第十三、十四章 重積分、曲線積分與曲面積分

1、第十三、十四章 重積分、曲線積分與曲面積分一 R積分的概念 1幾何形體上的R積分定義 設(shè)函數(shù)是定義在可以度量的幾何形體上的有界函數(shù),若對(duì)于的任一分割T:,任取一點(diǎn),積分和的極限存在,即.則稱在上可積，且I為在上的定積分。記為 。 I存在與分割T及點(diǎn)的選擇無關(guān)，且積分值不依賴于坐標(biāo)系的選擇。（1） 用語言描述R積分定義：對(duì)于任意分割T，只要，就有 。則稱在上可積，且I為在上的定積分。（2） 各種不同類型積分和表示方法：積分區(qū)域名稱符號(hào)幾何或物理模型區(qū)間a,b定積分曲邊梯形的面積平面區(qū)域D二重積分曲頂柱體的體積空間區(qū)域V三重積分物體質(zhì)量曲線段C曲線積分曲線段質(zhì)量變力作功曲面片S曲面積分曲面片質(zhì)量流

2、過曲面S的流量 2R積分存在的充要條件： （1）； （2）。其中：；。3。可積函類： 設(shè)為有界閉區(qū)域（1） 若，則；（2） 若有界函數(shù)在上不連續(xù)點(diǎn)的全體是一個(gè)低于維數(shù)的圖形，則。二 R積分的性質(zhì)1。運(yùn)算性質(zhì)：若，則， ，且，為常數(shù)。 2可加性：若，則。3。不等式性質(zhì)： 若，且，則。推論：若，且，則。4。中值定理（1）若；若（2）若且在上不變號(hào)，則，有。三 R積分的計(jì)算 1合理選擇坐標(biāo)系-積分換元法 （1）極坐標(biāo)變換：。 （2）廣義極坐標(biāo)變換：。 （3）柱坐標(biāo)變換：。 （4）球坐標(biāo)變換：。 （5）廣義球坐標(biāo)變換：。 換元的目的：（1）描述幾何形體的自變量點(diǎn)集要簡(jiǎn)單不要復(fù)雜；（2）被積函數(shù)要簡(jiǎn)單不

3、要復(fù)雜。 在不同坐標(biāo)系下R積分的具體表達(dá)式：名稱直角坐標(biāo)系下積分微元曲線坐標(biāo)系下積分微元求積公式二重積分三重積分 代入法斯托克斯公式 2利用各種積分之間的關(guān)系：曲線積分 樣 格林公式 代入法x型y型區(qū)域二重積分曲面積分定積分 樣 截面法投影法法 x-y-z型區(qū)域奧高公式三重積分 案 注：（1）關(guān)系中單箭頭，可從定義出發(fā)證明。（2）關(guān)系中雙箭頭，為三個(gè)公式：格林公式：；奧高公式：；斯托克斯公式：S的側(cè)與C的方向按右手法則確定。（3） 曲線積分 第一型：。 第二型： 對(duì)于閉曲線可用格林公式，斯托克斯公式。 兩形關(guān)系：設(shè)是與方向一致的單位切向量，。（4） 曲面積分第一型：ab當(dāng)時(shí)，積分值為曲面面積。

4、第二型：a 分項(xiàng)式：，（上正下負(fù)）。，（前正后負(fù)）。，（右正左負(fù)）。b 綜合式：。分項(xiàng)計(jì)算。曲面用參數(shù)式表示，閉曲面常用此法，外側(cè)取正，內(nèi)側(cè)取負(fù)。 c應(yīng)用奧高公式，斯托克斯公式。 d若曲面為xy型區(qū)域圍成的閉曲面（柱形長(zhǎng)條）：即上、下底面分別為：， 則。若時(shí)，上式為0。 兩形關(guān)系：，其中 為s上法線的方向余弦。 e各種積分的計(jì)算歸結(jié)為定積分的計(jì)算。要注意定限，曲線積分型：下限小于上限；曲線積分型：下（上）限對(duì)應(yīng)起（終）點(diǎn)。換元時(shí)，被積函數(shù)、積分區(qū)域及積分微元要同時(shí)變換。曲面積分型要注意方向，注意三大公式的應(yīng)用。四 四大公式及其推論（一）微積分學(xué)基本定理及牛頓-萊布尼茲公式1 基本定理： 若，則

5、是在上的一個(gè)原函數(shù)。即。（解決了原函數(shù)的存在問題）2 牛頓-萊布尼茲公式：若是在上的一個(gè)原函數(shù)，則 。（解決了定積分的計(jì)算問題） （二）格林公式及其推論1 格林公式：若在閉區(qū)域D具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則，為D的邊界曲線。2 推論：設(shè)D是單連通閉區(qū)域，若在閉區(qū)域D具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)：(1) 沿D的任一閉曲線c，有；(2) 對(duì)D中任一按段光滑曲線c，曲線積分與路線無關(guān)，只與起終點(diǎn)有關(guān)；(3) 是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在D內(nèi)有；（4）在D內(nèi)每一點(diǎn)處有 。 （三）斯托克斯公式及其推論1 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面S的邊界C是按段光滑的連續(xù)曲線，若在S（連同C）上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

