(yīng)用中占有很重的地位。一、隨機變量的相互獨立性 Df 1.稱二維隨機變量§.是相互獨立的，如果對x,yR,有Px,y=px pyTh1： 設(shè)（,）是二維離散型隨機變量，,相互獨立，即 Th2： 若(,)是二維連續(xù)型隨機變量，則, 相互獨立Proof: .相互獨立 由獨立的定義由聯(lián)合密度函數(shù)的定義知：是（,）的聯(lián)合概率密度函數(shù)。 即Eg1.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布列為 .