6、則其中S的側(cè)與C的方向按右手法則確定。2 推論：設(shè)為空間單連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題等價(jià)：（1）沿內(nèi)的任一按段光滑閉曲線c，有；（2）對(duì)中任一按段光滑曲線c，曲線積分與路線無關(guān)，只與起終點(diǎn)有關(guān)；（3）是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有；（4）在內(nèi)每一點(diǎn)處有 。 （四）奧高公式及其推論1 奧高公式：設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)閉曲面S圍成，若函數(shù)P、Q、R在V上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則2 推論：若P、Q、R及其偏導(dǎo)數(shù)在單連通閉區(qū)域V上連續(xù)，則以下三個(gè)命題等價(jià)：（1） 在V上恒成立；（2）S是V上任一光滑閉曲面； （3）與S的形狀無關(guān)，僅與其邊界曲線有關(guān)。五 R積分的應(yīng)用

7、（一）幾何上的應(yīng)用：1 求平面圖形的面積；2 空間曲面的面積；3 曲線的弧長(zhǎng)；4 幾何體的體積。（二）物理上的應(yīng)用：1 求物體的質(zhì)量；2 求物體的重心；3 求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；4 求變力作功；5 求流量。六 例題1求I=，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域。 解：將積分區(qū)域D表為大圓D1=減去小圓D2=，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)變換即可。 由對(duì)稱性 。 所以，I=。2.求錐面與平面所界部分的表面積。 解:表面積等于曲面面積S1與平面面積S2之和.S1和S2在XOY面的投影區(qū)域Dxy的邊界為橢圓:,把(2)中的Z代入(1)得,將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),即令:,則(3)式化為 ,再令: ,(4)式化為 ,所以,Dxy的面積為

8、 . 對(duì)于錐面: ,兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)得: ; 對(duì)于平面: ,兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)得: ;所以, A=S1+S23.(吉林大學(xué)考研試題),求:I=,其中D是曲線 與 在第一象限所圍區(qū)域.解. 令: ,區(qū)域D變換為D1=.所以,4.(福大2004年試題) 計(jì)算曲線積分為平面上任一不過原點(diǎn)的簡(jiǎn)單光滑閉曲線,取逆時(shí)針方向.解：（1）若曲線不包含原點(diǎn)，由格林公式原式=；（2）若曲線包含原點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，以充分小的正數(shù)為半徑作一小圓域G，邊界為，及其偏導(dǎo)數(shù)在D-G，連續(xù)，由格林公式： 所以， 5設(shè)實(shí)數(shù)，求由曲面與平面圍成的有界區(qū)域的體積。 解：曲面與平面的交線在XOY面的投影為：， ，所以，

9、 6計(jì)算曲面積分其中S是曲面的上側(cè)。 解：取S1為XOY面上被圓所圍部分的下側(cè)，記V為S與S1所圍的空間區(qū)域。則被積函數(shù)P，Q，R在V上滿足奧高公式的條件，所以，。所以， 。 7計(jì)算積分 ，其中C是上半球面與圓柱面的交線，從Z軸的正向看去按逆時(shí)針方向。 解： ，由斯托克斯公式其中S為上半球面被圓柱面所截的部分。設(shè)S1、S2分別為S在第一、第四掛限部分，S1、S2在ZOX面的投影區(qū)域?yàn)镈1、D2，則D1與D2面積相等。所以，設(shè)S在XOY面的投影區(qū)域?yàn)镈，則，所以， 。 8設(shè) ，D表示全平面，求。 解：令 。 9設(shè)，且滿足，證明：。 證明：令。由題設(shè)，從而有，即 ， 所以，。 注：引入變上限函數(shù)轉(zhuǎn)

10、化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用方法。10。證明：如果方程在上有連續(xù)解，則必唯一。 證明：若都是方程在上的連續(xù)解，即 ，。令 ，則在連續(xù)，從而有最大值，設(shè)在上，。所以，在上，。上式令，得。所以，解唯一。11。設(shè)是0，1上的正值函數(shù)，證明：。其中，分別是在0，1上的最小值和最大值。 證明：設(shè)，因?yàn)槭?，1上的正值函數(shù)，所以，由于區(qū)域D關(guān)于直線對(duì)稱，從而。所以，由于，所以，。，所以， ，從而。所以，。練習(xí)題1 證明：。2 證明：若函數(shù)在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，而函數(shù)在連續(xù)，且，則。3 證明：若函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則。4 設(shè)在可積，證明：連續(xù)函數(shù)，使得。5 計(jì)算二重積分。6 證明：，其中為常數(shù)，且。7 計(jì)算閉曲面所圍成立體的體積。8 計(jì)算曲線積分，其中是橢圓正方向一周。9 證明，平面上格林第二公式，其中D是光滑閉曲線C所圍成的有界區(qū)域，是沿C的外法線的方向?qū)?shù)，。10。證明：若是光滑閉曲線C所圍成閉區(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)，則函數(shù)在D內(nèi)的值可由閉曲